Гусман Ю.А., Смирнов А.О. Математика: региональные олимпиады

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Санкт-Петербургский государственный университет

аэрокосмического приборостроения

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Математика

Региональные олимпиады

Санкт-Петербург

2011

Составители: Ю.А.Гусман, А.О. Смирнов.

Рецензент: доктор физико-математических наук, профессор В.Г.Фарафонов.

Материалы I и II туров региональных олимпиад по математике

последних лет, данные с решениями и методическими указаниями,

предназначены для углубленного изучения школьного курса

математики абитуриентами и школьниками старших классов, а также

целенаправленной подготовке к олимпиаде по математике.

Подготовлены к публикации кафедрой высшей математики и

рекомендованы к изданию редакционно-издательским советом

Санкт-Петербургского государственного университета

аэрокосмического приборостроения.

Редактор

Верстальщик

Сдано в набор Подписано к печати

Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл.-печ. Л.

Уч.- изд. Л. Тираж 300 экз. Заказ №

Редакционно-издательский центр ГУАП

190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., д. 67

Предисловие

Дорогие абитуриенты (и их родители)!

В последние годы выпускники школ могут поступать в наш ВУЗ

посредством сдачи единого государственного экзамена (ЕГЭ).

Существенным при этом может быть успешное выступление на олимпиадах.

Отметим, что проведение олимпиад в нашей стране имеет большую

историю. Первые олимпиады по математике были проведены в 1934 году в

Ленинграде и в 1935 – в Москве.

С 2003 года в Санкт-Петербурге проводятся региональные олимпиады,

в том числе и по математике. Первый тур олимпиады проводится ВУЗами

Санкт-Петербурга самостоятельно, обычно этот тур представляет

классический вступительный экзамен конкретного ВУЗа в предшествующие

годы. Победители первого тура проходят на второй городской тур

олимпиады. Каждый вариант региональной олимпиады последних лет

содержал 10 или 12 заданий по основным разделам школьной программы.

При выполнении каждого задания необходима подробная запись решения и

отдельно записанный ответ. Подчеркнем, что в отличие от проверки работ

ЕГЭ, на олимпиадах работы проверяются полностью, как ответы, так и

решения. Максимальное количество баллов, которое можно получить на

региональной олимпиаде также равно 100.Победители региональной

олимпиады получают привилегированное право на поступление в Вузы.

Данная работа предоставляет читателям материалы олимпиад по

математике последних лет проводимые в Санкт-Петербурге (в 2011 году

олимпиада проводилась на федеральном уровне).

Материалы каждого года олимпиады (первого и второго туров) представлены

одним вариантом с подробным решением и методическими указаниями и

тремя вариантами задач с ответами, которые могут быть использованы для

проверки усвоенного материала. Отметим, что наиболее оригинальные

задачи даны с подробными решениями и в тренировочных вариантах.

Убеждены, что серьезная работа над пособием (особенно под

руководством квалифицированных преподавателей наших подготовительных

курсов) поможет Вам добиться желанных результатов.

Желаем абитуриентам больших успехов, а их родителям спокойного

лета перед началом обучения в нашем университете.

1 Олимпиада по математике 2008 г.

1.1 1-й тур олимпиады 2008 г. (ГУАП)

Задание AA-1 (2008) (для технических специальностей) с решением

1. Вычислить

1

( ) (1 )tg tg tg tg

   



  

, если

11 /28, /7

   



.

Решение:

1

11

( ) (1 ) ( ) 1.

1 28 7 4

tg tg

tg tg tg tg tg tg tg

tg tg

    

     







         







Ответ: 1.

2. Вычислить

(lg2 lg5)(lg20 lg5).

Решение:

(lg2 lg5)(lg20 lg5) lg10 lg100 1 2 2.      

Ответ: 2.

3. Упростить и вычислить при

7z 

3/2

( 1) 1

21

2 1 1 1

zz

z

z z z



  

    

.

Решение: Для упрощения преобразований сделаем замену переменной

2

11t z z t    

.

В новых обозначениях выражение примет вид

2 3 2

22

2 2 2

1 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)

22

( 1) 2 1 1 1

( 1) 2 2 1 2 1 2 7 2 9.

t t t t t t t

tt

t t t t t t

t t t t t t z

      

     

      

             

Ответ: 9.

4. Решить уравнение

2 2 2

x



.

Решение: ООУ:

0x 

.

1,5

2 2 2 2 2 1,5 2,25 2,25.

xx

x x x



           

Ответ:

2,25.

5. Решить неравенство

32

0.xx

Решение:

В левой части неравенства выносим за скобку

2

x

и решаем неравенство

2

( 1) 0xx

методом интервалов ( рисунок 1.1). Поскольку значение

0x

включается в ответ, то ответ записываем в виде одного интервала.

Рисунок 1.1. Метод интервалов

Ответ:

[ 1; ).

