Гуменникова Ю.В., Лаврусь О.Е., Хайруллина Р.Н. (сост.) Методические указания и контрольные задания по предмету Аналитическая геометрия для студентов первых курсов всех специальностей очной формы обучения
Подождите немного. Документ загружается.
1
Министерство транспорта Российской Федерации
Федеральное агентство железнодорожного транспорта
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
Кафедра высшей математики
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
для студентов первых курсов всех специальностей
очной формы обучения
Состовители: Ю.В. Гуменникова
О.Е. Лаврусь
Р.Н. Хайруллина
Самара
2010
2637
2
УДК 510
Аналитическая геометрия : методические указания и контрольные задания для
студентов первых курсов всех специальностей очной формы обучения /
Ю.В. Гуменникова, О.Е. Лаврусь, Р.Н. Хайруллина. – Самара : СамГУПС, 2010. – 66 с.
Утверждены на заседании кафедры 15.09.2010 г., протокол № 2.
Печатаются по решению редакционно-издательского совета СамГУПС.
Методические указания составлены в
соответствии с государственным
образовательным стандартом и посвящены основным разделам аналитической
геометрии. Кроме теоретического материала приведены примеры, а также
индивидуальные задания.
Предназначены для студентов всех специальностей.
Составитель: Гуменникова Ю.В., к.ф.-м.н., доцент
Лаврусь О.Е., к.т.н., доцент
Хайруллина Р.Н., преподаватель
Рецензенты: к. ф.-
м. н., доцент СамГУПС Л.В. Кайдалова;
к. ф.-м. н., доцент СамГУ Г.В. Воскресенская
Под редакцией составителей
Подписано в печать04.10.2010. Формат 60×90 1/16.
Усл. печ. л. 4,1. Заказ № 226.
© Самарский государственный университет путей сообщения, 2010
3
Содержание
I. Прямые и плоскости……………………………………………………..
4
1. Плоскость…………………………………………………………..
4
Задание 1………………………………………………………..
6
Задание 2………………………………………………………..
8
Задание 3………………………………………………………..
9
Решение типового варианта…………………………………..
10
2. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость………………...
13
Задание 4………………………………………………………..
15
Задание 5………………………………………………………..
17
Задание 6………………………………………………………..
18
Решение типового варианта…………………………………..
20
3. Прямая на плоскости……………………………………………...
23
Задание 7………………………………………………………..
25
Задание 8………………………………………………………..
26
Задание 9………………………………………………………..
27
Задание 10………………………………………………………
28
Решение типового варианта…………………………………..
29
Дополнительные задания…………………………………………...
32
II. Линии и поверхности второго порядка…………………………….
41
1. Окружность и сфера………………………………………………
41
2. Эллипс и эллипсоид………………………………………………..
41
3. Гипербола и гиперболоиды………………………………………..
43
4. Парабола и параболоиды………………………………………….
44
Задание 11………………………………………………………
46
Задание 12………………………………………………………
47
Задание 13………………………………………………………
51
Решение типового варианта…………………………………..
51
5. Цилиндры второго порядка. Конус второго порядка…………..
54
6. Поверхности вращения……………………………………………
55
Задание 14………………………………………………………
56
Задание 15………………………………………………………
57
Решение типового варианта…………………………………..
58
III. Линии, заданные уравнениями в полярных координатах и
параметрическими уравнениями…………………………………………
58
1. Полярные координаты точки и уравнение линии в полярных
координатах…………………………………………………………..
58
Задание 16………………………………………………………
59
Задание 17………………………………………………………
61
Задание 18………………………………………………………
61
Решение типового варианта…………………………………..
62
2. Параметрические уравнения линии……………………………..
64
Задание 19………………………………………………………
64
Решение типового варианта…………………………………..
65
4
Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия позволяет решать геометрические задачи средствами
алгебры с помощью метода координат, введенного Декартом в XVII в. Согласно этому
методу на плоскости или в пространстве фиксируется система координат, в которой
точке соответствует упорядоченный набор чисел (ее координаты), линиям и
поверхностям – уравнения или системы уравнений. Таким образом изучение
геометрических свойств линий и
поверхностей сводится к исследованию аналитических
свойств соответствующих им уравнений.
