Гуменникова Ю.В., Лаврусь О.Е., Хайруллина Р.Н. (сост.) Методические указания и контрольные задания по предмету Аналитическая геометрия для студентов первых курсов всех специальностей очной формы обучения
Подождите немного. Документ загружается.
61
Задание 17
Построить точки, заданные декартовыми координатами и найти их полярные
координаты.
№
),(
11
yxA ),(
22
yxB
),(
33
yxC
№
),(
11
yxA ),(
22
yxB
),(
33
yxC
1
(
)
1;3
(
)
22;22−
(
)
223;223 −−
16
()
0;1
(
)
23;23 −
(
)
3;33 −−
2
(
)
1;3−
()
2;0
(
)
223;223 −
17
(
)
2;32 −−
()
0;3−
()
4;4 −
3
()
0;4
(
)
3;1 −
(
)
22;22 −
18
(
)
2;32
()
1;1
()
0;5
4
()
2;0
(
)
2;32
(
)
2;2 −
19
(
)
3;33−
()
0;2
()
4;4
5
()
3;0 −
(
)
3;33 −
()
3;3 −
20
()
0;3−
(
)
5;35
()
2;2 −
6
(
)
32;2 −
()
1;1 −−
()
0;4−
21
(
)
3;1 −
()
0;4
()
5;5 −
7
()
3;3 −
(
)
1;3 −
()
2;0 −
22
(
)
22;22 −
()
3;0 −
(
)
34;4
8
(
)
33;33 −−
()
0;3
(
)
32;2
23
(
)
1;3
()
5;0 −
()
3;3
9
()
1;0 −
()
3;3 −
(
)
3;3 −
24
()
2;2 −
(
)
32;2
()
4;0 −
10
(
)
1;3
()
2;0 −
(
)
2;2 −
25
(
)
33;3
()
0;2−
()
3;3 −
11
(
)
2;2−
(
)
3;1 −−
()
4;0 −
26
(
)
2;32 −
()
0;4
()
2;2−
12
(
)
3;1 −
(
)
2;2
()
0;3
27
(
)
3;33−
()
3;3 −
()
4;0
13
(
)
3;32−
()
5;0
()
3;3 −
28
()
0;5
()
2;2 −
(
)
1;3 −
14
()
1;0 −
(
)
2;2 −
(
)
1;3 −
29
(
)
3;1 −
()
2;0 −
()
3;3 −
15
(
)
33;33−
()
0;2−
()
3;3−
30
(
)
2;32 −−
()
1;1
()
4;0 −
Задание 18
Даны уравнения линии
)(
ϕ
rr =
в полярной системе координат. Требуется:
1) построить линию по точкам на промежутке от
0=
ϕ
до
π
ϕ
2=
с шагом, равным
8
π
;
2) найти уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой
начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;
3) назвать линию, найти координаты центра и полуоси.
1.
ϕ
cos35
16
−
=
r . 2.
ϕ
cos53
16
−
=
r . 3.
ϕ
cos1
5
−
=
r .
4.
ϕ
cos2
6
+
=
r
. 5.
ϕ
cos2
1
+
=
r
. 6.
ϕ
cos36
1
+
=
r
.
7.
ϕ
cos43
5
−
=
r
. 8.
ϕ
cos2
10
+
=
r
. 9.
ϕ
cos32
4
−
=
r
.
10.
ϕ
cos21
3
−
=
r
.
11.
ϕ
cos
2
1
1
5
−
=r
.
12.
ϕ
cos1
6
−
=r
.
13.
ϕ
cos1
3
+
=r
. 14.
ϕ
cos2
12
−
=r
. 15.
ϕ
cos33
1
−
=r
.
62
16.
ϕ
cos45
9
+
=r
. 17.
ϕ
cos23
5
+
=r
.
18.
ϕ
cos
2
3
1
10
−
=r
.
19.
ϕ
cos1
1
+
=r
. 20.
ϕ
cos33
1
−
=r
. 21.
ϕ
cos22
1
+
=r
.
22.
ϕ
cos3
8
−
=r
. 23.
ϕ
cos36
5
+
=r
. 24.
ϕ
cos1
3
−
=r
.
25.
ϕ
cos54
18
−
=r
.
26.
ϕ
cos23
12
−
=r
27.
ϕ
cos25
21
−
=r
.
28.
ϕ
cos35
16
+
=r
29.
ϕ
cos135
144
+
=r
. 30.
ϕ
cos1
4
−
=r
.
Решение типового варианта
Задание 16. построить точки, заданные полярными координатами и найти их декартовые
координаты.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
4
;3
1
π
M ,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3
2
;4
2
π
M ,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
3
;2
3
π
M ,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
6
11
;1
4
π
M
Решение.
