Гусман Ю.А., Смирнов А.О. Математика: региональные олимпиады
Подождите немного. Документ загружается.
Ответ: [2;11].
9. Упростить и вычислить при
√
(
)
(
)
(
)
Решение: пользуясь формулами сокращенного умножения, получаем:
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
(√
)
Ответ: 2.
10. Длина окружности равна . Найти радиус.
Решение: так как длина окружности равна то
Ответ: 5.
Задание № АА1-2 (2009)
1. Решить уравнение 2
(
) , если 9≤x
Ответ: 9;11.
2. Решить уравнение 4
.
Ответ: -2,5;0,5;2.
3. Решить уравнение
|
|
Ответ: -5;1.
4. Решить уравнение
Ответ: 1;3.
5. При каких a уравнение
имеет решение?
Ответ: [0;1].
6. Вычислить без калькулятора c
Ответ: 0,5.
7. Решить неравенство
.
Ответ: (- -1].
8. Решить неравенство
√
Ответ: ( ].
9. Упростить и вычислить при
√
Ответ: 7.
10. Площадь круга равна . Найти радиус.
Ответ: 4.
Задание № АА1-3 (2009)
1. Решить уравнение
(
)
(
)
, если [ )
Ответ: 1.
2. Найти все из системы
{
.
Ответ: 3.
3. Решить уравнение
√
√
√
√
Ответ: 6.
4. Вычислить без калькулятора
Ответ: 3.
5. При каких значениях a уравнение 2ax=x обращается в
тождество?
Ответ: 0,5.
6. Вычислить
если ctgx=2.
Ответ: 4,25.
7. Решить неравенство
Ответ: (-1;2].
8. Решить неравенство
√
Ответ: [0;4].
9. Вычислить
при
√
√
Ответ: 6.
10. Найти площадь ромба, если его стороны образуют угол в
а
их длины равны 4.
Ответ: 8.
Задание № АА1-4 (2009)
1. Решить уравнение tg , если 0≤x
Ответ: 0,25.
2. Решить уравнение
.
Ответ: -1;1.
3. Решить уравнение
√
√
Ответ: -1.
4. Решить уравнение
Ответ: -2;1.
5. При каких p уравнение px=x+1 не имеет решений?
Ответ: 1.
6. Вычислить без калькулятора
Ответ:
.
7. Решить неравенство
Ответ:
(
)
(
)
.
8. Решить неравенство
√
√
Ответ: (2; ).
9. Упростить и вычислить при
√
√
(√
)
Ответ: 1.
10. Найти длину основания равнобедренного треугольника, площадь
которого равна 1, а длина боковой стороны равна
√
.
Ответ: 2.
2.2 2-й тур олимпиады 2009 г.
Задание по математике № А-7 (с решением)
II тур аэрокосмической олимпиады (2009)
1. Вычислить без калькулятора
√
√
Решение: внося под один корень и упрощая, получаем:
√
√
√
√
Ответ: 0,6.
2. Решить неравенство
(
)
(
)
Решение: выровняем основания:
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
.
как основания больше единицы, то
(
)
Найдя корни квадратного трехчлена
получаем:
Ответ:
(
)
(
)
3. Решить неравенство
Решение: двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:
{
Решая каждое из неравенств, получим:
{
{
{
Взяв пересечение полученных множеств, имеем:
Ответ: (-2;1].
4. Решить уравнение
√
Решение: ООУ: подкоренное выражение положительно, так как
дискриминант квадратного трехчлена отрицателен.
Дополнительное условие – левая часть должна быть неотрицательна:
Введя новую переменную y=
√
>0, перепишем уравнение в
виде:
Так как y>0, то имеем лишь
√
Ответ: -2;1.
5. Решить неравенство
√
Решение: ООН:
.
Дополнительное условие – правая часть должна быть положительна:
x>1. Возводя обе части в квадрат, получаем:
(
)
C учетом ООН:
Ответ:
(
]
[
)
6. Решить неравенство
Решение: ООН: x>0,x
Пользуясь формулой:
запишем неравенство в виде:
то
, получаем:
с учетом ООН:
Ответ: (0;1)
(
)
7. Решить уравнение
√
Решение: ООУ: подкоренное выражение неотрицательно.
