Грехов В.П., Зарицкий М.Н., Ключникова Г.А., Куприков А.В. Теория автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
;1
1Т
K
n
22
кр
(4.34)
n
arg tg(
с
T) = -
. (4.35)
Из уравнения (4.35) получаем
с
T = - tg(
/n). (4.36)
Подставив (4.36) в уравнение (4.34), найдем
.1)n/(tgК
n
2
кр
(4.37)
5. Синтез замкнутых систем регулирования
Обычно под синтезом замкнутой системы регулирования подразумевается расчет и
включение в контур регулирования дополнительных динамических звеньев, корректирующих
устройств, с целью достижения требуемых показателей качества в установившемся и
переходном режимах, которые задаются в технических требованиях.
На практике наибольшее распространение получил частотный метод синтеза
корректирующих устройств с использованием логарифмических амплитудных (ЛАЧХ) и
логарифмических фазовых (ЛФЧХ) частотных характеристик разомкнутой системы
регулирования.
5.1. Содержание технических требований
В качестве исходных данных для синтеза принимаются технические требования к точности
системы регулирования в установившихся режимах работы и динамические показатели
переходного процесса отработки ступенчатого задающего воздействия.
Технические требования к системе регулирования обычно составляются на основании
параметров технологического процесса, в реализации которого используются система
регулирования.
Точность системы регулирования в установившемся режиме при отработке воздействия f
з
называют статизмом по воздействию f
з
.
Статизм определяется соотношением
%100
Y
YY
S
з
хз
f
з
,
где Y
з
– заданное значение выходной координаты;
Y
х
– выходная координата после отработки воздействия f
з
.
Если статизм равен нулю, т.е. S
fз
=0, то система называется астатической по входу f
з
.
(5.1)
49
На рисунке 5.1. приведен график переходного процесса отработки системой
регулирования ступенчатого воздействия f
з
.
К динамическим показателям переходного процесса отработки ступенчатого
воздействия относятся:
1. Время переходного процесса t
пп
, с,
2. Перерегулирование
%,
3. Число колебаний регулируемой координаты n
к
,
4. Время нарастания до заданного значения t
нр
, с.
Время переходного процесса t
пп
– момент вхождения выходной координаты Х в зону
допустимых отклонений, после которого она уже не выходит из этой зоны.
Перерегулирование выходной координаты
% вычисляется из соотношения
%100
Y
YY
з
змакс
нр
t
макс
t
пп
t
1,0
0,8
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
0,2
0,4
0,6
2 1210864
20
181614 2422
., с е кt
3
Х
У
,%
У
Х
Рис.5.1 График переходного процесса отработки системой регулирования
ступенчатого воздействия f
з
Число колебаний n
к
равно числу переходов выходной координаты через уровень заданного
значения до попадания в зону допустимых отклонений.
Время нарастания t
нр
– момент первого достижения регулируемой координатой уровня
заданного значения.
(5.2)
50
5.2. Общий порядок синтеза корректирующего устройства
и вид желаемой ЛАЧХ
На основании технических требований по точности, времени переходного процесса t
пп
и
допустимому перерегулированию
выбирается вид желаемой ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой
скорректированной системы. В теории регулирования было выявлено, что существует
определенная взаимосвязь между ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы и точностью, временем
переходного процесса t
пп
и перерегулированием
в замкнутом контуре регулирования.
Типовые желаемые ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутых скорректированных систем приведены
на рисунке 5.2 а, б, в. Они имеют асимптоты с наклоном –0, -20, -40 ДБ/дек (рис. 5.2.а); -20, -
20, -40 ДБ/дек (рис.5.2.б); -40, -20, -40 ДБ/дек (рис.5.2.в). При этом первым указывается наклон
низкочастотной асимптоты.
Разомкнутый контур с ЛАЧХ вида 0; -20; -40 Дб/дек имеет передаточную функцию
)1рТ()1рТ(
К
)p(W
21
раз1
и содержит три звена: одно усилительное и два апериодических.
На рис. 5.2.а ЛФЧХ определяется соотношением
(
)= - arctg T
1
- arctg T
2
Разомкнутый контур с ЛАЧХ вида –20; -20; -40 Дб/дек имеет передаточную функцию
)1рТ(рТ
1
)p(W
2и
раз2
,
и содержит три звена: одно усилительное с К=1/Т
и
, одно интегрирующее и одно
апериодическое звенья.
