Гриффитс Дж. Научные методы исследования осадочных пород

Подождите немного. Документ загружается.

202

ГЛАВА 1 г

Десятки Единицы

^Смешанные

Гальки глины

Конкреции

Примазки

Плотные

Рыхлые

Лимонитизац ия

Объемам

плотность

горизонтальная

наклонная

нарушенная

массивная

фут

дюйм

мм

>§

Конгломератовая

грубозер-\

нистая I

Zlm^W

™™

тонкая J

алевритовая

пемитовая

Единицы Десятки Сотни

Фиг. 12.3. Кодирование перфокарт системы Кейсорт для классификации образцов

осадочных пород.

всего определяется число карт в каждом классе и для каждого из разли-

чающихся классов подсчитывается соответствующее ему относительное

количество. Затем карты классифицируются по нескольким признакам

и оцениваются связи между признаками. Такую сортировку производить

очень легко, надо лишь вставить стержень в отверстия, соответствующие

интересующим нас характеристикам; карты, перфорированные по исследуе-

мым свойствам, выпадают, после чего могут быть представлены таблицами

с двумя или η входами.

Табл. 12.1 — пример использования перфокарт в литологии при изу-

чении макроскопически определявшихся размеров зерен в керне скважин

из пачки Солт-Уош формации Моррисон (Булл-Каньон, Колорадо). Выделено

пять классов размерности (грубо-, средне- и мелкозернистые песчаники, алев-

ролиты и аргиллиты) и все возможные комбинации этих пяти классов (всего

-32 комбинаций). Нулевой класс, соответствующий пробам, которые по

признаку зернистости не попадают ни в один из перечисленных классов,

не рассматривается, так что любая проба из выборки должна быть отнесена

к одному из остальных 31 класса. Изученные пробы зерна заняли только

21 класс, и распределение 1331 пробы из трех скважин выражается в про-

ОБРАБОТКА И СВЕРТЫВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ

203

Таблица 12.1

Плотность распределения размеров зерен по макроскопическим

определениям в трехдюймовом керне из скважин 155 А,

155 £ и 155 С. Булл-Каньон, плато Колорадо

Скважина, %

Класс

Структура

A B C

Грубозернистый песок (Cs)

2 Среднезернистый песок (Ms)

20,68

16,63

6,8

Тонкозернистый песок (Fs) 5,60 6,26

1,5

Алевролиты (St)

1,51

1,3

Аргиллиты (Mst)

32,85

22,03

33,9

Cs+ Ms 8,76

6,07

1,8

Ms+Fs

5,60

14,47

6,4

Ms+St 0,2

Ms+ Mst

0,22

Fs+St 11,92 5,40 16,5

Fs+ Mst

3,89 4,32 2,2

St+ Mst

7,54 15,12 5,7

13 Cs + Ms + Fs

0,43

0,2

Cs+Ms+Mst

1,46

0,65

0,2

Ms + Fs + St 0,78

0,65

18,8

Ms+Fs+ Mst

0,2

Ms+ St+ Mst 1,30

Fs+ St+ Mst

0,97

1,94 4,2

Cs + Ms+Fs+St 0,2

Cs + Ms + Fs + Mst

0,22

Cs + Ms + St + Mst 0,22

Ms+ Fs+St+ Mst 0,22

Сумма 1000,00

100,01

центах на таблице (более детальное описание см. в работе [57]). По распре-

делению этих классов размерности можно сделать заключение, что градиент

размеров зерен от скважины А (в урановой руде) через скважину Б в сква-

жину С (в 100 футах от скважины А) весьма изменчив и что наиболее распро-

странены классы среднезернистых песчаников, аргиллитов, алевролитов

и тонкозернистых песчаников или алевролитов, перемежающихся с аргил-

литами.