6. Решить уравнение

2

2sin 7sin 3

12 12

xx



   



   

   

, если

5 15x

.

Решение: Вводя обозначение

sin

12

x

y











, получим квадратное уравнение

2

2 7 3 0yy  

, которое имеет два решения:

12

1

3,

2

yy

.

Поскольку синус любого угла по абсолютной величине не превосходит

единицу, то

1 1 1

sin ( 1) arcsin ,

2 12 2 12 2

( 1) 12 2( 1) .

12 6

k

kk

xx

y k k

x

k x k











        





       

Интервалу

(5;15)

удовлетворяет только

10x 

при

1k 

.

Ответ: 10.

7. Решить уравнение

2 2 1

18 2 16 3x x x x



   

.

Решение: ООУ:

0.x 

Введем обозначение

2

22

2

1 1 1

3 3 9 6 .y x y x x x

x x x



       





В новых обозначениях уравнение принимает вид

22

2( 6) 16 2 28 0.y y y y      

Решая квадратное уравнение, находим его корни

12

4, 3,5.yy  

Таким

образом, возможны два случая.

В первом случае, если

4y 

, то

2

12

11

3 4 3 4 1 0 1,

3

x x x x x

x

           

.

Во втором случае имеем

2

34

1 1 2

3,5 3 3,5 6 7 2 0 ,

23

y x x x x x

x

          

.

Ответ:

1 1 2

1; ; ; .

3 2 3



8. Решить уравнение

11

.

6

x





Решение: ООУ:

0, 36xx

.

Сделаем замену переменной

22

12

2

11

0 6 6 0 2, 3.

6

x y y y y y y y

yy

              



Поскольку

0y 

, то

2 2 4.y x x    

Ответ: 4.

9. Решить неравенство

5 4 3 1 3.xx   

Решение: ООН:

4

5

x 

.

Обе части неравенства положительные, поэтому неравенство можно

возвести в квадрат

 

2

22

5 4 3 1 3 5 4 3 1 9 5 4 2 (5 4)(3 1) 3 1 9

2 15 7 4 12 8 15 7 4 6 4 .

x x x x x x x x

x x x x x x

                 

         

Левая часть полученного неравенства неотрицательная, поэтому правая —

положительна (как большая), т.е.

6 4 0 4 6 1,5x x x     

.

Возводим неравенство еще раз в квадрат

2 2 2

15 7 4 36 48 16 41 40 0 ( 40)( 1) 0.x x x x x x x x            

Решая последнее неравенство методом интервалов, получаем

( ;1) (40; )x   

, а с учетом ООН (

0,8x 

) и доп. условия (

1,5x 

) имеем

[0,8;1).x

Ответ:

[0,8;1).

10. Вычислить

2

cos cos .

55





Решение:

2 /5 2 /5 /5 2 /5 3

cos cos 2sin sin 2sin sin

5 5 2 2 10 10

       



    

32

2cos cos 2cos cos

2 10 2 10 5 5

     

   

   

   

   

.

Поделим и умножим полученное выражение на

2sin

5



и преобразуем с

помощью формулы синуса двойного угла

2 2 2 4

sin

4sin cos cos 2sin cos sin sin

1

5

5 5 5 5 5 5 5

.

2

2sin 2sin 2sin 2sin 2sin

5 5 5 5 5



      



    









    

Ответ: 0,5.

11. Найти наименьшее значение выражения

22

2 2 2 2 2x xy y x y    

.

Решение: Из равенства

2 2 2

( 1) 1 2 2 2x y x y xy x y       

следует, что

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 1 2 2 2 4 1x xy y x y x y xy x y x x              

22

( 1) ( 2) 3 3.x y x       

Наименьшее значение этого выражения (-3) достигается при

2, 3.xy  

Ответ:

3.

12. При каких p уравнение

1px x

не имеет решений?

Решение:

1

1 ( 1) 1 .

1

px x p x x

p

      



Видим, что решение существует для всех

1p 

.

Ответ: 1.

13. Вычислить

3

31

0,425 0,005 :0,1

65

5

42

0,05.

1 1 5

30,5 3 26:3

6 3 7















Решение: Сначала упрощаем числитель

 

3

0,425 0,005 :0,1 0,6 0,42 10 1,02 10 10,2

5



       





и знаменатель первой дроби

1 1 1 1 1 3 1 2

30,5 3 33 33 34.

6 3 2 6 3 6



        

Затем числитель

3 1 3 2 5 49

6 5 11 11

4 2 4 4 4 4

      

и знаменатель второй дроби

5 26

26:3 26: 7.

77



Подставляя найденные значения в исходное выражение и упрощая,

получаем ответ:

10,2 49/4 7

0,05 0,3 0,05 0,3 1,75 0,05 2.

34 7 4

        

Ответ: 2.

14.Решить неравенство

1

lg 1.

x



Решение: ООН:

1

00x

x

  

.