Дополнительное условие – правая часть должна быть положительна.
Введя новую переменную y=
>0, перепишем уравнение в виде:
√
квадрат и разложим на множители:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
Делая обратную замену, получаем:
Ответ: 1.
8. Решить уравнение 9
(
)
Решение: ООУ:
|
|
Введя новую переменную y= , перепишем уравнение в виде:
y=
√
В область определения y входит лишь второй корень, поэтому:
(
)
Ответ: -0,5.
9. Найти сумму всех трехзначных натуральных чисел, делящихся на 12.
Решение: так как
то наименьшее натуральное трехзначное
число, делящееся на 12: А так как
то
наибольшее натуральное трехзначное число, делящееся на 12:
Так как все трехзначные натуральные числа, делящиеся
на 12, образуют арифметическую прогрессию с разностью прогрессии
равной 12, первым членом равным 108, последним равным 996, то по
формуле общего члена определим число членов прогрессии.
(
)
(
)
Сумма арифметической прогрессии
Ответ: 41400.
10. Найти площадь фигуры, которая задается на координатной
плоскости системой неравенств:
22
,
0,
0.
x y x y
x
y
Решение: выделим в первом неравенстве полные квадраты:
2
22
2 2 2 2
1 1 1
0
22
2
x y x y x x y y x y
.
Данным неравенством задан круг с центром в точке с координатами
11
;
22
и радиусом
1
2
. Учитывая второе и третье неравенство, вычислим
площадь той части круга, которая находится в первой четверти (рисунок
2.1).
Рисунок 2.1. Часть круга
Рассмотрим треугольник NOB: он прямоугольный, так как
1
2
ON OB
и
имеет площадь
1
24
OB ON
S
.
Площадь четверти круга
2
2
1
2
4 4 8
R
, поэтому площадь
сег мента NDB равна
1
84
. Так как площадь всего
круга
2
, то искомая площадь равна
11
2
2 8 4 4 2
.
Ответ:
1
42
.
11. Найти множество значений функции y
Решение: пользуясь формулой для косинуса двойного угла, перепишем
данную функцию в удобном виде:
(
)
=
Обозначив z=
имеем y
Найдем множество значений функции для
Найдем критическую точку данной функции:
области задания нашей
функции, то наименьшее и наибольшее значение функции находятся на
границах нашей области:
(
)
(
)
Ответ: [-6;3].
12. При каких значениях a отношение корней уравнения
(
)
(
)
равно 1,5?
Решение: обозначим корни квадратного уравнения:
и
Тогда по условию
По теореме Виета
{
Подставив условие в систему, получим:
{
{
( )
(
(
)
)
(a+1) , то
(
)
(
)
+12,5
√
Ответ: 1;3,5.
Задание по математике № А-9
II тур аэрокосмической олимпиады (2009)
1. Вычислить без калькулятора
√
√
Ответ: 1,5.
2. Решить неравенство
(
)
(
)
Ответ:
(
]
[
)
3. Решить неравенство 9<
Ответ: [-4:-3).
4. Решить уравнение
√
Ответ: -1,5;2.
5. Решить неравенство √
Ответ: (-1;1].
6. Решить неравенство
Ответ: (1;2].
7. Решить уравнение
√
Ответ: 1.
8. Решить уравнение 16
(
)
Ответ: 0,5
√
9. Найти сумму всех трехзначных натуральных чисел, делящихся на 6.
Ответ: 82350
10. Найдите площадь фигуры, которая задается на координатной
плоскости системой неравенств
{
Ответ: 6
11. Найти множество значений функции y
Ответ: [-13;7].
12. При каких значениях a отношение корней уравнения
равно 2?
Ответ: -1,5;6.
Задание по математике № А-10
II тур аэрокосмической олимпиады (2009)
1. Вычислить без калькулятора
√
√
Ответ:
2. Решить неравенство
(
)
(
)
Ответ: (- )
(
)
3. Решить неравенство
Ответ: [-6;-2]
[
]
4. Решить уравнение
√
Ответ: -2;3.
5. Решить неравенство
√
Ответ: [-2;1).