Таблица 12.2

Связь между цветом и размерами зерен в трехдюймовом керне из пачки

Солт-Уош формации Моррисон, Булл-Каньон, плато Колорадо ([157], табл. 7)

Цвет

Структура

Цвет

Cs Ms

MsAl Fs

FsAi St и Ms Сумма

Красный

Красный и зеленый

116

132

Зеленый

25 55

Красный, белый и зеле-

10 22

1 6 40

ный

Белый и зеленый

1 116

2 30

151

Белый

38 6

2 1

Сумма 49 144

179 463

IA- все прочие классы.

Табл. 12.2 представляет собой двупорядковую таблицу признаков.

В ней интересны взаимоотношения между цветом и размером зерен. Легко

204

ГЛАВА 1 г

CH SU SC 6Н

МИНЕРАЛЫ И ПОВОДЫ

|| СТРУКТУРА

ОТНОСЯЩИЙСЯ К МИНЕРАЛАМ

MFTAMOPP. ПОРОДЫ

-•I

*·3

-·Ι

ξ!

S»

:ι

Коллекция:

Наименование

породы:

Местонахождение:

Станд. формула··

№

страницы

каталога Харквра

-·

Библиография:

МИНЕРАЛЬНЫЙ

СОСТАВ

1 Главные минералы

Разновидности

минералов

Акцессорные

минералы

4 Вторичные минералы

5 Редкие минералы

СТРУКТУРЫ

1 Кристалличность

2 Размер выделений

3 Форта

4 Особые структуры

HVOdOU эяннзяизаси

JVJ-Joi имныгалзи

ЯТХЛОЭ И1ЧЫММ01Я

ό $

W У смол ЗМНЬОТУДО

flVi.003

И VdAUIXdlS

«•з

• ί

г·;

• ε

91 9Η

Фиг. 12.4. Каталожная карточка образцов из коллекции отдела геохимии и минерало-

гии Пенсильванского университета.

заметить из расположения цифр, что красный цвет обычно соответствует

аргиллитам, в то время как белый — песчаникам от средне- до грубозерни-

стых. Чтобы установить значение этой связи, можно использовать крите-

рий χ

(здесь χ

= 771,8 с числом степеней свободы 20; следовательно,

P < 0,001), и сила связи будет выражаться коэффициентом связи С = 0,79

(см. [233, 1] и раздел 17.5, где объясняется использование критерия χ

этого коэффициента).

Можно применить разработанный анализ многократной иерархической

дихотомии [464]; проверка на наличие связи с оценкой ее силы существенно

упрощена путем применения аналогичной систематической процедуры (см.

также раздел 17.5).

Перфокарты весьма удобны и для непрерывной фиксации данных, кото-

рые при такой форме легко сохранять. Кроме того, они значительно сокраща-

ют время при поиске информации; стоимость организации и содержания

всей этой системы невелика, а процедуре работы с перфокартами легко

научить. Пример перфокарты, взятой из каталога всей коллекции образцов

отдела геохимии и минералогии Пенсильванского университета, дан на

на фиг. 12.4. Описание принципов, процедур составления и назначения пер-

фокарт, так же как и примеры их использования, содержатся в многочислен-

ных книгах и статьях [46, 51, 52, 101, 207, 237, 320, 321].

ОБРАБОТКА И СВЕРТЫВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ

205

12.4. АВТОМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ

Возможности ручных перфокарт с краевой перфорацией ограничива-

ются количеством отверстий, число которых зависит от размеров карты.

При двойных отверстиях

число позиций увеличивается, и при хорошо

разработанном кодировании система перфокарт облегчает обработку большого

количества информации. Особенно удобно представлять таким образом те

свойства породы, которые нельзя фиксировать по непрерывной шкале.