Вначале проводим луч под углом
ϕ
к полярной оси
Ox
, затем
на этом луче откладываем от полюса
O
отрезок длинной
r
. В итоге
находим все точки
1
M ,
2
M ,
3
M
,
4
M . В соответствии с формулами
(1.1) имеем:
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
=
=
.
4
sin3
,
4
cos3
1
1
π
π
y
x
;
2
23
1
=x
,
2
23
1
=y
⇒
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
2
23
;
2
23
1
M
.
Аналогично находим
(
)
32;2
2
−M
;
()
2;0
3
−M
;
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
2
1
;
2
3
3
M
.
Задание 17. Построить точки, заданные декартовыми
координатами и найти их полярные координаты.
)0;6(−A
;
)3;33( −B
;
)2;2( −−C
Решение.
Согласно формулам (1.2) и рисунку получаем:
для т.
A
6036 =+=r
;
0
6
0
1
== arctg
ϕ
, согласно рисунку
π
ϕ
=
, т.е.
);6(
π
A
;
для т.
B
6927 =+=r
;
6
33
3
1
π
ϕ
== arctg
, по рисунку видно, что
6
11
2
2
π
ϕπϕ
=−=
, т.е.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
6
11
;6
π
B ;
для т.
C
2244 =+=r ;
42
2
1
π
ϕ
== arctg
; из рисунка видно
4
5
3
π
ϕπϕ
=+=
, т.е.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
4
5
;22
π
B .
1
M
2
M
4
M
3
M
1
y
x
1
1
B
C
A
63
Задание 18.
Линия задана уравнением
ϕ
cos45
9
+
=r
в полярной системе координат. Требуется
построить линию по точкам от
ϕ = 0 до ϕ = 2π с шагом π / 8. Найти уравнение данной
линии в декартовой системе координат и назвать линию.
Решение. Составим табл. 5 для вычисления значений
r.
Таблица 5
ϕ
0
π / 8 π / 4 3π / 8 π / 2 5π / 8 3π / 4 7π / 8
π
…
r
1,5 1,52 1,58 1,67 1,8 1,95 2,096 2,21 2,25
Построим линию, учитывая, что
ϕ
ϕ
π
cos)2cos( =−
(рис. 6.7).
Для перехода в декартовую систему координат воспользуемся формулами
22
yxr +=
,
22
cos
yx
x
+
=
ϕ
.
Получим уравнение
22
22
45
9
yx
yx
++
=+
,
которое после преобразований примет вид
xyx
yx
yx
45
9
22
22
22
++
+
=+
⇒
945
22
=++ xyx
⇒
222
)49()(25 xyx −=+
⇒
222
1672812525 xxyx +−=+
⇒
8172259
22
=++ xyx
,
8114425)168(9
22
=−+++ yxx
⇒
22525)4(9
22
=++ yx
⇒
1
925
)4(
22
=+
+ yx
.
Получили уравнение эллипса с центром в точке
О(–4; 0) и полуосями а = 5, b = 3.
y
x
)0;4(−O
64
2. Параметрические уравнения линии
Определение. Уравнение вида
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
=
=
).(
),(
),(
3
2
1
tfz
tfy
tfx
(2.1)
где
21
ttt ≤≤ , )(
1
tf , )(
2
tf ,
)(
3
tf
– искомые функции параметра t , называется
параметрическими уравнениями линии в пространстве. В частном случае, когда
0)(
3
≡tf
( 0)(
1
≡tf или 0)(
2
≡tf ), получаем параметрические уравнения линии на плоскости
xOy
(
yOz
или
xOz
).
Задание 19
Построить кривую, заданную параметрическими уравнениями по точкам, придавая
t значения от
0=t
до
π
2=t
c шагом
10
π
. Преобразовать уравнения к уравнениям линии в
декартовой системе координат. Определить вид и параметры кривой.
