Гусман Ю.А., Смирнов А.О. Математика: региональные олимпиады

3. В арифметической прогрессии 800 членов. Сумма членов, стоящих на

нечетных местах, равна 45, а сумма членов с четными номерами равна

945. Найдите разность прогрессии.

Ответ: 2,25.

4. Решить неравенство

Ответ: (- ]

5. Решить уравнение

|

=

|

.

Ответ: 0,1;2;1000.

6. Укажите номера правильных ответов.

Функция f(x) является нечетной периодической функцией.

1)

(

)

2)

(

)

(

)

3)

(

)

2lg

|

4)

(

)

5) ( )=

6)

(

)

(

)

Ответ: Нет.

7. Решить уравнение

|

Ответ:

{

}

[ ]

8. Решить неравенство

Ответ:

(

)

9. Решить уравнение

Ответ: 0

10. При каких значениях a система уравнений

{

имеет два решения?

Ответ: 2;3.

11. Решить уравнение

=ctg( )

если

Ответ: 1,8;2,25.

12. Решить неравенство

√

Ответ: ( ]

13. Вычислить без калькулятора

√

(

)

Ответ: -3

14. Решить уравнение 75

(

)

(

)

Ответ: 0,25;0,5;4;8.

15. Один из внутренних углов треугольника делится высотой,

биссектрисой и медианой на четыре равные части. Найти (в градусах)

угол между биссектрисой и медианой.

Решение: рассмотрим треугольник ABC (рисунок 1.2), в котором угол

при вершине делится высотой, биссектрисой и медианой на четыре

равные части равные

По теореме синусов

Обозначим ( ).

Так как AD= , , то

(

)

(

)

(

)

Так как

(

)

то

(

)

=0

Ответ: 22,5.

1.2 2-й тур олимпиады 2008 г.

Задание № А- 1 (2008 г.) с решением.

1. Решить уравнение

   

2

22

2 3 5 2 2 1 0.x x x x      

Решение: ООУ:

.xR

Перегруппируем искомое уравнение и сделаем замену

2

23y x x  

:

   

2

2 2 2

12

2 3 5 2 3 6 0 5 6 0 2; 3.x x x x y y y y             

Полученное квадратное уравнение можно было решить по теореме Виета.

Сделаем обратные замены и решим квадратные уравнения:

 

2

22

1

22

23

2 3 2 2 1 0 1 0 1;

2 3 3 2 0 2 0 0; 2.

x x x x x x

x x x x x x x x

           

           

Ответ:

 

0;1;2

.

2. Решить неравенство

2

2 11 9

92

.

43

xx

   



   

   

Решение: ООН:

.xR

Преобразуем неравенство:

2 2 2

2 11 9 2 9 11 2 4 9 11

9 2 9 3 3 3

.

4 3 4 2 2 2

x x x x x x     

           

    

           

           

Так как основания больше единицы, то

  

22

2 4 9 11 2 11 13 0 2 1 6,5 0.x x x x x x          

Решая неравенство по методу интервалов, получаем:

6,5; 1.xx  

Ответ:

( ; 6,5] [1; )   

.

3. Решить неравенство

7 1.xx  

Решение: ООУ:

7 0 7.xx   

Преобразуем неравенство:

7 1 7 1 .x x x x      

Возведем неравенство в квадрат при

1 0 1,xx   

что возможно, так как

обе части неравенства неотрицательны:

  

22

7 1 7 1 2 6 0 2 3 0.x x x x x x x x x               

Так как

1,x 

то

3 0 2 0 2.x x x       

Таким образом,

2 1.x  

Если же

1 7,x

то неравенство выполняется автоматически и поэтому

решением неравенства будет:

2 7.x  

Ответ:

[ 2;7].

4. Вычислить площадь треугольника, ограниченного прямой

3x 

и

прямыми, проходящими через начало координат и образующими с осью

OX

углы

15 120 .и

Решение: Изобразим прямую

3x 

(AD) и прямые, проходящие через начало

координат и образующими с осью

OX

углы

( ) и

( ) (рисунок

1.3).

Требуется вычислить площадь треугольника OAD.

 

.

22

OAD

AB BD OB

AD OB

S







Из треугольника OAB:

15.AB OB tg

Из треугольника ODB:

60.BD OB tg

И тогда

 

2

45 30 3 9

15 60

2 2 2

1

3

93

31

45 30

1

93

1

31

1 45 30

3

2 2 2

31

3 2 3 1

93

2

9 2 3 3

2

9.

