Холоднов В.А. Системный анализ и принятие решений. Компьютерное моделирование и оптимизация объектов химической технологии в MathCad и Excel
Подождите немного. Документ загружается.
191
Рисунок 7.19 – Результаты моделирования (продолжение)
192
8 Основы оптимизации химико-технологических процессов и
систем
8.1 Постановка задачи оптимизации
Оптимизация находит широкое применение в химической технологии. При
постановке задачи оптимизации необходимо:
1. Наличие объекта оптимизации. В качестве объекта оптимизации может
фигурировать объект (технологический процесс) или его математическая
модель;
2. Наличие ресурсов оптимизации, под которыми понимают возможность
изменение значений некоторых параметров объекта оптимизации. Для
этого объект должен обладать определенными степенями свободы -
управляющими воздействиями (их также иногда называют
оптимизирующими, варьируемыми, поисковыми переменными);
3. Наличие цели оптимизации-критерия оптимизации. Критерий оптимизации
обязательно должен иметь количественную оценку, поскольку только в этом
случае можно сравнивать эффекты от тех или иных значений
управляющих воздействий. Обычно критерий оптимизации связан с
экономичностью работы рассматриваемого объекта (аппарат, установка).
4. Учет ограничений.
Оптимизируемый вариант работы объекта должен сводиться к определению
критерия оптимизации, который представляет собой количественную оценку
оптимизируемого качества объекта.
Критерий оптимизации должен иметь:
– ясный физический смысл;
– отражать наиболее существенные стороны процесса;
– оцениваться количественной мерой.
На основании выбранного критерия оптимизации составляется целевая функция,
представляющая собой зависимость критерия от параметров, влияющих на его
значение. Вид критерия оптимизации или целевой функции определяется
конкретной задачей оптимизации.
Задача оптимизации сводится к нахождению экстремума целевой функции.
Наиболее общей постановкой задачи оптимизации является выражение
критерия оптимизации в виде экономической оценки (производительность,
себестоимость продукции, прибыль, рентабельность). Однако в частных задачах
оптимизации, когда объект является частью технологического процесса, не всегда
удается выделять прямой экономический показатель, который бы полностью
характеризовал эффективность работы рассматриваемого объекта. В таких
случаях критерием оптимизации может служить технологическая характеристика,
косвенно оценивающая экономичность работы агрегата (время контакта, выход
продукта, степень превращения, температура).
Как правило, для конкретных задач оптимизации химических производств
целевая функция для критерия оптимизации не может быть записана в виде
аналитического выражения. Это обстоятельство существенно усложняет решение
задачи оптимизации. Для решения задач оптимизации используются
193
компьютерные технологии на основе специальных методов оптимизации -
методов нелинейного программирования.
Итак, для решения задачи оптимизации необходимо:
1. Составить математическую модель объекта оптимизации;
2. Выбрать критерий оптимизации и составить целевую функцию;
3. Установить возможные ограничения, которые должны накладываться на
переменные;
4. Выбрать метод оптимизации, который позволит найти экстремальные
значения искомых величин.
8.2 Классификация задач оптимизации
Принято различать задачи статической оптимизации для процессов, протекающих
в установившихся режимах, и задачи динамической оптимизации.
В первом случае решаются вопросы создания и реализации оптимальной модели
процесса, во втором - задачи создания и реализации системы оптимального
управления процессом при неустановившихся режимах эксплуатации. Если
требуется определить экстремум целевой функции без задания условий на какие-
либо другие величины, то такая оптимизация называется безусловной. Если
необходимо установить экстремум целевой функции при некоторых условиях,
которые накладываются на ряд других величин (например, определение
максимальной производительности при заданной себестоимости, определение
оптимальной температуры при ограничениях по термостойкости катализатора и
др.), то такая оптимизация называется условной.
Процедура решения задачи оптимизации обязательно включает, помимо выбора
управляющих параметров, еще и установление ограничений на эти параметры
(термостойкость, взрывобезопасность, мощность перекачивающих устройств).