На рис. 5.2.б ЛФЧХ определяется соотношением
(
)= -90 - arctg T
2
Разомкнутый контур с ЛАЧХ вида –40; -20; -40 Дб/дек содержит два интегрирующих
звена и имеет передаточную функцию
)1pT(pT
1pT
)p(W
2
22
и
1
разз
и содержит пять звеньев: одно усилительное с К=1/Т
2
и
, два интегрирующих, одно
форсирующее и одно апериодическое звенья.
На рисунке 5.2.в ЛФЧХ определяется соотношением
(
)= -2
90 + arctg T
1
- arctg T
2
На каждой ЛАЧХ рис. 5.2 можно выделить три участка:
- низкочастотный;
(5.3)
(5.4)
(5.5)
51
- среднечастотный;
- высокочастотный.
Динамические показатели замкнутой системы регулирования определяются
среднечастотным участком ЛАЧХ, который располагается слева и справа относительно
частоты среза
ср
, где ЛАЧХ пересекает ось частот.
Чтобы система была устойчивой и имела качественный переходный процесс в
отношении перерегулирования
и числа колебаний n
к
, среднечастотный участок
ЛАЧХ должен иметь наклон –20 Дб/дек, а его протяженность составлять не менее
одной декады. Время переходного процесса t
пп
и частота среза
ср
связаны
следующим соотношением:
ср
пп
)42(
t
Перерегулирование в переходном процессе замкнутой системы регулирования и
число колебаний зависит от запаса по фазе на частоте среза
ср
=180
-
ср,
где
ср
– сдвиг по фазе сигнала в разомкнутом контуре регулирования на частоте среза.
(5.6)
(5.7)
-90
-180
L
0
-40
-20
с1
с2
ср
Δφ
з
φ
высокочастотный
участок
среднечастотный
участок
низкочастотный
участок
-20
-20
-40
-40
-40
ср
ср
с2
с2
с1
с1
и
-90
-180
-90
-180
Δφ
з
Δφ
з
φ
φ
5.2 а.
5.2 б.
5.2 в.
52
Рис. 5.2 ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутых скорректированных систем регулирования
с ВЧ – участком (-40 ДБ/дек)
рис. 5.2.а - –0, -20, -40 ДБ/дек; рис.5.2.б - -20, -20, -40 ДБ/дек;
рис. 5.2.в --40, -20, -40 ДБ/дек
Чем больше запас по фазе, тем меньше перерегулирование . Существует следующая
зависимость:
1. при запасе по фазе
ср
=(25-35)
перерегулирование составляет
=(80-50)%;
2. при запасе по фазе
ср
=(40-50)
перерегулирование составляет
=(45-25)%;
3. при запасе по фазе
ср
=(55-65)
перерегулирование составляет
=(20-5)%;
4. при запасе по фазе
ср
больше 70
перерегулирование отсутствует.
Поэтому в зависимости от допустимого по техническим требованиям
перерегулирования, разомкнутый контур регулирования должен иметь вполне определенный
запас по фазе на частоте среза.
Низкочастотный участок ЛАЧХ определяет точность замкнутой системы
регулирования и лежит слева от среднечастотного вплоть до инфранизких частот.
Низкочастотный участок ЛАЧХ может иметь наклон 0Дб/дек, -20 Дб/дек или –40 Дб/дек.
Система регулирования, у которой низкочастотный участок ЛАЧХ имеет наклон
0Дб/дек, называется статической или система с нулевым порядком астатизма, так как в ней
установившаяся ошибка при отработке ступенчатого задающего воздействия F
з
(p)=А(р) равна
конкретному конечному значению, которое определяется уравнением
.
K1
1
)p(F
21
21
з
)p(W)р(F
з
0р рип
0рпри
x3х.уст
K)1pT()1pT(
)1pT()1pT(
)p(F
33
(5.8)
Система регулирования, у которой низкочастотный участок ЛАЧХ имеет наклон –20 Дб/
дек, называется астатической системой с астатизмом первого порядка. В ней установившаяся
ошибка при отработке ступенчатого воздействия F
з
(p)=А(р) равна нулю, так как числитель
передаточной функции W(р)
x
содержит оператор р в первой степени стоящий сомножителем
53
0
1)1рТ(рТ
)1рТ(рT
)p(F
3
xз
2и
2и
з
0рпри
х.уст
)p(W)р(F
3
.