2 2 2

OAD

tg

tg tg OB

AB BD OB

S

tg tg

  



   























  







     

   





















   

   

Ответ: 9.

5. Решить неравенство

 

22

log 3 4 1 2log 2.

xx

x  

Решение: ООУ:

22

3 4 0 0,75; 0 0; 1 1.x x x x x x          

С учетом ООУ:

( ; 1) ( 1;0) (0;0,75).x     

Перепишем искомое неравенство в виде:

   

2 2 2 2

2

log 3 4 1 2log 2 log 3 4 log 4 .

x x x x

x x x     

При

2

( ; 1) 1,xx    

и поэтому:

  

22

3 4 4 4 4 3 0 1,5 0,5 0.x x x x x x         

Отсюда:

1,5.x 

При

2

( 1;0) (0;0,75) 1xx    

, и тогда:

  

22

3 4 4 4 4 3 0 1,5 0,5 0.x x x x x x         

Учитывая область, в которой мы решаем неравенство:

( 1;0) (0;0,5).x  

И окончательно:

Ответ:

( ; 1,5) ( 1;0) (0;0,5).    

6. При каком значении параметра

a

уравнение

32

9 8 0x x ax   

имеет три

различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию.

Решение: Пусть уравнение имеет три различных действительных корня,

образующих геометрическую прогрессию:

2

1 2 3 2 1 3

, , .x x x x x x

С данными корнями уравнение имеет вид:

     

 

   

2

1 2 3 1 2 1 2 3

32

1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3

00

0.

x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x

          

        

Из сравнения имеем:

1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3

9; ; 8.x x x x x x x x x a x x x      

Для нахождения корней решаем систему:

1 2 3 1 2 3 2

2

1 2 3 2 2 1 3

22

2 1 3 2 1 3 1 3

9, 9, 2,

8, 8, 7,

, , 4.

x x x x x x x

x x x x x x x x



       







      





  



Так как

 

1 2 1 3 2 3 1 3 2 1 3

4 2 7 18.x x x x x x a a x x x x x          

Ответ: 18.

7. Решить неравенство

3

2

13 12

1.

12

xx

x

xx







Решение: ООН:

2

12

12 0 3, 4.x x x x      

В ООН преобразуем неравенство:

 

3

23

2

13 12

1 1 12 12.

12

xx

x x x x x x

xx



         



Так как

   

3

12 1 3 4 ,x x x x x     

то неравенство запишем в виде:

           

 

23

1 12 12 1 3 4 1 3 4 .x x x x x x x x x x x                

Если

2

12 0 3, 4,x x x x      

то

     

 

3 4 3 4 ,x x x x    

и неравенство принимает вид:

         

 

1 3 4 1 3 4 ,x x x x x x        

то есть является тождеством и

выполняется при

3, 4.xx  

Если

2

12 0 3 4,x x x      

то

     

 

3 4 3 4 ,x x x x     

и неравенство принимает вид:

         

 

   

1 3 4 1 3 4 2 1 3 4 0.x x x x x x x x x              

Решая неравенство при

3 4,x  

получаем:

1 4.x  

Объединяя решения, получаем:

Ответ:

( ; 3) [ 1;4) (4; )     

.

8. Найти множество значений функции

3

6sin 7cos2 .y x x

Решение: Пользуясь формулой для косинуса двойного угла, запишем

y

как

функцию только от синуса:

 

3 3 2 3 2

6sin 7cos2 6sin 7 1 2sin 6sin 14sin 7.y x x x x x x       

Обозначив

32

sin 6 14 7z x y z z    

, получили функцию одного

переменного при изменении

1 1.z  

Вычислим производную функции:

2

14

18 28 18 .

9

y z z z z





   





Критической точкой является лишь

0z 

при

1 1.z  

В данной точке функция имеет максимум, так как при

0z 

функция

возрастает, а при

0z 

функция убывает, причем

 

0 7.y 

Так как функция может принимать наибольшее и наименьшее значение либо

в точках экстремума, либо на границах интервала, то вычислим значения:

   

1 13, 1 1.yy    

Таким образом,

13 7.y  

Ответ: [-13;7].

9. Найти решения уравнения

3sin3 sin 4cos3 8cos 0,x x x x    

лежащие в промежутке

( ; ).