Ограничения могут накладываться как по технологическим, так и по
экономическим соображениям.
В зависимости от числа и вида управляющих параметров будем различать
следующие задачи:
– оптимизация при одной управляющей переменной – одномерная
оптимизация;
– оптимизация при нескольких управляющих переменных –
многомерная оптимизация;
– оптимизация в условиях неопределенности;
– оптимизация с непрерывным, целочисленным, дискретным и
смешанным типом значений управляющих воздействий.
В зависимости от числа критериев при оптимизации различают:
– задачи с одним критерием оптимизации – критерий оптимальности
единственный;
– задачи со многими критериями. Для решения задач со многими
критериями используются специальные методы многокритериальной
оптимизации.
8.3 Выбор управляющих переменных при оптимизации
Все информационные переменные, полностью характеризующие
функционирование системы, подразделяют на проектные (заданные) и расчетные
194
(искомые) переменные. В качестве свободных информационных переменных си-
стемы из множества информационных переменных могут быть выбраны только
лишь проектные переменные ХТС.
Проектные переменные – это такие информационные переменные, которые
характеризуют основную цель функционирования ХТС, воздействие на систему
внешней окружающей среды, взаимосвязь данной системы с другими ХТС.
Расчетные (искомые) переменные – это информационные переменные,
определение которых представляет собой цель проектирования и исследования
системы.
Среди проектных переменных выделяют регламентированные и оптимизирующие
переменные ХТС.
Большая часть регламентированных переменных находится по данным
проектного задания и требованиям технологических условий.
К регламентированным переменным можно отнести следующие технологические
параметры ХТС: массовый расход, состав, температуру и давление потоков сырья
(например, для систем очистки технологических газов); массовый расход, состав и
температуру готовых продуктов; параметры потоков теплоносителей на входе
подсистем с химическими реакторами; тип и активность катализаторов
химических превращений; параметры потоков теплоносителей или хладагентов на
входе и выходе подсистем с теплообменниками, а также параметры
технологических режимов функционирования элементов или подсистем, которые
обусловливают протекание технологических процессов в требуемом направлении.
Другую группу регламентированных переменных составляют конструкционные
параметры элементов или подсистем: конструктивный тип аппаратов, высота
реактора, диаметр и высота слоя катализатора, конструктивные размеры
аппарата и т. п.
Некоторое число степеней свободы ХТС, согласно проектному заданию и
технологическим условиям, расходуют на регламентированные переменные.
Определив неизрасходованное число степеней свободы, необходимо решить,
какие именно информационные переменные нужно выбрать дополнительно для
однозначной характеристики процесса функционирования ХТС. Оставшиеся
степени свободы следует отнести к оптимизирующим переменным, варьирование
численных значений которых при заданных регламентированных переменных
обеспечивает оптимизацию процесса функционирования системы в соответствии
с некоторой целевой функцией. Перед инженером стоит задача из всех
возможных вариантов наборов свободных информационных переменных выбрать
такой, который являлся бы экономически оптимальным. Реальный процесс
функционирования ХТС протекает при наличии определенных ограничений на
качество и количественные значения технологических и конструктивных
переменных системы. Для обеспечения корректности постановки задачи
исследования процессов функционирования ХТС и резкого сокращения объема
вычислительных процедур по оптимизации данной системы в качестве
оптимизирующих проектных переменных необходимо, прежде всего, выбирать
информационные переменные двух видов:
1. Информационные переменные, принимающие, согласно проектному
заданию и технологическим условиям, дискретные значения (например,
конструктивный тип аппаратов; стандартизированные или
нормализованные геометрические размеры оборудования; допустимые
типы катализатора или растворителя и т. д.);
2. Информационные переменные, которые по требованиям проектного
задания и технологических условий или вследствие взаимодействия
195
элементов системы между собой имеют узко ограниченный диапазон
возможных значений.