Если пункты программы многочисленны, ограниченное количество отвер-

стий на картах снижает их необходимость в этих пунктах. Кроме того, когда

а ι о о о л о а о о о ι о о ι о о D о

I I

T 1 I 1 I I I I I

I I

00000060

η и

и η Λ » 1»

Ilinill

0000000000000090

Illlllllllltllll

000

ими

I I 1

OGOOOOO

IIIIIII

0 0 Ofl 0 0 0 0 0 3 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00

1 1 1 1 I

I t I 1 1 1

I 1 1 I I 1 I

2222222222222222222

22222222 2222222222222222

222

2222222

2222222222222222717272

1133111133331311111 13113113 3311111111111111 111

1111113

з з з з

з з з

з:

з з

4444444444444444444 44444444 4444444444444444 444 444444«

44444<444444<44M4<444

SSSSSSSSSSSSSSSSSSS

SS5SSSSS

SSSSSSSSSSSSSSSS

SSS sssssss

555SSS55SSS5SS5S5b55S*

tittitittittitttitt ((IiIttt titittttttttttti

( ( 111 (t (t

SB6S6fi6

16((((GSSSttS&Б

M 1 I

7;I

! 7

J 7 7 7 7 J 7 7 7 7 7 7

777777777777

7 7 7

7 7 7 7 7 7 7

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 ? M 7

7 >

Iilltltntlllllllll

I 0

IIOOOIiOOIOIIOII

00)

OOIIOII

S I g I I I I

I I

I ·

I I

9191)1991191)919999 11)1))19

л ппнахпл

111))11111)1))))

η M и U U M ηM ir IU ими.

))1

•lu.t*

)))))))

9999999999993999399939

Фиг. 12.5. Перфокарта для обработки данных на электронно-вычислительных маши-

нах (система Холлерит).

данные выражены количественно, обычно их обрабатывают методами стан-

дартной статистики, так как ручной обработкой перфокарт это сделать прак-

тически невозможно.

Следовательно, автоматическая обработка перфокарт вызвана необхо-

димостью. Для этого обычно применяются машинные перфокарты Коллерид,

где код несколько сокращен; эти карты (фиг. 12.5) имеют 80 столбиков по

10 позиций — от 0 до 9 в каждом. Первая позиция (номер образца) зани-

мает поле столбика, равное количеству цифр самого большого номера (из рас-

сматриваемой выборки), т. е. 4 столбика включают номера 9999. Для обо-

значения номера пробы 4763 потребуется четвертая позиция в столбике пер-

вом, седьмая — в столбике втором, шестая — в столбике третьем и третья —

в столбике четвертом. Последующие столбики предназначаются для реги-

страции признаков; на первый взгляд 80 столбиков достаточно для любого

случая, но допустим, например, что три серии измерений дали цифры типа

3,45; тогда первоначальные данные займут' 9 столбиков, что в общем

вместе с обозначением номера пробы займет 13 столбиков. В процессе

обработки данных, чтобы получить сумму квадратов по каждому пункту про-

граммы, потребуется по крайней мере шесть столбиков и для парных произ-

ведений самое меньшее еще по шесть на каждый из них, т. е. всего 49 столби-

ков. Легко понять, что даже для заурядной исследовательской задачи 80 стол-

биков не так уж много. Конечно, если исходный материал уже один раз был

обработан, вычислительная машина может сохранить результаты в своей

памяти для дальнейшей обработки, и здесь нет серьезных проблем для иссле-

дователя (не считая копирования перфокарт). Пример применения таких

перфокарт с последующей их обработкой описан Крамбейн ом и Слоссом [264].

Каждое отверстие может быть использовано отдельно или же оба отверстия одно-

временно.

206

ГЛАВА 1 г

На этой стадии перфокарты представляют собой лишь один из много-

численных способов хранения и обработки информации. Другой способ

заключается в кодировании информации для регистрации ее на бумажной

или магнитной ленте. Очень большие объемы информации лучше хранить

на лентах, чем на перфокартах, тем более что лента более доступна. Однако

каждый способ имеет свои преимущества, выбор того или другого часто зави-

сит от характеристик вычислительных устройств, имеющихся в распоряже-

нии исследователя. Некоторые вычислительные машины устроены так, что

могут обрабатывать информацию как на перфокартах, так и на лентах, другие

же приспособлены только к одному способу регистрации.