22

x





Решение: ООУ:

.xR

Подставим в уравнение значения синусов и косинусов тройных аргументов и

преобразуем полученное уравнение:

 

   

 

      

 

22

32

22

2

22

3 sin 3 4sin sin 4 cos 1 4sin 8cos 0

10sin 12sin 12cos 16cos sin 0

5 cos sin 6sin cos sin cos 1 2sin 0

5 cos sin 6sin cos sin cos cos sin cos sin 0

cos sin 5 6sin cos

x x x x x x

x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x

       

      

       

        

   

 

cos sin 0.xx

Приравниваем нулю каждое из сомножителей и решаем полученные

уравнения в области задания неизвестных:

 

cos sin 0 1 cos 0 , .

44

x x tgx x x n n Z x





          

 

22

2 2 2 2

2 2 2

5 6sin cos sin cos 0

5sin 5cos 6sin cos sin cos 0

sin sin cos 6cos 0 6 0 cos 0 .

x x x x

x x x x x x

x x x x tg x tgx x

    

      

        

Решая по теореме Виета квадратное уравнение, получаем:

3 3 , ,

2 2 , .

tgx x arctg k k Z

tgx x arctg l l Z



      

    

Учитывая область задания неизвестных:

3, 2.x arctg x arctg  

Ответ:

3; ; 2.

4

arctg arctg





10. При каких значениях параметра

a

уравнение

   

2 1 2 1 2

9 18 2 8 12 2 4 38 79

xx

a a a a a a



       

имеет два корня,

расположенных по разные стороны от точки

1x 

?

Решение: ООУ:

.xR

Сделаем замену

2 , 0

x

tt

и преобразуем уравнение:

   

 

     

2 1 2 1 2

2 2 2

2

22

2 2 2 2

9 18 2 8 12 2 4 38 79

2 9 18 2 2 8 12 2 4 38 79

2 8 12

2 9 18 4 38 79

2 9 18 4 38 79 2 8 12 0.

xx

a a a a a a

aa

a a t a a

t

a a t a a t a a





        

         



       

         

Функция

2

x

y 

монотонно возрастает на всей числовой прямой и при

1x 

принимает значение 2. Поэтому исходное уравнение имеет два корня,

расположенные по разные стороны от точки

1x 

, тогда и только тогда,

когда уравнение

     

2 2 2 2

2 9 18 4 38 79 2 8 12 0a a t a a t a a        

Имеет два корня, один из которых удовлетворяет неравенству

0 2,t

а

второй – неравенству

2.t 

Функция

 

     

2 2 2 2

2 9 18 4 38 79 2 8 12f t a a t a a t a a        

имеет ровно один корень, удовлетворяющий неравенству

0 2,t

тогда и

только тогда, когда она принимает значения разных знаков на концах отрезка

[0;2]. При этом если коэффициент перед старшей степенью положителен, то

мы должны потребовать, чтобы

 

2 0.f 

Именно в этом случае второй корень

также будет существовать и будет больше двух. Мы воспользовались

теоремой о том, что непрерывная функция, принимающая на концах отрезка

значения разных знаков, имеет, по крайней мере, один корень на этом

отрезке. Аналогично, в случае, если коэффициент перед

2

t

отрицателен, для

существования двух корней

0 2,t

и

2t 

необходимо и достаточно

выполнения условия

 

2 0.f 

Поэтому поставленная задача равносильна двум системам:

     

  

2

2 2 2 2

9 18 0,

8 12 0,

2 9 18 2 4 38 79 2 2 8 12 0,

3 6 0,

2 6 0, 1 2.

1 5 0,

aa

a a a a a a

aa

a a a

aa



  



   





        





  





     





  



Вторая система имеет вид:

     

  

2

2 2 2 2

9 18 0,

8 12 0,

2 9 18 2 4 38 79 2 2 8 12 0,

3 6 0,

2 6 0, 5 6.

1 5 0,

aa

a a a a a a

aa

a a a

aa



  



   





        





  





     





  



Окончательно:

1 2;5 6.aa   

Ответ:

   

1;2 5;6

.

Задание № А-2 (2008 г.)

1. Решить уравнение

   

2

22

2 1 9 2 2 23 0.x x x x      

Ответ: -1,5;-0,5;1;2.

2. Решить неравенство

2

12

2 49

.

74

xx

   



   

   

Ответ:

( ; 3) (1; )   

.

3. Решить неравенство

2 8 0.xx   

Ответ: [2;11).

4. Вычислить площадь треугольника, ограниченного прямой

2y 

и

прямыми, проходящими через начало координат и образующими с осью

OX

углы

15 30 .и

Ответ: 4.

5. Решить неравенство

 

2

0,25

log 2 3 1.

x

x

Ответ: (1,5;2)

(2;6]

.

6. При каком значении параметра

a

уравнение

32

13 64 0x x ax   

имеет

три различных действительных корня, образующих геометрическую

прогрессию.