1
⎩
⎨
⎧
−=
=
.1cos
,sin2
ty
tx
2
⎩
⎨
⎧
=
−=
.sin3
,2cos
2
ty
tx
3
⎩
⎨
⎧
−=
+=
.3cos2
,1sin2
ty
tx
4
⎩
⎨
⎧
+=
=
.2cos
,sin3
ty
tx
5
⎩
⎨
⎧
=
+=
.sin2
,3cos
2
ty
tx
6
⎩
⎨
⎧
+=
−=
.4cos3
,2sin3
ty
tx
7
⎩
⎨
⎧
+=
=
.sin2
cos,
ty
x
8
⎩
⎨
⎧
=
+=
.cos2
,sin3
2
ty
tx
9
⎩
⎨
⎧
+=
++=
.cos43
,1sin42
ty
tx
10
⎩
⎨
⎧
=
+=
.sin2
,1cos4
ty
tx
11
⎩
⎨
⎧
−=
+=
.3cos
,1sin
2
ty
tx
12
⎩
⎨
⎧
+=
−=
.sin53
,1sin5
ty
tx
13
⎩
⎨
⎧
=
−=
.sin3
,2cos4
ty
tx
14
⎩
⎨
⎧
+=
−=
.1cos
,sin2
2
ty
tx
15
⎩
⎨
⎧
+=
−=
.3cos4
,1sin4
ty
tx
16
⎩
⎨
⎧
+=
=
.2sin
,cos3
ty
tx
17
⎩
⎨
⎧
=
−=
.cos2
,4sin
2
ty
tx
18
⎩
⎨
⎧
=
+=
.cos2
,3sin2
ty
tx
19
⎩
⎨
⎧
−=
+=
.4cos2
,1sin3
ty
tx
20
⎩
⎨
⎧
+=
+=
.3cos
,1sin
2
ty
tx
21
⎩
⎨
⎧
+=
−=
.cos32
,sin31
ty
tx
22
⎩
⎨
⎧
−=
+=
.3cos
,1sin
ty
tx
23
⎩
⎨
⎧
+=
+=
.1sin
,cos2
2
ty
tx
24
⎩
⎨
⎧
−=
+=
.1sin5,1
,4cos5,1
ty
tx
25
⎩
⎨
⎧
−=
+=
.2sin3
,1cos2
ty
tx
26
⎩
⎨
⎧
+=
+=
.sin2
,cos1
2
ty
tx
27
⎩
⎨
⎧
+=
−=
.3cos5
,sin51
ty
tx
28
⎩
⎨
⎧
−=
+=
.1sin3
,2cos4
ty
tx
29
⎩
⎨
⎧
=
−=
.sin2
,cos1
2
ty
tx
30
⎩
⎨
⎧
+=
−=
.2sin2
,3cos
ty
tx
65
Решение типового варианта
Задание 19. Построить кривую, заданную параметрическими уравнениями
⎩
⎨
⎧
−=
=
.1cos
,sin3
ty
tx
по
точкам, придавая
t значения от
0=t
до
π
2=t
c шагом
10
π
. Преобразовать уравнения к
уравнениям линии в декартовой системе координат. Определить вид и параметры
кривой.
Решение. Для построения кривой заполним таблицу
t (рад.)
xsin
x
cos
x
y
t (рад.)
xsin
x
cos
x
y
0 0 1 0 0
π
0 –1 0 –2
10
π
0,309 0,951 0,927 –0,049
10
11
π
–0,309 –0,951 –0,927 –1,951
5
π
0,588 0,809 1,763 –0,191
5
6
π
–0,588 –0,809 –1,763 –1,809
10
3
π
0,809 0,588 2,427 –0,412
10
13
π
–0,809 –0,588 –2,427 –1,588
5
2
π
0,951 0,309 2,853 –0,691
5
7
π
–0,951 –0,309 –2,853 –1,309
2
π
1 0 3 –1
10
15
π
–1 0 –3 –1
5
3
π
0,951 –0,309 2,853 –1,309
5
8
π
–0,951 0,309 –2,853 –0,691
10
7
π
0,809 –0,588 2,427 –1,588
10
17
π
–0,809 0,588 –2,427 –0,412
5
4
π
0,588 –0,809 1,763 –1,809
5
9
π
–0,588 0,809 –1,763 –0,191
10
9
π
0,309 –0,951 0,927 –1,951
10
19
π
–0,309 0,951 –0,927 –0,049
π
2
0 1 0 0
Используя данные таблицы, построим кривую
Исключим из параметрических уравнений параметр
t и получим уравнение,
содержащее только
x
и
y
. Возводя в квадрат параметрические уравнения и складывая,
находим
;1cos2cossin9
2222
+−+=+ tttyx
;1cos2cos)cos1(9
2222
+−+−=+ tttyx
;1cos2cos89
222
+−−=+ ttyx
.cos2cos810
222
ttyx −−=+
(*)
–3 –2 –1 3 2 1
'
, yy
–1
–2
0
x
'
x
1=b
3=a
)1;0(
'
−O
66
Выразим
x
cos
из второго уравнения параметрически заданной линии
1cos += yx
и подставим в (*)
).1(2)1(810
222
+−+−=+ yyyx
Произведя необходимые преобразования, получим
⇒−−−−−=+ 22816810
222
yyyyx
⇒=++ 0189
22
yx ⇒=+++ 9)12(9
22
yyx
⇒=−+ 9)1(9
22
yx
1
1
)1(
3
2
2
2
=
−
+
yx
.
Получаем уравнение эллипса с центром в точке
)1;0(
'
−O
и полуосями
3=a
,
1=b
,
что соответствует рисунку.
67
68