Существуют машины для перевода информации с перфокарт на ленты

и наоборот, так что сейчас имеемся обширнейший выбор процедур для обра-

ботки информации и ее хранения (см., например, работу [96]).

Возможно, следует особо подчеркнуть, что, если мы стремимся к наиболее

эффективной и вместе с тем наиболее простой процедуре, необходимо заранее

планировать всю программу — от точного определения цели действий, спосо-

ба сбора информации, ее обработки и анализа наблюдений до определения

формы ответов на поставленные вопросы. Чем более мощна обрабатывающая

установка, тем более становится необходимым, чтобы было заранее известно,

как обрабатывать информацию, т. е. надо перевести ее на язык, подходящий

для устройства, на котором информация будет обрабатываться. Сейчас доста-

точно ясно, что, если мы хотим, чтобы исследование было эффективным, при-

ходится исключительно глубоко продумывать проект современного науч-

ного исследования, обычно требующего нескольких специалистов разного

профиля.

Часто еще можно услышать утверждение, что, мол, исследования

в науках о Земле не могут быть выражены количественно из-за сложности

проблем и большого количества переменных, которые надо изучить; но сов-

ременные программы обработки информации предназначены именно для

проблем такого рода; на современном этапе развития науки сомнений по этому

поводу уже не может быть.

12.5. АСПЕКТЫ ПРОБЛЕМЫ ИЗМЕРЕНИЙ В НАУКАХ О ЗЕМЛЕ

Попытки выражать результаты наблюдений количественно в общем

сводятся к представлению этих результатов в виде цифр. Подобный процесс

может быть определен как процедура замены наблюдений некоторыми симво-

лами или цифрами по определенным правилам. Множество возможных спо-

собов такого замещения зависит от принятых правил; эта сфера науки при-

влекает к себе все возрастающее внимание [50, 413, 416, 384]. В общем можно

сказать, что процесс свертывания информации, начинающийся с классифи-

кации и ведущий ко все более и более дробным подразделениям, является

процессом количественного представления результатов наблюдений [197].

Из определения этого процесса, как процесса перевода наблюдений на язык

символов в соответствии с.определенными правилами, следует, что эти пра-

вила и будут определять ценность принятых символов. Если правило рас-

считано на случайные и бессистемные наблюдения, результирующие символы

окажутся не более чем ярлыками, и весь процесс их обработки даст очень

немного информации. С другой стороны, если выбранные правила привели

к такому отображению наблюдений числами, при котором результирующие

числа структурно изоморфны арифметике, проблема свертывания информации

упрощается; для анализирования такой информации разработаны весьма

эффективные процедуры. Этот непрерывный ряд процедур, предназначенных

для выражения информации языком цифр и символов, обычно подразделяется

на четыре группы, которые принято называть шкалами: номинальной, поряд-

ковой, интервальной и шкалой отношения (табл. 12.3).

ОБРАБОТКА И СВЕРТЫВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ

Шкалы измерений ([413], данные упрощены)

207

Таблица 12.3

Шкала ι

Основные эмпи-

рические

операции ι

Математическая

структура

Допустимые статистики

Примеры шкал

Номиналь-

ная

Ординаль-

ная

Интерваль-

ная

Отношений

Отождествле-

ние

Определение

того, что «боль-

ше» или «мень-

ше»

Определение

тождественно-

сти или раз-

личий поинтер-

вально

Отождествле-

ние отношений

Группа подстано-

вок х'=/(X);/(X)

означает любую

взаимооднознач-

ную подстановку

Изотопическая

группа x'=f(X),

где /(X)—любая

монотонно воз-

растающая функ-

ция

Полная линейная

группа х' = BX + а

Однородная груп-

па х' = ах

Множество подсчетов;