Так как основание логарифма больше единицы, знак неравенства

сохраняется.

1 1 1

lg 1 lg lg10 10

x x x

    

.

Так как

0x 

, то

11

10

x

  

.

С учетом ООН:

0 0,1x

.

Ответ: (0;0,1].

15.Найти количество членов арифметической прогрессии, сумма которой

равна 36, первый член 4, последний 5.

Решение: Нам дано:

1

36, 4, 5

nn

S a a  

.

Для решения задачи воспользуемся одной из формул для суммы первых

n

членов арифметической прогрессии:

1

2

2 36 72

8

2 4 5 9

nn

n

a a S

S n n

aa





      



.

Ответ: 8.

16.Длины диагоналей ромба равны

23

log 9 log 32и

. Найти площадь.

Решение: Чтобы решить эту задачу, используем формулу площади ромба

через длины его диагоналей и свойства логарифмов:

25

1 2 2 3 2 3

23

1 1 1

log 9 log 32 log 3 log 2

2 2 2

1

2log 3 5log 2 5.

2

S d d        

   

Ответ: 5.

Задание AA-2 (2008) (для технических специальностей)

1. Вычислить

3

7

log 49 .

Ответ: 6.

2. Найти область определения функции

2

log .yx

Ответ:

[1; )

.

3. Решить уравнение

3 1 1

2 25 2 125 .

x x x x

  

Ответ: 0.

4. Вычислить

4

25 2 2 5 2 5

2.

5

250 5 8 2



  



Ответ: -1.

5. Решить уравнение при

54x   

 

24

1

2 sin sin 4cos sin 2cos 3sin .

2

x x x

  



  





Ответ: -5.

6. Три числа составляют арифметическую прогрессию, сумма которой

равна 60. Найти первое число, если третье больше первого в 3 раза.

Ответ: 10.

7. Решить неравенство

2

2 9 3 .xx

Ответ: N.

8. Решить уравнение

2 sin2 arccos7 .arc x x

Ответ: 0,125.

9. Упростить и вычислить при

8, 3ab

,

 

1

: 2 .ab ab a ab ab b a b



    

.

Ответ: 4.

10. Решить уравнение

11

.

6

x





Ответ: 4.

11. Вычислить

3

s , sin ; .

52

co если



   

  

Ответ: -0,8.

12. Решить неравенство

 

2

log 2 3 1.

x

x

Ответ:

(1;3)

.

13. Вычислить

2

5sin sin .

55



Ответ: 1,25.

14. Найти острый угол между сторонами параллелограмма, если их длины

равны 1 и 4, а площадь равна 2. Ответ дать в градусах.

Ответ: 30.

15. Решить неравенство

3

1.x 

Ответ:

[1; )

.

16. Решить уравнение

2

.xx

Ответ: -1;0;1.

Задание CA-1 (2008) (для экономических специальностей))

1. Упростить и вычислить при

(

√

)

(

√

)

Ответ: 1.

2. Решить уравнение

√

3. Второй член геометрической прогрессии больше первого на 10%. На

сколько процентов третий член прогрессии больше первого?

Ответ: 21.

4. Решить неравенство

Ответ:

(

)

5. Решить уравнение

=4.

Ответ: 0,5.

6. Укажите номера правильных ответов:

1)

2)

3)2

4)

5)1-2

6) 2

Ответ: 3.

7. Решить неравенство

|

Ответ:

[

]

[

]

[

]

[ ]

8. Решить неравенство

Ответ:

(

)

9. Найти множество значений функции

(

)

Решение: по определению:

|

Обозначим тогда

(

)

(

)

Воспользуемся формулой

(

)

при , тогда

(

)

при

(

)

(

( )

)

тогда:

{

(

)

(

)

(

( )

)

Ответ: [0;2].

10. При каких значениях k все решения системы

{

Удовлетворяют условиям x>1,y>0.

Ответ: (-2;2)

(

)

11. Решить уравнение

√

=cos2 если

Ответ: 4;5.

12. Решить неравенство

√

(

√

)(

√

)

Ответ: [3;7]

[

)

13. Вычислить

если

(

)

Решение: преобразуем искомое выражение:

(

)

=

(

) (

)

=

.

Преобразуем данное условие:

(

)

(

)

cos54x

Подставляя в искомое выражение, получим:

Ответ: -0,5.

14. Решить уравнение

(

)

(

)

Ответ: 1,5;4.

15. Плоские углы при вершине треугольной пирамиды, в

основании которой лежит правильный треугольник, удовлетворяет

соотношению

Найти угол в градусах.

Ответ: 90.

Задание CA-2 (2008) (для экономических специальностей))

1. Упростить и вычислить при a

√

Ответ: 2.

2. Решить уравнение 2

√

Ответ: 1;64.

Гусман Ю.А., Смирнов А.О. Математика: региональные олимпиады

Подождите немного. Документ загружается.