Вместе с методом координат в аналитической геометрии используются методы
векторной алгебры.
I. Прямые и плоскости
1. Плоскость
Определение. Совокупность точек пространства, координаты которых
),,( zyx
удовлетворяют уравнению
0=+++ DCzByAx
(1.1)
называется плоскостью.
Здесь
DCBA ,,,
– заданные числа, причем
0
222
>++ CBA
.
Уравнение (1.1) называется общим уравнением плоскости,
коэффициенты
CBA ,,
являются координатами вектора n ,
перпендикулярного к заданной плоскости. Вектор
n
называется нормальным вектором (нормалью).
В зависимости от способа задания плоскости, существует несколько видов ее
уравнений (см. таблицу).
Таблица 1
Способ задания плоскости и заданные
параметры
Вид уравнения плоскости и его название
1. Плоскость задана точкой
),,(
0000
zyxM
и
нормальным вектором
),,( CBAn
Уравнение плоскости по точке и
нормальному вектору
0)()()(
000
=−+−+− zzCyyBxxA
(1.2)
2. Плоскость задана отрезками
,a
b
и
c
,
отсекаемыми ей на осях координат
,OX
OY
и
OZ
соответственно
Уравнение плоскости «в отрезках»
1=++
c
z
b
y
a
x
(1.3)
y
z
x
b
c
a
),,( CBAn
,,(
0000
zyxM
),,( CBAn
5
3. Плоскость задана тремя точками
),,(
1111
zyxM , ),,(
2222
zyxM и
),,(
3333
zyxM
Уравнение плоскости по трем точкам
0
131313
121212
111
=
−−−
−−−
−−−
zzyyxx
zzyyxx
yzyyxx
(1.4)
4. Плоскость задана двумя точками
),,(
1111
zyxM и ),,(
2222
zyxM и направляющим
(параллельным ей) вектором
s
),,( pnm
Уравнение плоскости по двум точкам и
направляющему вектору
0
121212
111
=−−−
−−−
npm
zzyyxx
yzyyxx
(1.5)
Замечание ! Уравнения (1.2)–(1.5) приводятся к виду (1.1)
Задачи на плоскости:
1. Угол между плоскостями
0
1111
=+++ DzCyBxA и 0
2222
=+++ DzCyBxA
вычисляется, как угол между их нормалями
),,(
1111
CBAn
и
),,(
222
2
CBAn
по известной из
векторной алгебры формуле
()
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
2
,
1
coscos
CBACBA
CCBBAA
nn
++⋅++
++
==
∧
ϕ
(1.6)
Условие параллельности 2-х плоскостей:
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
≠==
.
Условие перпендикулярности 2-х плоскостей
0
212121
=++ CCBBAA .
2. Расстояние
d
от точки ),,(
1111
zyxM до плоскости
0=+++ DCzByAx
вычисляется по формуле
222
111
CBA
DCzByAx
d
++
+++
=
(1.7)
2
M
1
M
s
2
M
1
M
3
M
d
1
M
6
Задание 1
Написать общее уравнение и построить плоскости заданные следующим образом:
1) точкой
),,(
0000
zyxM
и нормальным вектором
),,( CBAn
;
2) отрезками
,a
b
и
c
, отсекаемыми данной плоскостью на осях координат
,OX
OY
и
OZ
соответственно;
3) тремя точками
),,(
1111
zyxM , ),,(
2222
zyxM и
),,(
3333
zyxM
;
4) двумя точками
),,(
4444
zyxM и
),,(
5555
zyxM
и направляющим (параллельным)
вектором
s
),,( pnm
;
5) найти косинус угла между плоскостями из п.1) и 2);
6) найти расстояние от точки
4
M до плоскости из п. 3).