Если на входе такой системы действует линейно изменяющееся воздействие, для
которого F
з
(р)=В
з
р, то установившаяся ошибка отработки такого воздействия не будет равна
нулю, а будет определяться соотношением
р
с
зиз
0рпри
х.уст
1
ВТВ
2
2
и
2из
1)1рТ(ррТ
)1РТ(рТВ
з
.
Система регулирования, у которой низкочастотный участок ЛАЧХ имеет
наклон
-40Дб/дек, называется астатической системой с астатизмом второго порядка. В ней
установившиеся ошибки при отработке ступенчатого воздействия F
з
(р)=А(р) и линейно
изменяющегося F
з
(р)=В
з
р равны нулю, так числитель передаточной функции
3
F
)p(W
содержит оператор р во второй степени стоящий сомножителем
1рТ)1рТ(рТ
)1рТ(рT
рx
з
xз
12
22
и
2
22
и
з
0рпри
х.уст
)p(W)р(F
з
.
Если на входе такой системы действует параболическое входное воздействие, для
которого F
з
(р)=С
з
р
2
, то установившаяся ошибка отработки такого воздействия будет
определяться соотношением
2
из
12
22
и
2
22
из
х.уст
ТС
1рТ)1рТ(рТ
)1рТ(рTС
з
.
Следовательно, наибольшей точностью обладает система регулирования, имеющая
второй порядок астатизма с ЛАЧХ вида –40; -20; -40 Дб/дек. Однако, в таком контуре запас по
фазе на частоте среза
ср
обычно составляет меньше 40
, как оказано на рисунке 5.2.в.
Поэтому перерегулирование при отработке ступенчатого задающего воздействия составляет
около 40-60 %, а число колебаний n
к
=2 или больше.
Выбор наклона низкочастотного участка желаемой ЛАЧХ зависит от конкретных
технических требований к системе регулирования.
Высокочастотный участок ЛАЧХ располагается правее среднечастотного участка
вплоть до ультравысоких частот, когда
. Наклон этого участка может быть –40 Дб/дек, но
чаще все-таки бывает –60 Дб/дек и более. От наклона высокочастотного участка ЛФЧХ зависит
предел, к которому стремится ЛАЧХ на высоких частотах. При наклоне –40 Дб/дек -
макс
=-
180
, при наклоне –60 Дб/дек -
макс
=-270
, а при наклоне –80 Дб/дек -
макс
=-360
. Если
(5.9)
(5.10)
(5.11)
(5.12)
54
высокочастотный участок ЛАЧХ имеет наклон –60 Дб/дек или больше, то график ЛФЧХ
пересекает границу -180
, как показано на рисунке 5.3. В точке пересечения с границей -180
запас по фазе
равен нулю. На частоте точки пересечения определяется запас по амплитуде
L
зап
в замкнутом контуре регулирования. Это очень важный показатель системы
регулирования. В реальных системах по разным причинам коэффициент усиления может
изменяться в некоторых пределах, но при этом система регулирования не должна терять
устойчивость. Предел допустимого изменения коэффициента усиления находится из
соотношения
доп
<10
Lзап/20
. (5.13.)
Считается, что целесообразный запас по амплитуде должен составлять не менее 6 Дб,
т.е.
L
зап
6 Дб
.
При таком запасе суммарный коэффициент усиления может увеличиться в 2 раза до
того, как система регулирования окажется на границе устойчивости. В контурах
регулирования, у которых высокочастотный участок ЛАЧХ имеет наклон –40 Дб/дек, ЛФЧХ
стремится к асимптоте -180
, поэтому замкнутая система регулирования имеет бесконечно
большой запас по амплитуде, так как
L
зап
=
при
.
При фиксированной величине частоты
ср
и протяженности среднечастотной части
ЛАЧХ наклон высокочастотного участка влияет на запас по фазе на частоте среза
зап
и,
следовательно, на перерегулирование в переходном процессе при отработке ступенчатого
воздействия. Уменьшение запаса по фазе при наклоне высокочастотного участка –60 Дб/дек
показано на рис. 5.3.
L
-20
-20
-40
-40
-40
ср
ср
с2
с2
с1
с1
си
-90
-180
Δφ
з
Δφ
з
φ
φ
5.3 а
5.3 б.
