Гусман Ю.А., Смирнов А.О. Математика: региональные олимпиады
Подождите немного. Документ загружается.
Рисунок 4.11. Многогранник
Задача 10. Плоская фигура W представляет собой множество всех
точек, координаты которых ( ) удовлетворяют неравенству:
|
|
|
|
|
|
|
| Нарисуйте фигуру W и найдите ее площадь.
Ответ: 30.
Рисунок 4.12. Плоская фигура W.
III вариант
Задача 1. Решите уравнение
√
|
|
Ответ: -1;
(
) .
Задача 2. Ваня сдал три ЕГЭ. По русскому языку он набрал на 5
баллов меньше, чем по физике, а по физике – на 9 баллов меньше, чем
по математике. Золотая рыбка, приснившаяся Ване, обещала
выполнить любое количество желаний следующих видов:
*прибавить по баллу за каждый экзамен;
*за один экзамен (по выбору Вани) уменьшить баллы на 3, а за каждый
из двух остальных – увеличить на 1.
Рыбка выполняет желание, если при этом ни один результат не
превысит 100 баллов. Мог ли Ваня во сне набрать 100 баллов более
чем по одному экзамену?
Ответ: Нет.
Задача 3. Туземец из племени Танга-Танга за 111 стрел в порядке
натурального обмена мог получить 2 барабана, 3 жены и одну
леопардовую шкуру. Две леопардовые шкуры ценились на 8 стрел
меньше, чем 3 барабана и 4 жены. Сколько стрел по отдельности
стоили барабан, жена и леопардовая шкура, если за леопардовую
шкуру нужно было отдать четное число стрел? (Каждый из этих
предметов стоит целое число стрел.)
Ответ: 20;9;44.
Задача 4. Если пассажир поедет из Москвы в Санкт-Петербург
обычным поездом, то он доедет туда за 10 часов. Если же он поедет
экспрессом, которого придется ждать больше 2,5 часов, то он приедет
на 3 часа раньше поезда. Найдите отношение скоростей экспресса и
поезда, если известно, что через 2 часа после отхода экспресс окажется
на том же расстоянии от Москвы, что и поезд.
Ответ: Экспресс в 2,5 раза быстрее.
Задача 5. Три правильных семиугольника имеют общий центр, их
стороны соответственно параллельны. Стороны двух семиугольников
равны 6 см и 30 см. Третий семиугольник делит площадь фигуры,
заключенный между первыми двумя, в отношении 1:5, считая от
меньшего семиугольника. Найдите сторону третьего семиугольника.
Ответ: 6
√
.
Задача 6. Функция такова, что
(
)
(
)
для
всех x,y. Найдите все возможные значения выражения
(
)
(
)
(
)
(
)
Ответ: 4.
Задача 7.В равнобедренном треугольнике с периметром 60 см точка
пересечения медиан лежит на вписанной окружности. Найдите
стороны треугольника.
Ответ: 25;25;10.
Задача 8. Решите систему
{
Ответ: (6;3;6),(6;6;3).
Задача 9. На рисунке 4.13 изображен многогранник, все двугранные
углы которого прямые. Саша утверждает, что кратчайший путь по
поверхности этого многогранника от вершины X до вершины Y имеет
длину 4. Прав ли он?
Рисунок 4.13. Многогранник.
Ответ: Нет.
Задача 10. Плоская фигура W представляет собой множество всех
точек, координаты которых ( ) удовлетворяют неравенству:
|
|
|
|
|
|
|
| Нарисуйте фигуру W и найдите ее площадь.
Ответ: 30.
Рисунок 4.14. Плоская фигура W.
IV вариант
Задача 1. Решите уравнение
√
|
|
Ответ: 2;
.
Задача 2. Ваня сдал три ЕГЭ. По русскому языку он набрал на 3
балла меньше, чем по физике, а по физике – на 7 баллов меньше, чем
по математике. Золотая рыбка, приснившаяся Ване, обещала
выполнить любое количество желаний следующих видов:
*прибавить по баллу за каждый экзамен;
*за один экзамен (по выбору Вани) уменьшить баллы на 3, а за каждый
из двух остальных – увеличить на 1.
Рыбка выполняет желание, если при этом ни один результат не
превысит 100 баллов. Мог ли Ваня во сне набрать 100 баллов более
чем по одному экзамену?