мода; сопряженность

признаков, корреля-

ционная независи-

мость

Медиана; ранг; про-

центили; корреляция

Среднее; стандартное

отклонение. Ранговые

соотношения; корре-

ляция смешанных мо-

ментов. φ или лога-

рифмическая шкала

Коэффициенты измен-

чивости. Среднее гео-

метрическое

Подсчеты частоты рас-

пространения минера-

лов, типы пород и дру-

гие признаки; поверх-

ностные структуры

Шкала твердости Mo-

оса; содержание тя-

желой фракции; упо-

рядоченные данные;

стратиграфическая

шкала

Температурная шка-

ла; сферичность, ока-

танность, шкала по

изотопам кислорода;

шкала «абсолютного»

времени

Миллиметры, граммы,

миллилитры, градусы

по Кельвину

1 Эти шкалы не имеют между собой резких границ и операции по ним совмещаются.

При номинальной системе исчисления наблюдения фиксируются в виде

символов, каждый из которых обозначает класс; при этом требуется, чтобы

правила классифицирования давали классы неотличимости, взаимно исклю-

чающие друг друга, т. е. чтобы каждое наблюдение могло быть отнесено

к какому-то одному классу. Следует помнить требование эквивалентности:

критерии отнесения каждого наблюдения к некоторому классу должны

быть в равной мере применимыми к наблюдениям любого другого класса.

Например, если каждый член некоторого коллектива исследователей написал

письмо и каждое письмо приписывается одному и только одному члену

этого коллектива, исчисление является номинальным. Каждый класс состоит

только из одного элемента и все классы эквивалентны; никакого упорядочения

здесь нет. Многие классификации в области наук о Земле выполнены именно

на этом уровне, например, разделение изверженных горных пород на гра-

ниты, сиениты, диориты и т. д. Классификация ископаемых организмов

на виды также является примером номинального исчисления (см. также

табл. 9.1.).

Требование эквивалентности для номинального исчисления может быть

сведено к рефлексивности (а = а для всех а), симметричности (если а = Ъ,

то Ъ = а) и транзитивности (если а = Ь, Ъ = с, то а = с). Надо отметить,

что критерии, удовлетворяющие этим требованиям, могут быть простыми,

например, при классификации штуфов пород при макроскопическом их иссле-

довании; или сложными — при определении глинистых минералов с помощью

полных оптических, рентгеноструктурных и химических анализов. Процеду-

ры, которые приводят к номинальному исчислению, представляют собой

процедуры диагноза классов и издавна применяются в практике естественно-

научных исследований. Один из примеров, приведенный в разделе 9.1, иллю-

стрирует образование классов элементов при количественно-минералогиче-

ском анализе с точечным подсчетом.

РОЯ

BXTu

В общем процедуры идентификации, или диагноза, связаны с подсчетом

частот в каждом классе. Эти процедуры подсчета, которые во многих случаях

оказываются весьма сходными, в поле зрения естествоиспытателей попали

относительно поздно.

Классы можно образовывать также и в том случае, если отображением

наблюдений в виде символов помимо свойства эквивалентности удается

достичь и таких свойств, как иррефлексивность, асимметричность и транзи-

тивность. Иррефлексивность: а Φ а для всех а; асимметричность: если а> Ъ,

то Ъ а; транзитивность: если а> Ъ, а Ъ > с, то α > с. Символу > можно

придавать такие значения, как «крупнее, чем...», «грубее, чем...», «тверже,

чем...», «предпочтительнее...» и т. п. Выполнение этих требований приводит

к отображению в порядковой шкале.

Полевые наблюдения часто представляются именно в символах поряд-

ковой шкалы; например, когда породы разделяются на фенеритовые, афани-

товые, стекловатые или на гравийные, песчаные и глинистые. Важно отме-

тить, что песчаники, известняки и глинистые сланцы представлены как

совершенно неупорядоченные или лишь частично упорядоченные классы

номинальной шкалы.

Типичные примеры порядкового расчленения — шкала твердости Mooca

и номограммы по сравнительному определению частот распределения акцес-

сорных материалов.