Так, например, если по технологическим условиям температура t, при
которой происходит химическое превращение компонентов в реакторе ХТС,
ограничена узким диапазоном значений inf t < t < sup t, то эту информационную
переменную целесообразно выбрать как оптимизирующую проектную переменную
системы. Изменяя величину t в заданном диапазоне температур, отыскивают
оптимальный технологический режим в реакторе. Если же эту информационную
переменную t принять за базисную (зависимую) переменную, то ее численное
значение можно определить только после решения системы информационных
связей математической модели и, следовательно, лишь тогда убедиться,
удовлетворяет ли полученный оптимальный технологический режим ограничению
на температуру в реакторе. Такое решение задачи оптимизации требует
значительных затрат расчетного времени. При решении задач проектирования
оптимальных ХТС оптимизирующими информационными переменными являются
как технологические, так и конструкционные параметры, при оптимизации
действующих ХТС – только технологические параметры, обеспечивающие
наилучшие показатели функционирования.
Задачу оптимизации можно представить в виде решения системы из
F
N
уравнений, в которых содержится
x
N неизвестных. Поэтому некоторое количество
Fx
NN переменных является свободным и определяет число поисковых
переменных при оптимизации. Поскольку любая из переменных
x
N в принципе
может оказаться в качестве поисковой, то максимально существует Z вариантов
выбора поисковых переменных,
где
)NN(N
N
Z
FxF
x
.
Это обстоятельство чрезвычайно важно при оптимизации, когда останавливают
свой выбор на одном варианте. Очевидно, что существует еще Z-1 вариант
выбора поисковых переменных. Поскольку от этого выбора существенно зависит
эффективность поиска оптимального режима, то нами ранее был предложен
алгоритм определения наилучшего набора поисковых переменных.
Эффективность этого метода можно продемострировать на простых примерах.
Рассмотрим определение числа степеней свободы и выбор регламентированных
и оптимизирующих свободных информационных переменных для подсистемы
теплообмена (Рисунок 8.1). В трёх теплообменных аппаратах осуществляется
процесс нагрева основного потока от 100
0
C до 500
0
C тремя вспомогательными с
заданными входными температурами. Известны коэффициенты теплопередачи:
K
1
=120
C м
кВт
02
, K
2
= 80
C м
кВт
02
, K
3
=40
C м
кВт
02
, w
1
=w
2
=W=100000
С
кВт
0
.
Необходимо подобрать площади поверхностей теплообмена (м
2
), чтобы критерий
оптимизации F
1
+F
2
+F
3
был минимальным.
196
Рисунок 8.1 – Теплообменная подсистема
Математическое описание рассматриваемого процесса представлено в
следующем виде:
W(T
1
-00)=W(300-t
1
)
W(300-t
1
)=K
1
F
1
1
t
2
)100t()T300(
t
11
1
W(500-T
2
)=W(600-t
3
)
W(600-t
3
)=K
3
F
3
3
t
2
)Tt()500600(
t
23
3
W(T
2
-T
1
)=W(400-2)
W(400-2)=K
2
F
2
2
t
2
)Tt()T400(
t
122
2
Неизвестных – 15: K
1
, K
2
, K
3
, F
1
, F
2
, F
3
, t
1
, t
2
, t
3
, T
1
, T
2
,W,
1
t
,
2
t
,
3
t
.
Уравнений – 9, регламентированные переменные - 4: K
1
, K
2
, K
3
, W.
Поисковых переменных – 2.
Если в качестве поисковых выбрать переменные T
1
и T
2
,то получается
следующий порядок решения системы уравнений: t
3
,
3
t
, F
3
, t
2
,
2
t
, F
2
, t
1
,
1
t
, F
1
.
Выбор в качестве поисковых переменных t
1
, t
2
также приведет к простой
последовательности решения системы уравнений. Неудачный выбор в качестве
поисковых переменных F
1
, F
2
приведет к сложной процедуре итерационного
решения системы уравнений.