Ответ: Нет.
Задача 3. Туземец из племени Танга-Танга за 111 стрел в порядке
натурального обмена мог получить 2 барабана, 3 жены и одну
леопардовую шкуру. Две леопардовые шкуры ценились на 8 стрел
меньше, чем 3 барабана и 4 жены. Сколько стрел по отдельности
стоили барабан, жена и леопардовая шкура, если за леопардовую
шкуру нужно было отдать четное число стрел? (Каждый из этих
предметов стоит целое число стрел.)
Ответ: 20;9;44.
Задача 4. Если пассажир поедет из Москвы в Санкт-Петербург
обычным поездом, то он доедет туда за 10 часов. Если же он поедет
экспрессом, которого придется ждать больше 2,5 часов, то он приедет
на 3 часа раньше поезда. Найдите отношение скоростей экспресса и
поезда, если известно, что через 2 часа после отхода экспресс окажется
на том же расстоянии от Москвы, что и поезд.
Ответ: Экспресс в 2,5 раза быстрее.
Задача 5. Три правильных девятиугольника имеют общий центр, их
стороны соответственно параллельны. Стороны двух девятиугольников
равны 8 см и 56 см. Третий девятиугольник делит площадь фигуры,
заключенный между первыми двумя, в отношении 1:7, считая от
меньшего девятиугольника. Найдите сторону третьего
девятиугольника.
Ответ: 8
√
.
Задача 6. Функция такова, что
(
)
(
)
для
всех x,y. Найдите все возможные значения выражения
(
)
(
)
(
)
(
)
Ответ: 3.
Задача 7.В равнобедренном треугольнике с периметром 60 см точка
пересечения медиан лежит на вписанной окружности. Найдите
стороны треугольника.
Ответ: 25;25;10.
Задача 8. Решите систему
{
Ответ: (6;3;6),(6;6;3).
Рисунок 4.15. Многогранник.
Задача 9. На рисунке 4.15 изображен многогранник, все двугранные
углы которого прямые. Саша утверждает, что кратчайший путь по
поверхности этого многогранника от вершины X до вершины Y имеет
длину 4,5. Прав ли он?
Ответ: Нет.
Задача 10. Плоская фигура W представляет собой множество всех
точек, координаты которых ( ) удовлетворяют неравенству:
(
|
|
|
|
|
|
)
Нарисуйте фигуру W и найдите ее площадь.
Ответ: 120. (Фигура W изображена на рисунке 4.10)
5. Список использованной литературы
1. Гусман Ю.А., Смирнов А.О., Александр М.А., Головачев Г.М.
Математика: задачи для подготовки к ЕГЭ, региональной олимпиаде и
другим вступительным испытаниям по математике./Ю.А. Гусман,
А.О.Смирнов, М.А.Александр, Г.М.Головачев. -.СПб.: ГУАП. СПб., Ч.
1-3, 2008-2009. -580.
2. Некрасов В.Б. Школьная математика: самое необходимое.
Учебное пособие.- СПб., Авалонъ, Азбука-классика, 2008.- 224 с.
3. Осипов В.Ф. Конкурсные задачи по математике: С решениями и
указаниями: Учеб. пособие.- СПб.: Издательство С.Петербургского
университета, 1996.-372 с.
4. Морозова Е.А., Петраков И.С. Международные математические
олимпиады. Задачи, решения, итоги. Пособие для учащихся. 2-е изд.
М., «Просвещение», 1968. 213 с.
Содержание
Предисловие……………………………………………………….3
1 Олимпиада по математике 2008 г………………………….4
1.1 1-й тур олимпиады 2008 г…………………………...4
1.2 2-й тур олимпиады 2008 г………………………….12
2 Олимпиада по математике 2009 г………………………...19
2.1 1-й тур олимпиады 2009 г………………………….19
2.2 2-й тур олимпиады 2009 г………………………….23
3 Олимпиада по математике 2010 г………………………...28
3.1 1-й тур олимпиады 2010 г………………………….28
3.2 2-й тур олимпиады 2010 г………………………….32
4 Олимпиада по математике 2011 г………………………...39
4.1 1-й тур олимпиады 2011 г………………………….40
4.2 2-й тур олимпиады 2011 г………………………….44
5 Список использованной литературы……………………..56