Использование оптического рельефа поверхности минералов вместо

показателя преломления при изучении шлифов является примером замены

шкалы более высокого уровня порядковыми измерениями. Порядковой

шкалой мы действуем при визуальном сравнении свойств пород и окамене-

лостей с эталонными таблицами; сами же эталоны устанавливаются по шкале

более высокого уровня. Визуальное определение сферичности и окатанности

— примеры таких процедур; другие примеры порядковых измерений — срав-

нение осадочных пород по размерам их зерен или по цвету.

В порядковой шкале интервалы между классами не фиксируются; напри-

мер, нельзя считать, что алмаз, твердость которого по шкале Mooca 10,

вдвое тверже апатита, имеющего твердость 5, и т. п. В результате анализ

по таким данным ограничен процедурами упорядочения, ранжирования.

В частности, так называемые порядковые статистики — квартили и кванти-

ли — являются подходящими результирующими статистиками для обработ-

ки измерений именно порядкового типа. Следовало бы, пожалуй, подчерк-

нуть и то, что, если информация имеет порядковый характер, использование

параметрической статистики не оправдано, ибо параметрические процедуры

требуют данных, полученных при измерениях более высокого уровня. Воз-

можно и обратное: если уровень метрики выше порядкового, применение

порядковых статистических процедур ведет к потере информации.

Если данные получены на порядковом уровне и интервалы шкалы опре-

делены, шкала относится к интервальному рангу; место нуля и единица

шкалы при этом произвольны. Трансформация одной шкалы в другую может

быть выполнена как увеличением количества измерений, так и добавлением

новых констант. Типичный пример интервального уровня измерений —

температурные шкалы Фаренгейта и Цельсия. Переход от одной к другой

осуществляется путем умножения с добавлением постоянной, т. е.

F = ^-

C + 32.

Для интервальной шкалы характерно, что различия между единицами

шкалы постоянны. Когда, например, измеряются сферичность и окатанность

по Уоделлу, измерения осуществляются по интервальной шкале, но при

визуальной оценке этих параметров с помощью стандартов мы применяем

порядковую шкалу (гл. 6). Польза от повышения информационного уровня

ОБРАБОТКА И СВЕРТЫВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ

209

при переходе от порядковой шкалы к интервальной состоит в возможности

применить параметрический статистический анализ.

Содержание элементов-примесей, определенных спектральным анализом,

и содержание изотопов с произвольным положением точки отсчета

на шка-

ле [4] и фиксированными интервалами измерений, возможно, даются на ин-

тервальной шкале.

Наконец, если применяемая шкала обладает всеми качествами интер-

вальной и вместе с тем имеет фиксированную точку отсчета, ее информацион-

ный уровень можно рассматривать как уровень шкалы отношений. Перейти

к ней без изменения информационного уровня можно только путем умноже-

ния на постоянную величину. Измерения размеров зерен, объемной плотности,

емкостей и т. д., т. е. измерения, проводимые непосредственным способом,

приводят к уровню шкалы отношений.

Интересно заметить, что переход к логарифмической шкале, определяе-

мый как взаимно однозначное преобразование шкалы отношений в ее лога-

рифмический эквивалент, по-видимому, совершается с потерей информации,

ибо простым умножением осуществить такую трансформацию нельзя и место

нуля здесь отчасти произвольно.

В качестве представительных статистических критериев с данными

шкалы отношений могут быть использованы как геометрическое среднее, так

и коэффициент изменчивости; однако при переводе шкалы отношений в шкалу

логарифмическую, надо учитывать, что среднее арифметическое логарифмов

соответствует среднему геометрическому исходных данных. Коэффициент

изменчивости (CV), который выражает отношение стандартного отклонения

к среднему в процентах, представляется в виде

= = 100;

и если первичные наблюдения дают среднее в диапазоне единицы, то зна-

чение CV на логарифмической шкале будет стремиться к бесконечности

(см., например, сортировку по размерам на фиг. 15.3 и работу [122]). При

работе с трансформированными данными необходимы некоторые навыки для

проверки возможных искажений информации.