8.4 Многомерная оптимизация
Задача условной оптимизации формулируется в традиционном виде.
Найти минимум целевой функции )x...,x,x(R
n,21
по поисковым переменным
n,21
x...,x,x при наличии ограничений:
на поисковые переменные
–
lll
xsupxxinf , l=1(1)L; L – число поисковых переменных;
300
400
600
500
Т2
Т1
100
t1
t2
t3
197
– на поисковые переменные в виде функциональных неравенств
0)x,...,x,x(G
n21j
, j=1(1)J; J – число функциональных неравенств;
–
на поисковые переменные в виде функциональных равенств
0)x,...,x,x(H
n21i
, i=1(1)I, где I – число функциональных равенств.
Все алгоритмы оптимизации имеют итерационный характер.
Переменная i на j +1 итерации определяется формулой:
j,ij,i1j,i
xxx
Для безградиентных методов )x,....,x,x(Rx
j,nj,2j,1j,i
.
Среди безградиентных методов можно назвать: метод Гаусса-Зейделя, метод
Хука-Дживса, методы деформируемого многогранника (симплексный метод) и др.
Основная особенность рассматриваемой группы методов - отсутствие вычисления
градиента критерия оптимальности. Ряд методов прямого поиска базируется на
последовательном применении одномерного поиска по переменным или по
другим задаваемым направлениям, что облегчает их алгоритмизацию и
применение.
При использовании методов градиентной оптимизации величина шага
j,i
x
в
рекуррентном соотношении:
j,ij,i1j,i
xxx
для переменной i на j +1 итерации вычисляется с использованием градиента
целевой функции R(x), т.е. ))x,....,x,x(R grad(fx
j,nj,2j,1j,i
.
При этом шаг может определяться с использованием градиента в одной (текущей)
или в двух (текущей и предыдущей) точках. Направление градиента, как известно,
показывает направление наискорейшего возрастания функции, а его модуль -
скорость этого возрастания.
Поисковые методы оптимизации содержат субъективно задаваемые параметры,
которые существенно влияют на эффективность поиска, вследствие чего один и
тот же метод может дать различные траектории поиска.
Среди этих методов надо выделить метод сопряжённых градиентов и метод
Ньютона. Эти два метода нашли отражение в программном продукте Excel.
8.5 Применение программы компьютерной математики Mathcad для решения
задач условной оптимизации
Наиболее удобным инструментом решения оптимальных задач химической
технологии является программный продукт HYSIS (ASPEN PLUS). К сожалению, в
России этот программный продукт не нашёл широкого применения из-за его
дороговизны. Вместе с тем, следует отметить широкое распространение
программных продуктов Excel и Mathcad различных версий.
С помощью условий Куна-Таккера задача нелинейного программирования
сводится к решению следующей системы нелинейных алгебраических уравнений
и неравенств:
198
0U
0)X(GU
0)X(H
0)X(G
0)X(HV)X(GU)X(R
j
jj
k
j
J
1j
K
1k
kkjj
(8.1)
Эта система из I+J+L уравнений с I+J+L неизвестными может быть решена с
помощью различных программных продуктов.
Для решения этой задачи с помощью программного продукта Mathcad
существуют следующие возможности:
1. Решение задачи с помощью встроенной программы для решения
систем алгебраических уравнений. При этом в системе уравнений
могут быть записаны частные производные целевой функции в
символьном виде.
2. Решение задачи с помощью специальных встроенных функций.
Алгоритм решения задач оптимизации в среде Mathcad традиционный:
– необходимо задать критерий оптимизации и целевую функцию, которую
следует или максимизировать или минимизировать или сделать равным
заданной величине;
– задать значения влияющих факторов (управляющих воздействий);
– определить ограничения, если они есть;
– выбрать метод оптимизации;
– реализовать решение;
– предусмотреть проверку полученных результатов.