1 вариант. 1)
)4;2;1(
0
−M
,
)1;0;2( −n
;
2)
2=a
,
3=b
,
1−=c
;
3)
)0;2;1(
1
M , )3;4;2(
2
−M ,
)1;2;0(
3
−M
;
4)
)1;0;2(
4
−M ,
)0;2;3(
5
−M
,
)0;3;1( −−s
2 вариант. 1)
)2;3;0(
0
−M
,
)3;4;1(n
;
2)
1−=a
,
5=b
,
2−=c
;
3)
)1;3;2(
1
−M , )2;0;1(
2
M ,
)0;4;1(
3
−M
;
4)
)0;1;5(
4
−M ,
)1;3;0(
5
−M
,
)2;1;1( −s
3 вариант. 1)
)3;0;2(
0
−M
,
)1;3;2(−n
;
2)
1−=a
,
2=b
,
5=c
;
3)
)4;2;0(
1
−M , )2;5;1(
2
−M ,
)4;3;1(
3
−M
;
4)
)0;4;2(
4
M ,
)3;4;0(
5
−M
,
)0;3;1(s
4 вариант. 1)
)1;3;4(
0
−M
,
)2;4;1( −n
;
2)
5−=a
,
2=b
,
1=c
;
3)
)3;1;2(
1
−−M , )3;5;1(
2
−M ,
)3;0;4(
3
−M
;
4)
)0;5;4(
4
−M ,
)1;0;2(
5
−M
,
)3;2;0( −s
5 вариант. 1)
)2;0;1(
0
−M
,
)1;3;4 ( −n
;
2)
=a
2,
=b
4,
=c
–1;
3)
) ;-2;04 (
1
M , )5;0;4 (
2
−M ,
)1;5;5(
3
−M
;
4)
)2;5;3(
4
−−M ,
)5;1;1(
5
−M
,
)5;0;2( −−s
6 вариант. 1)
)3;3;5(
0
M
,
)5;3;3( −−n
;
2)
=a
–3,
=b
5,
=c
1;
3)
) 4;0;5(
1
−M , )1;2;5(
2
−M ,
)5;2;0(
3
−M
;
4)
)3;0;0(
4
−M ,
)1;3;5(
5
−M
,
)0;3;4( −s
7 вариант. 1)
) 4;5;1(
0
−M
,
)5;0;3 ( −n
;
2)
=a
4,
=b
–3,
=c
1;
3)
) 5;3;0(
1
−M , );-1;25 (
2
M ,
)2;5;3(
3
−M
;
4)
)0;-2;5(
4
M ,
)5;3;3(
5
−M
,
)4;0;5 ( −s
8 вариант. 1)
)2;3;0(
0
−M
,
)1;5;2(n
;
2)
=a
–5,
=b
2,
=c
4;
3)
) 3;1;2(
1
−−M , )5;4;1(
2
−M ,
) 4;0;3(
3
−M
;
4)
)5;2;3(
4
−M ,
)5;1;1(
5
−−M
,
)0;5;3(s
9 вариант. 1)
)5;1;2(
0
M
,
)-5;1;-4(n
;
2)
=a
3,
=b
4,
=c
–1;
3)
) 5;0;1(
1
−M , )0;1;3(
2
−M ,
)5;2;4(
3
−−M
;
4)
) 5;5;0(
4
−M ,
)2;5;1(
5
−−M
,
)5;5;0( −s
10 вариант. 1)
) 1;0;1(
0
−M
,
)0;3;2( −n
;
2)
=a
1,
=b
4,
=c
–2;
3)
) 4;2;3(
1
−M , )3;1;4(
2
−M ,
)3;5;4(
3
M
;
4)
)3;4;1(
4
M ,
)-1;3;5(
5
M
,
)3;2;5(s
11 вариант. 1)
)5;1;3(
0
−−M
,
)1;3;5( −n
;
2)
=a
4,
=b
–3,
=c
5;
3)
) 2;2;1(
1
−−M , )0;5;5(
2
−M ,
)4;5;3(
3
−M
;
4)
)3;1;2(
4
−M ,
)0;5;1(
5
−M
,
)0;5;1(−s
12 вариант. 1)
)2;4;5(
0
−M
,
)4;0;5(−n
;
2)
=a
3,
=b
1,
=c
–4;
3)
) 2;2;2(
1
−−M , )2;3;4(
2
−−M ,
)5;3;2(
3
−M
;
4)
)0;1;5(
4
−M ,