6. Решить неравенство
Ответ: (0;0,4]
(
)
7. Решить уравнение
√
Ответ: 2.
8. Решить уравнение 36
(
)
Ответ: -0,5.
9. Найти сумму всех трехзначных натуральных чисел, делящихся на 14.
Ответ: 35392.
10. Найдите площадь фигуры, которая задается на координатной
плоскости системой неравенств
{
Ответ: 4
11. Найти множество значений функции y
Ответ: [-9;4].
12. При каких значениях a корни
и
уравнения
(
)
удовлетворяют соотношению 2
?
Ответ: 2;4,5.
3 Олимпиада по математике 2010 г.-
3.1 1-й тур олимпиады 2010 г. (ГУАП)
Задание № Е-2 (2010) (с решением)
1 тур региональной олимпиады (ГУАП)
1. Решить уравнение sin
, если -6≤x
Решение: ООУ:
В ООУ 2sin
,
Пользуясь формулами для тригонометрических функций двойного
аргумента, получаем:
(
)
и
ое уравнения не имеет решений, так как синус
и косинус одного аргумента не могут одновременно равняться (по
модулю) единице.
Ответ: N.
2. Решить уравнение
(
)
.
Решение: ООУ:
Раскладывая на множители и сокращая, имеем в ООУ:
(
)(
)
=
(
)
Таким образом, x любое в области определения.
Ответ:
(
)
(
)
(
)
3. Решить уравнение
√
Решение: ООУ:
Дополнительное условие:
Возводя в квадрат, получаем:
.
Решая квадратное уравнение, получаем:
√
=
Учитывая дополнительное условие: x=-2.
Ответ: -2.
4. Решить неравенство
(
)
Решение: перепишем неравенство в виде:
(
)
(
)
так как основание больше единицы, то
(
)(
)
.
следует, что
Ответ:
(
)
.
5. При каких значениях a уравнение ax=x обращается в
тождество?
Решение: запишем уравнение в виде
(
)
Равенство справедливо при любом x, если a=1.
Ответ: 1.
6. Вычислить cos , если sin
Решение: записав основное тригонометрическое тождество, получим:
Ответ: 0.
7. Найти все y, удовлетворяющие системе
{
Решение: выражаем x из первого уравнения и из неравенства находим
значения для y:
{
{
(
)
{
Ответ: [3; ).
8. Решить неравенство
√
Решение: ООН:
Возводя обе части неравенства в квадрат (это возможно, так как обе
части неравенства неотрицательны), получаем:
√
С учетом ООН:
Ответ: [2;11].
9. Упростить и вычислить при
√
√
Решение: Так как
√
(
√
)
(√
√
)
Ответ: 1.
10. Найти угол при основании равнобедренного треугольника, если
угол при вершине равен
. Ответ дать в градусах.
Решение: Обозначив угол при вершине треугольника за
, а углы
при основании за (они равны), имеем:
Ответ:
Задание № Е-1 (2010)
1 тур региональной олимпиады (ГУАП)
1. Решить уравнение
(
)
, если
|
|
Ответ: -0,5;0,5.
2. Решить уравнение
.
Ответ: 3.
3. Решить уравнение
√
√
Ответ: 20.
4. Решить неравенство
(
)
Ответ: (-1;7).
5. При каких значениях параметра a уравнение
ax+4=0 не
имеет решения?
Ответ: (-4;4).
6. Вычислить без калькулятора sin
Ответ: 1,5.
7. Решить неравенство 25<
Ответ: (5;6).
8. Найти наименьшее значение, удовлетворяющее неравенству
√
Ответ: 2.
9. Упростить и вычислить при
√
(
)
(
√
)
(
√
)
Ответ: 1.
10. Длина одного из катетов прямоугольного треугольника равна 2,5,
а гипотенузы
√
. Найти его площадь.
Ответ: 10.
Задание № Е-3 (2010)
1 тур региональной олимпиады (ГУАП)
1. Решить уравнение 2cos(
)
√
, если 0≤x
Ответ: 0;0,5.
2. Решить уравнение
.
Ответ: 3.
3. Решить уравнение
√
Ответ: -2,5;4.