Ответ: 52.

7. Решить неравенство

3

2

21 20

1.

20

xx

x

xx







Ответ: (-1;5).

8. Найти множество значений функции

3

5 s 4cos2 .y co x x

Ответ: [-9;4].

9. Найти решения уравнения

sin3 sin 3cos3 3cos 0,x x x x    

лежащие в промежутке

( ; ).

22

x





Ответ:

3; ;

44

arctg





.

10. При каких значениях параметра

a

уравнение

   

2 1 2 1 2

8 12 3 13 40 3 9 82 152

xx

a a a a a a



       

имеет два корня,

расположенных по разные стороны от точки

1x 

?

Ответ:

( 1;2) (5;6)

.

Задание № А-3 (2008 г.)

1. Решить уравнение

(

)

(

)

Ответ: -2;-1;0.

2. Решить неравенство

(

)

(

)

Ответ: (-3,5;1).

3. Решить неравенство

√

Ответ: [1;5].

4. Вычислить площадь треугольника, ограниченного прямой и

прямыми, проходящими через начало координат и образующими с осью

OX

углы

и

Ответ: 9.

5. Решить неравенство

(

)

Ответ: (0,25;0,5)

(

)

6. При каком значении параметра

a

уравнение

имеет три различных действительных корня, образующих геометрическую

прогрессию.

Ответ: 36.

7. Решить неравенство

|

Ответ: (-3;-2).

8. Найти множество значений функции

Ответ: [-6;13].

9. Найти решения уравнения

лежащие в промежутке

( ; ).

22

x





Ответ:

10. При каких значениях параметра

a

уравнение

(

)

(

)

имеет два

корня, расположенных по разные стороны от точки

Ответ: (-2;0)

(

)

Задание № А-4 (2008 г.)

1. Решить уравнение

(

)

(

)

Ответ: -1;1;2;4.

2. Решить неравенство

(

)

(

)

Ответ: [0,5;2,5].

3. Решить неравенство

√

Ответ: [-3,5;1).

4. Вычислить площадь треугольника, ограниченного прямой x и

прямыми, проходящими через начало координат и образующими с осью

OX

углы

и

Ответ: 4.

5. Решить неравенство

(

)

Ответ:

(

]

(

)

( ).

6. При каком значении параметра

a

уравнение

имеет три различных действительных корня, образующих геометрическую

прогрессию.

Ответ: 33.

7. Решить неравенство

|

Ответ:

(

)

(

]

( ).

8. Найти множество значений функции

Ответ: [-6;13].

9. Найти решения уравнения

лежащие в промежутке

( ; ).

22

x





Ответ:

10. При каких значениях параметра

a

уравнение

(

)

(

)

имеет два

корня, расположенных по разные стороны от точки

Ответ: (1;2)

(

)

2 Олимпиада по математике 2009 г.-

2.1 1-й тур олимпиады 2009 г. (ГУАП)

Задание № АА1-1 (2009) (с решением)

1. Решить уравнение 2cos(

)

√

, если 0≤x

Решение: приведем уравнение к простейшему и решим его;

2cos(

)

√

cos(

)

√

После упрощений имеем:

В области задания имеем:

Ответ: 0;0,5.

2. Решить уравнение

(

)

(

)

.

Решение: ООУ:

Сделаем замену y=

и, учитывая, что

, получим:

(

)

: |

| то имеем лишь:

√

Ответ:

;3.

3. Решить уравнение

|

Решение: разобьем числовую ось на интервалы, в каждом из которых

выражения под модулями имеют определенный знак:

то

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

то

(

)

(

)

(

)

то

(

)

(

)

(

)

то

(

)

(

)

(

)

Ответ: 1;3.

4. Вычислить без калькулятора

Решение: пользуясь свойствами логарифмов, получаем:

(

)

Ответ: 1.

5. При каких a уравнение ax=1-2ax не имеет решений?

Решение: решим уравнение: ax=1-2ax

Данное уравнение не имеет решений при a=0.

Ответ: 0.

6. Вычислить sin

Решение: воспользовавшись основным логарифмическим тождеством,

получим:

Ответ: 0.

7. Найти все y, удовлетворяющее системе

{

Решение: выразим из первого уравнения:

{

равенство в системе примет вид:

Ответ: [3; ).

8. Решить неравенств0

√

Решение: ООН: .

Возведем неравенство в квадрат:

С учетом ООН:

Гусман Ю.А., Смирнов А.О. Математика: региональные олимпиады

Подождите немного. Документ загружается.