)-5;5;1(
5
M
,
)0;3;5( −s
7
13 вариант. 1)
)5;1;1(
0
−−M
,
)4;2;3(−n
;
2)
=a
3,
=b
–2,
=c
1;
3)
) 3;1;5(
1
−−M , )3;0;4(
2
−M ,
)5;3;4(
3
−−M
4)
)3;5;2(
4
−M ,
)1;5;5(
5
M
,
)4;5;1( −−s
14 вариант. 1)
)5;4;3(
0
−−M
,
)3;2;1( −−n
;
2)
=a
–2,
=b
–1,
=c
4;
3)
) 1;1;3(
1
−−M , )1;1;1(
2
−M ,
) 0;5;1(
3
M
;
4)
)3;2;1(
4
−M ,
)1;5;3(
5
−M
,
)4;2;1(−s
15 вариант. 1)
)5;2;5(
0
−M
,
)3;4;2( −n
;
2)
=a
4,
=b
–5,
=c
–3;
3)
) 1;5;3(
1
M , )2;3;4(
2
M ,
)4;5;0(
3
−M
;
4)
)2;0;5(
4
M ,
)3;5;5(
5
−M
,
)1;2;5(−s
16 вариант. 1)
)1;3;0(
0
−M
,
)0;3;1(n
;
2)
=a
–5,
=b
3,
=c
1;
3)
) 1;1;2(
1
−−M , )0;5;3(
2
−M ,
) 3;4;2(
3
−−M
;
4)
)2;1;1(
4
−M ,
)5;3;1(
5
M
,
)5;2;4(−s
17 вариант. 1)
)4;2;5(
0
M
,
)4;1;2(n
;
2)
=a
4,
=b
5,
=c
1;
3)
) 2;5;1(
1
−−M , )1;1;0(
2
−−M ,
)0;2;5(
3
M
;
4)
)2;1;2(
4
−−M ,
)5;4;5(
5
M
,
)0;2;1(s
18 вариант. 1)
)2;1;2(
0
−M
,
)2;1;1(n
;
2)
=a
–2,
=b
4,
=c
–3;
3)
) 5;3;2(
1
M , )1;1;1(
2
−M ,
)1;5;-4(
3
M
;
4)
) 0;1;4(
4
−M ,
)2;1;5(
5
−−M
,
)0;3;2(−s
19 вариант. 1)
)2;1;1(
0
−M
,
)5;2;1( −n
;
2)
=a
2,
=b
–1,
=c
5;
3)
) 1;0;1(
1
M , )5;3;2(
2
−M ,
)4;1;1(
3
−−−M
;
4)
)2;1;4(
4
−M ,
) 2;1;4(
5
−M
,
)2;3;0(s
20 вариант. 1)
)5;3;2(
0
−M
,
)2;5;0(n
;
2)
=a
–3,
=b
5,
=c
2;
3)
)1;2;1(
1
M , )1;5;1(
2
−M ,
)2;3;5(
3
−−M
;
4)
)3;0;3(
4
−M ,
)1;2;1(
5
−M
,
)1;1;3 ( −s
21 вариант. 1)
)4;1;2(
0
−M
,
)0;5;5( −n
;
2)
=a
–4,
=b
4,
=c
3;
3)
) 2;1;2(
1
M , )1;2;2(
2
−M ,
)5;2;3(
3
−M
;
4)
)2;1;5(
4
−−M ,
)2;5;3(
5
−M
,
)3;0;5( −−s
22 вариант. 1)
)2;1;4(
0
−M
,
)1;3;2(n
;
2)
=a
2,
=b
–4,
=c
1;
3)
) 0;2;5(
1
−−M , )2;1;2(
2
−M ,
) 4;5;3(
3
−M
;
4)
)1;1;2(
4
−M ,
) 1;2;5(
5
−−M
,
)2;-2;1(s
23 вариант. 1)
)5;1;2(
0
−−M
,
)3;0;5( −−n
;
2)
=a
–1,
=b
5,
=c
–3;
3)
) 1;0;3(
1
−M , )5;1;2(
2
−M ,
)1;0;3(
3
M
;
4)
)4;1;3(
4
−M ,
)0;-3;-1(
5
M
,
)3;3;1( −−s
24 вариант. 1)
)4;1;1(
0
M
,
)5;5;5(−n
;
2)
=a
–2,
=b
4,
=c
1;
3)
) 1;0;1(
1
−M , )1;2;5(
2
−−−M ,
)2;3;5(