В Mathcad 8/2000 и др. введены функции, позволяющие решать разного рода
задачи оптимизации. В среду Mathcad 8/2000 введены две новые функции
Minimize и Maximize, позволяющие решать задачи оптимизации. На рисунке 8.2
показана работа функции Minimize.
Рисунок 8.2 – Работа функции Minimize
199
В среде Mathcad щелчок правой кнопкой мыши по имени «решающих» функций
(minimize или maximize) вызывает дополнительное меню со списком трех
возможных методов численного решения задачи (метод Левенберга-Марквардта,
метод Ньютона и градиентный метод) и их деталей (Options). Две последние
позиции меню: Disable Evaluation – отключение оператора и Optimize – поиск
решения через аналитические преобразования (через поиск аналитического
решения). Технология решения задач оптимизации в среде Mathcad очень схожа с
технологией принятой, в среде электронных таблиц Excel. В обоих случаях
необходимо сформировать целевую функцию, которую следует либо
максимизировать, либо минимизировать, либо сделать равной заданной
величине. Отмечаются переменные, влияющие на целевую функцию, и
формируются ограничения. Функции могут использоваться как самостоятельно,
так и в составе блока Given …….Minimize(F,x
1,
…, x
n
) .
Синтаксис функции: Minimize(F, x
1
,…, x
n
),
где F – критерий оптимизации, оформленный как функция пользователя;
x
1
, …, x
n
– влияющие факторы.
Функция Maximize записывается аналогично.
Блок Given …….Minimize(F,x
1,
…, x
n
) обычно используют, если решается задача
оптимизации с ограничениями на управляющие переменные.
Ниже показано использование для решения задач оптимизации условий Куна-
Таккера и с использованием встроенной функции решения получающейся
системы нелинейных алгебраических уравнений. При этом во втором примере
для этой цели используется символьное вычисление производных.
Пример 1
Решение задачи условной оптимизации. Условия Куна-Такера.
Минимизировать
f x y( ) x
2
y
x
при ограничениях
x
y
= 6
x 1 0
x
2
y
2
26
Задание начальных приближений
v1 0.5
x 2
y 1
u1 0.5
u2 0.5
Given
2 x u1 2 x u2 v1 0
1 2 y u2 v1 0
x y 6 0
u1 x 1( ) 0
u2 26 x
2
y
2
0
u1 0
u2 0
x 1
200
Пример 2
x
y
u1
u2
v1
1
5
1.503
0.187
0.871
Решение задачи
x
y
u1
u2
v1
Find x y u1 u2 v1( )
Проверка
2 x u1 2 x u2( ) v1 7.461 10
14
1 2y u2( ) v1 0
u2 26 x
2
y
2
0
x y( ) 6 0
u1 x 1( )
0
x
3.5
y
0.2
z 3.5
f x y z( ) 1000 x
2
2 y
2
z
2
x
y
g x( )
x
r y( )
y
w z( )
z
h x y z( ) x
2
y
2
z
2
25
q x y z( ) 8 x 14 y 7 z 56
u2
0.01
u3
0.01
v1
0.5
v2
0.5
u1
0.01
x
f x y z( )
d
d
u1
x
g x( )
d
d
u2
x
r y( )
d
d
u3
x
w z( )
d
d
v1
x
h x y z( )
d
d
v2
x
q x y z( )
d
d
0
Given
y
f x y z( )
d
d
u1
y
g x( )
d
d
u2
y
r y( )
d
d
u3
y
w z( )
d
d
v1
y
h x y z( )
d
d
v2
y
q x y z( )
d
d
0
z
f x y z( )
d
d
u1
z
g x( )
d
d
u2
z
r y( )
d
d
u3
z
w z( )
d
d
v1
z
h x y z( )
d
d
v2
z
q x y z( )
d
d
0
x
2
y
2
z
2
25
0
8 x 14 y 7 z 56
0
u1 x
0
u2 y
0
u3 z
0
x 0
y 0
z 0
u1 0
u2 0
u3 0
x
2
y
2
z
2
25 4.792 10
8