-270
ΔL
з
L
L
-90
-180
-270
L
ΔL
з
-60
-60
55
Рис. 5.3 Типовые ЛАЧХ и ЛФЧХ скорректированных систем с ВЧ – участком
(-60 ДБ/дек) рис. 5.3.а - –20, -20, -60 ДБ/дек; рис.5.3.б - -40, -20, -60 ДБ/дек
56
Наклон высокочастотного участка во многом определяется передаточной функцией
исходной нескорректированной системы и возможностью реализации корректирующего
устройства.
Форма и параметры желаемой ЛАЧХ и ЛФЧХ определяются техническими
требованиями к системе регулирования t
ппж
,
x,
f,
, S
3
, S
f
.
1) Частота среза желаемой ЛАЧХ
срж
=(2
4)
/t
ппж
;
2) Наклон среднечастотного участка –20 Дб/дек;
3) Протяженность среднечастотного участка 1 дек;
4) Наклон низкочастотного участка составляет:
а) для статических систем 0 Дб/дек;
б) для астатических систем первого порядка средней точности –20 Дб/дек;
в) для астатических систем второго порядка высокой точности –40 Дб/дек.
5) Наклон высокочастотного участка определяется наличием динамических звеньев с
малыми постоянными времени в исходной неизменяемой части системы
редко –40 Дб/дек.
обычно -60 Дб/дек;
или –80 Дб/дек;
Исходя из сформулированных правил выбора желаемой ЛАЧХ и ЛФЧХ, можно записать
три передаточные функции разомкнутого контура, соответствующие трем вариантам желаемых
ЛАЧХ:
1 – (0; -20; -60) Дб/дек ;
2 – (-20; -20; -60) Дб/дек;
3 – (-40; -20; -60) Дб/дек.
2
21
ж1
)1рТ()1рТ(
К
)p(W
, (5.14)
где
1
ср
Т
К
ж
- частота среза желаемой ЛАЧХ
2
2си
ж2
)1рТ(рТ
1
)p(W
, (5.15)
где
и
ср
Т
1
ж
– частота среза желаемой ЛАЧХ.
2
2с
22
и
1с
ж3
)1рТ(рТ
1рТ
)p(W
,
где
2
и
1с
ср
Т
Т
ж
– частота среза желаемой ЛАЧХ;
(5.16)
57
срж2с
5,2
1
Т
- малая постоянная времени.
срж
1с
5,2
Т
- постоянная времени форсирующего звена.
Зная передаточную функцию исходной нескорректированной системы и желаемую
передаточную функцию системы, обладающей требуемыми показателями, можно вычислить
передаточную функцию корректирующего устройства W(р)
ку
, используя следующее
соотношение W(р)
ж
=W(р)
ку
W(р)
исх
,
тогда
исх
ж
ку
)p(W
)p(W
)p(W
Техническая реализация корректирующего устройства с конкретной передаточной
функцией выполняется путем последовательного включения типовых динамических звеньев,
построенных на пассивных R, С элементах или на операционных усилителях постоянного тока
(ОУ), охваченных R-С обратными связями и имеющих R-С-элементы во входных цепях.
Передаточная функция такого усилителя определяется соотношением
)р(
)р(
)p(W
вх
ос
оу
,
где Z
ос
(р) и Z
вх
(р) операторные сопротивления цепи обратной связи и входной цепи с учетом
того, что Z(р)
R
= R, Z(р)
С
= 1/Ср, Z(р)
L
= Lр.
Примеры типовых схем корректирующих звеньев, реализованных на ОУ, приведены на
рис. 5.4 – 5.10.
На рис. 5.4 приведена схема усилительного звена с передаточной функцией
вх
ос
у2U1U
R
R
K)p(W
На рис. 5.5 приведена схема интегрирующего звена с передаточной функцией
рRС
1
рТ
1
)p(W
вхоси
2U1U
,
где Т
и
=С
ос
R
вх
– постоянная времени интегрирования.
На рис. 5.6 приведена схема дифференциально-инерционного звена с передаточной
функцией
1рRС
pRС
1рТ
рТ
)p(W
вхос
освх
а
д
2U1U
,
где Т
д
=С
вх
R
ос
– постоянная времени дифференцирования,
Т
а
= С
вх
R
вх
– постоянная времени инерционного звена.
(5.17)
(5.18)
(5.19)
(5.20)
58