3
−M
;
4)
)3;5;3(
4
−M ,
)0;5;1(
5
−M
,
)4;2;2(s
25 вариант. 1)
)5;0;5(
0
−M
,
)4;5;4( −−n
;
2)
=a
4,
=b
2,
=c
1;
3)
) 3;5;2(
1
−−M , )6;2;5(
2
M ,
)1;2;3(
3
M
;
4)
)2;-2;4(
4
M ,
)4;3;5(
5
M
,
)1;2;3(s
26 вариант. 1)
)0;3;1(
0
−M
,
)5;0;3(−n
;
2)
=a
3,
=b
4,
=c
–3;
3)
) 3;5;4(
1
−M , ) 2;1;3(
2
−M ,
)4;2;5(
3
−M
;
4)
)1;2;1(
4
−M ,
)1;3;0(
5
−M
,
)2;3;5( −−s
27 вариант. 1)
)2;2;1(
0
M
,
)5;1;2(n
;
2)
=a
5,
=b
–1,
=c
2;
3)
) 1;2;2(
1
M , )1;3;3(
2
−M ,
) 2;2;3(
3
−−M
;
4)
)2;2;1(
4
−M ,
)0;1;3(
5
−M
,
)3;0;4(s
28 вариант. 1)
)2;0;4(
0
−M
,
)0;4;1( −n
;
2)
=a
–2,
=b
4,
=c
1;
3)
) ;2;-35 (
1
M , )1;3;0(
2
−M ,
)5;4;2(
3
−M
;
4)
)2;0;4(
4
−M ,
)0;1;2(
5
M
,
)3;4;5( −s
8
29 вариант. 1)
)2;1;1(
0
−M
,
)1;2;5(n
;
2)
=a
2,
=b
3,
=c
4;
3)
) 0;1;1(
1
−M , )0;3;5(
2
M ,
)1;0;4(
3
−M
;
4)
)5;2;1(
4
−M ,
)4;5;3(
5
−−M
,
)1;5;2( −s
30 вариант. 1)
)1;2;3(
0
−M
,
)5;2;4(n
;
2)
=a
–4,
=b
3,
=c
1;
3)
)2;3;0(
1
−M , )0;2;2(
2
−M ,
)3;0;5(
3
M
;
4)
)3;2;1(
4
M ,
)4;5;3(
5
−M
,
)4;2;0( −s
Задание 2
Даны 4-е точки
),,(
1111
zyxA , ),,(
2222
zyxA ,
),,(
3333
zyxA
и ),,(
4444
zyxA . Составить уравнения:
1) плоскости
321
AAA
;
2) плоскости, проходящей через т.
1
A перпендикулярно вектору
32
AA
;
3) плоскости, проходящей через т.
1
A и
2
A , параллельно вектору
43
AA
;
Вычислить:
4) косинус угла между координатной плоскостью
Oxy
и плоскостью
321
AAA
.
1 вариант.
)1,3,0(
1
−A , )3,2,1(
2
−A ,
)0,3,1(
3
A
, )3,2,2(
4
−A .
2 вариант.
1
A (0, 5, 0),
2
A (2, 3, –4),
3
A
(0, 0, –6),
4
A (–3, 1, –1).
3 вариант.
1
A (0, 0, 6),
2
A (4, 0, –4),
3
A
(1, 3, –1),
4
A (4, –1, –3).
4 вариант.
1
A (2, –5, 3),
2
A (3, 2, –5),
3
A
(5, –3, –2),
4
A (–5, 3, 2).
5 вариант.
1
A (6, 0, 4),
2
A (0, 6, 4),
3
A
(4, 6, 0),
4
A (0, –6, 4).
6 вариант.
1
A (3, 2, 4),
2
A (2, 4, 3),
3
A
(4, 3, –2),
4
A (–2, –4,–3).
7 вариант.
1
A (6, 3, 5),
2
A (5, –4, 3),
3
A
(3, 5, 6),
4
A (–6, –1, 2).