Кемпбелл [50] подразделил измерения, выполненные на шкале отноше-

ний, на основные и производные. Для определения последних требуется знать

основные определения. Так, если определена мощность каждого из двух пла-

стов, их суммарную мощность получают сложением двух цифр; сумма от сло-

жения будет точно соответствовать мощности обоих пластов. Если же слить

в один сосуд два объема жидкостей с плотностью 3,00, будет двойной объем,

но плотность останется 3,00; получается, что 3 + 3 = 3. Таким образом,

непосредственные измерения основных свойств производятся по шкале отно-

шений и отображение наблюдений числами структурно изоморфно арифме-

тике, т. е. сохраняется свойство аддитивности. Измерения же производных

свойств, несмотря на то что они тоже выполняются по шкале отношений,

могут тем не менее быть ограниченными в отношении действий с ними. Если

при изучении формы зерен используются факторы производного типа, такие,

как сферичность и величина Зинга, то результаты получаются менее информа-

тивными, чем при непосредственных «сырых» измерениях осей зерен. Даже

ф-преобразования могут привести к некоторой потере информации, так что

применять подобные преобразования надо осторожно, с учетом их преиму-

ществ и слабых сторон.

Теория измерений в какой-то степени сходна для всех экспериментов;

с ее основами можно ознакомиться по работам [50, 70, 173, 398, 413].

Что эквивалентно положению «не обнаружено»,

14—429

210

ГЛАВА 1 г

12.6. ВЫБОР СТАТИСТИЧЕСКИХ КРИТЕРИЕВ

Мы проводим эксперименты с целью увеличить информацию о некотором

определенном объекте. При этом обычно бывает собрано относительно неболь-

шое количество наблюдений, рассматриваемых в качестве представителей

гораздо большей выборки, чем можно было бы собрать. Иными словами, эта

выборка собранной информации обычно используется для отражения харак-

теристик более обширной совокупности, которую, как это предполагается,

данная выборка некоторым образом представляет. Статистическим анализом

в общем пользуются для достижения именно этой цели; среднее арифметиче-

ское, например, может быть найдено по любому набору данных; но оно может

быть использовано и в качестве основы для логической индукции от выборки

к генеральной совокупности, если только это среднее действительно является

представительным. Если распределение данных представлено в виде двух

симметричных частотных кривых — колоколообразной унимодальной и U-

образной, то среднее арифметическое может быть подсчитано по любой из них;

но когда это же среднее используется в физическом смысле, следует хоро-

шенько убедиться, что распределение выражено колоколообразной, а не

U-образной кривой. Другими словами, очень важно знать характер функции

распределения случайной величины. Не все статистики подходят для того

или иного вида анализа, поэтому необходимо получить такие критерии,

которые бы могли внушить уверенность в разумных результатах последую-

щих аналитических операций.

Описание характеристик некоторых наиболее распространенных функ-

ций распределения дается в гл. 13 и 14, выбору же наиболее подходящих

из этих функций могут помочь некоторые рекомендации по статистическим

критериям. Вполне понятно, что новичок в статистике теряется в обилии

«статистик», которые предстают перед его выбором [133, 214, 248, 250]. Вот

тут руководство для отыскания наиболее эффективных процедур и может

помочь ему отбросить наименее подходящие. Во многих случаях уже по

самому характеру наблюдений, выражаемому, в частности, уровнем изме-

рений, можно определить тип аналитических процедур, что упрощает их

выбор. Часто, однако, мы не знаем заранее, какие измерения будут полу-

чены. Поэтому крайне необходимо хорошо представить, сколько ловушек

может встретиться на пути применения некоторых внешне безобидных про-

цедур, которые могут привести даже к противоречивым результатам. Надо

сказать, что в лучших руководствах по статистике уделяется значительное

внимание тем правилам и процедурам, которые позволяют сравнивать между

собой различные статистические операции. Не приходится сомневаться

в том, что сведения о функциях распределения представляют наибольшую

ценность, а предположение о нормальности распределения или о непосредст-

веппом или последующем преобразовании случайной переменной является

одним из наиболее распространенных и наиболее важных этапов анализа.