8 вариант.
1
A (5, –2, –1),
2
A (4, 0, 0),
3
A
(2, 5, 1),
4
A (1, 2, 5).
9 вариант.
1
A (4, 2, 5),
2
A (3, 0, 4),
3
A
(0, 0, 3),
4
A (5, –2, –4).
10 вариант.
1
A (4, 2, –5),
2
A (3, 0, 4),
3
A
(0, 2, 3),
4
A (5, –2, –4).
11 вариант.
1
A (4, 4, 10),
2
A (7, 10, 2),
3
A
(2, 8, 4),
4
A (9, 6, 9).
12 вариант.
1
A (4, 6, 5),
2
A (6, 2, 4),
3
A
(2, 4, 4),
4
A (1, 5, –3).
13 вариант.
1
A (3, 5, 4),
2
A (6, 5, 4),
3
A
(5, 0, 4),
4
A (4, –2, 3).
14 вариант.
1
A (0, 6, 6),
2
A (–2, 6, 4),
3
A
,(6, 4, 1)
4
A (–2, 0, 3).
15 вариант.
1
A (1, 4, 2),
2
A (5, 2, 6),
3
A
(5, –3, 4),
4
A (4, 0, 6).
16 вариант.
1
A (6, 6, 5),
2
A (4, 2, 5),
3
A
(4, 6, 1),
4
A (6, –4, 3).
17 вариант.
1
A (4, 2, 2),
2
A (5, 1, 1),
3
A
(5, 3, 1),
4
A (2, 3, 4).
18 вариант.
1
A (–1, 6, 4),
2
A (1, 5, 5),
3
A
(5, 6, 0),
4
A (3, 3, 6).
19 вариант.
1
A (2, 1, 3),
2
A (6, 5, –1),
3
A
(3, 5, 2),
4
A (0, 4, 1).
20 вариант.
1
A (–2, 1, 2),
2
A (4, 0, 0),
3
A
(3, 2, 6),
4
A (1, 3, 2).
21 вариант.
1
A (3, 2, 4),
2
A (1, 3, 2),
3
A
(–2, 1, 2),
4
A (4, 0, 0).
22 вариант.
1
A (1, 3, 2),
2
A (3, 2, 0),
3
A
(4, 0, 0),
4
A (–2, 1, 2).
23 вариант.
1
A (3, 1, –2),
2
A (1, –2, 1),
3
A
(2, 2, 5),
4
A (–2, 1, 0).
24 вариант.
1
A (–2, 1, 0),
2
A (2, 2, 5),
3
A
(3, 1, 2),
4
A (1, –2, 1).
25 вариант.
1
A (2, 2, 5),
2
A (–2, 1, 0),
3
A
(1, –2, 1),
4
A (3, 1, 2).
26 вариант.
1
A (1, –1, 6),
2
A (4, 5, –2),
3
A
(–1, 3, 0),
4
A (1, –1, 5).
9
27 вариант.
1
A (6, 1, 5),
2
A (–1, 3, 0),
3
A
(4, 5, –2),
4
A (1, –1, 6).
28 вариант.
1
A (1, –2, 1),
2
A (3, 1, –2),
3
A
(2, 2, 5),
4
A (–2, 1, 0).
29 вариант.
1
A (4, 0, 0),
2
A (–2, 1, 2),
3
A
(1, 3, 2),
4
A (3, 2, 5).
30 вариант.
1
A (–5, 6, –1),
2
A (6, –5, 2),
3
A
(6, 5, 1),
4
A (0, 0, 2).
Задание 3
Решить следующие задачи.
1 вариант. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью,
проходящей через точку
)3;7;2(−M
параллельно плоскости
0154 =−+− zyx
.
2 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка М
1
М
2
перпендикулярно к этому отрезку, если
)6;5;1(
1
M , )10;7;1(
2
−M .
3 вариант. Найти расстояние от точки
)5,0;0;2( −M
до плоскости
017244 =++− zyx
.
4 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
)5;3;2( −A
параллельно плоскости Оху.
5 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и точку
)1;5;2( −A
.
6 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
)1;5;2( −A
,
)3;1;3(−B
параллельно оси Оу.
7 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
)0;4;3(A
и
)2;1;0( −В
параллельно оси Ох.
8 вариант. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью,
проходящей через точку
)1;2;4( −M
параллельно плоскости
0423 =−++− zyx
.
9 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
)1;4;2(−A
,
)0;4;3( −B
параллельно вектору
)2;4;1(−=a
.
10 вариант. Составить уравнение плоскости в «отрезках», если она проходит через
точку
)1;10;6( −M
и отсекает на оси Ох отрезок
3−=a
, а на оси Oz – отрезок
2=c
.
11 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
)4;3;2( −A
параллельно двум векторам
)1,1,4( −=a
и
)2;1;2( −=b
.
12 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
)0;1;1(A
,
)1;1;2( −−Â
перпендикулярно к плоскости
07325 =−++ zyx
.
13 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат
перпендикулярно к двум плоскостям
0132 =−+− zyx
и
035 =++− zyx
.
14 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
)2;1;3( −A
,
)4;1;2(B
параллельно вектору
)1;2;5( −−=a
.
15 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат
перпендикулярно к вектору
A
B
, если
)3;2;5( −A
,
)5;3;1( −B
.
16 вариант. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью,
проходящей через точку
)3;3;2( −M
параллельно плоскости
033 =−+ zyx
.
17 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
)2;1;1( −M
перпендикулярно к отрезку
21
MM , если )4;3;2(
1
−M , )3;2;1(
2
−−M .
18 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
)5;0;3(−M
перпендикулярно к отрезку
21
MM , если )6;4;1(
1
−M , )1;2;4(
2
−M .
10
19 вариант. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку
)1;4;3( −A
параллельно координатной плоскости Oxz.
20 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку
)2;5;3( −M
.
21 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
)3;2;1(M
и
)5;4;3( −−N
параллельно оси Oz.
22 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
)1;3;2(
1
−M и
);3;2;0(
2
M параллельно оси Oу.
23 вариант. Найти проекцию точки
)1;3;4( −M
на плоскость
0152 =−−− zyx
.
24 вариант. Определить, при каком значении В плоскости
014 =−+− zyx
и
03102 =−++ zByx
будут перпендикулярны.
25 вариант. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку
)4;3;2( −−M
и
отсекает на осях координат отличные от нуля отрезки одинаковой величины.
26 вариант. При каких значениях А и В плоскость
034 =++− zByx
параллельна
плоскости
0722 =−−+ zyAx
.
27 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
)1;3;2( −A
,
)4;1;1(B
перпендикулярно к плоскости
0234 =++− zyx
.
28 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат
перпендикулярно к плоскостям
075 =+−+ zyx
и
023 =+− zyx
.
29 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
)5;3;2( −M
и
)6;1;1( −−N
параллельно вектору
)3;4;4(=a
.
30 вариант. Определить, при каком значении С плоскости
0353 =−+− Czyx
и
0523 =++= zyx
будут перпендикулярны.
Решение типового варианта
Задание 1.
Написать общее уравнение и построить плоскости заданные следующим образом:
1) точкой
)1;0;2(
0
−M
и нормальным вектором
)2;1;3( −n
;
2) отрезками
3=a
,
2−=b
,
1=c
, отсекаемыми данной плоскостью на осях координат
,OX
OY
и
OZ
соответственно;
3) тремя точками
)3;2;1(
1
−M , )1;3;0(
2
−M ,
)2;3;2(
3
−M
;
4) двумя точками
)1;1;0(
4
−M , и
)3;2;2(
5
−M
и направляющим (параллельным) вектором
)2;1;1( −s
;
5) найти косинус угла между плоскостями из п.1) и 2);
6) найти расстояние от точки
4
M до плоскости из п. 3).
Решение:
1) по формуле (1.2) получаем
0)1)(2()0(1)2(3 =+−+−+− zyx
0823 =−−+ zyx
– общее уравнение плоскости 1.
Для построения плоскости рекомендуется перейти к
уравнению плоскости «в отрезках» (1.3)
823 =−+ zyx
z
y
x
8
4−
3
8
1
1
1