Действительно, согласен или не согласен исследователь с данной процедурой,

основания для любой оценки определяются путем сравнения именно с. нор-

мальным распределением.

Термин наилучший статистический показатель можно определить через

характеристики несмещенности, состоятельности, эффективности и доста-

точности. Если статистики предназначаются для индуктивного заключения

о свойствах совокупности по свойствам выборки, то должна быть и формула

оценки их соответствия параметрам совокупности. Если критерий выборки

с той или иной вероятностью сходится [27] к подходящему параметру попу-

ляции, он в общем оказывается несмещенным и состоятельным. Статистиче-

ская оценка может в пределе стремиться к некоторому фиксированному

значению, которое отличается от истинного значения рассматриваемого

параметра; в этом случае статистика является состоятельной, но смещенной.

ОБРАБОТКА И СВЕРТЫВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ

211

Рассмотрим дисперсию нормальной совокупности σ

. Если по ряду

небольших выборок вычислены оценки этой дисперсии S

по формуле

2 (X

-X)

i=1

(12.1)

где Σ (X

— X

) — сумма квадратичных отклонений от среднего по выборке X,

а η — количество наблюдений в выборке, то эта оценка состоятельна, т. е.

она статистически сходится к некоторому фиксированному значению. Однако

это значение не совпадает с дисперсией σ

, которое находят по формуле

^ = -

Sv · ί'

.·

)

Иначе говоря, величина S

состоятельна, но в условиях малых выборок —

это смещенная оценка для σ

. Это смещение (систематическая ошибка) под-

дается определению (см. раздел 16.9); наилучшая оценка для σ

, обозначае-

мая как σ

, вычисляется по формуле

N _

Σ (Xi-X)

= . (12.3)

η — 1

При малых выборках эта оценка σ

для σ

не смещена и состоятельна.

Смещение равно п!п — 1, что можно исправить путем умножения значе-

ния S

на nln — 1, чтобы получить величину σ

По мере того как выборки увеличиваются в объеме, η — 1 приближа-

ется к и, и в результате величина s

становится также практически несме-

щенной и состоятельной, чем объясняется большое значение малых выборок

в вышеописанных оценочных процедурах.

Может быть несколько несмещенных состоятельных оценок, тогда тем

более необходимы критерии для отбора «наилучших» из них. Каждая оценка

характеризуется своей дисперсией относительно оцениваемого параметра,

и «наилучшей» оценкой является та, которая при данном числе наблюдений

обладает наименьшей дисперсией. Такая оценка называется эффективной.

Таким образом, размах выборки и выборочную дисперсию можно исполь-

зовать как оценки для неизвестной дисперсии нормальной совокупности,

но размах значительно менее пригоден.

Почему же используют выборочную дисперсию?

Установлено, что по мере возрастания объема выборки дисперсия выбо-

рочного размаха быстро стабилизируется, в то время как выборочная дис-

персия продолжает улучшаться.

Следовательно, выборочная дисдерсия является эффективной оценкой

по сравнению с размахом выборки. Простота подсчетов здесь может в какой-

то степени возместить потери информации, насколько это позволяет объем

выборки. Понятие эффективности иллюстрирует сравнение выборочного

среднего с медианой выборки, как оценок среднего значения совокупности

с нормальным распределением [96]. Отметим, что, если медиана требует

1000 наблюдений, для равноценной точности оценки по выборочному среднему

требуется 640 наблюдений.

В заключение можно сказать, что вообще может иметься множество

несмещенных, состоятельных и эффективных статистик и наиболее жела-

тельно использовать те, которые, помимо всего, будут достаточными [127].

Итак, при нормальном распределении случайной величины выборочное

среднее является достаточной оценкой среднего всей совокупности и никакая

14*