Грехов В.П., Зарицкий М.Н., Ключникова Г.А., Куприков А.В. Теория автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
в) Идеальное дифференцирующее звено
x(t) = k
д
dt
tdf )(
;
X(p) = k
д
p
F(p);
W(p) = X(p)/F(p) = k
д
p=Т
д
р, (3.32)
где к
д
=Т
д
– постоянная времени дифференцирующего звена.
Рис.3.4. Структурная схема идеального дифференцирующего звена
г) Апериодическое звено (инерционное звено первого порядка)
T
dt
tdx )(
+ x(t) = 1
f(t);
(T
p + 1)
X(p) = 1
F(p);
W(p) = X(p)/F(p) = 1/(T
p + 1). (3.33)
Характеристическое уравнение: T
p + 1 = 0;
p
1
= -1/T, где Т – постоянная времени апериодического звена.
Рис.3.5. Структурная схема апериодического звена
д) Форсирующее звено
)t(f
dt
)t(df
T)t(X
ф
)p(F)p(pFT)p(X
ф
1pT
)p(F
)p(X
)p(W
ф
, (3.34)
где Т
ф
– постоянная времени форсирующего звена.
Рис.3.6. Структурная схема форсирующего звена
е) Динамическое звено второго порядка
21
2
o
T
td
txd
2
2
)(
+ 2
T
0
dt
tdx )(
+ x(t) = 1
f(t);
(
2
o
T
p
2
+2
T
0
p + 1)
X(p) = 1
F(p);
W(p) = X(p)/F(p) = 1/(
2
o
T
p
2
+2
T
0
p + 1). (3.35)
Рис.3.7. Структурная схема звена
Характеристическое уравнение
2
o
T
p
2
+2
T
0
p + 1= 0;
p
1,2
=
1
1
2
o
T
, (3.36)
т.е. значения и характер корней характеристического уравнения зависят от величины
коэффициента относительного затухания
.
При
>1 корни характеристического уравнения (см. (3.36)) являются вещественными, и
поэтому передаточную функцию рассматриваемого звена можно представить в следующем
виде:
)1pT)(1pT(
1
)p(W
21
, (3.37)
где
)1(
2
0
2,1
T
T
. (3.38)
В этом случае звено второго порядка эквивалентно по своим динамическим свойствам
последовательному соединению двух инерционных звеньев первого порядка и называется
инерционным звеном второго порядка.
При 0<
< 1 корни характеристического уравнения
p
1,2
= -
j
,
где
0
2
0
1, T
T
, (3.39)
т.е. корни комплексно-сопряженные, а звено называется колебательным.
При
= 0 передаточная функция колебательного звена примет вид
W(p) = 1/(
2
o
T
p
2
+ 1). (3.40)
Корни характеристического уравнения
2
o
T
p
2
+1= 0;
22
p
1,2
=
o
T
j
1
, (3.41)
являются мнимыми сопряженными, а звено называется консервативным.
Рассмотренные передаточные функции и корни характеристических уравнений
показывают, что звено второго порядка может обладать разными динамическими свойствами.
3.4. Временные характеристики типовых динамических звеньев
а) Усилительное безынерционное звено.
На основе формул (3.6), (3.7) и (3.30) переходная и импульсная переходная функции:
h(t) =
p
k
L
1
= k = const; (3.42)
w(t) = 0. (3.43)
б) Интегрирующее звено.
На основе формул (3.6), (3.7) и (3.31)
h(t) =
и
2
и
1
T
t
pТ
1
L
; (3.42)
w(t) =
pТ
1
L
и
1
= Т
и
(3.43)
Графики этих функций показаны на рис. 3.8
в) Апериодическое звено.
На основе формул (3.6), (3.7) и (3.32)
h(t) =
)1pT(p
1
L
1
= 1-
e
t
T
; (3.44)
w(t) =
1pT
1
L
1
=
T
1
e
t
T
. (3.45)
Графики этих функций показаны на рис. 3.9
23
Рис.3.8
Переходная функция апериодического звена является экспонентой, а поэтому любая
подкасательная равна постоянной времени, h(T) = 0,63, h[(3
5)T]
1.
г) Апериодическое звено второго порядка.
В соответствии с (3.6), (3.7) и (3.35) переходная и импульсная переходная функции
инерционного звена второго порядка
h(t) =
)1pT()1pT(p
1
L
21
1
=1-
1
21
1
Tt
e
TT
T
-
2
21
2
Tt
e
TT
T
; (3.46)
w(t) =
21
TT
1
(
1
Tt
e
-
2
Tt
e
). (3.47)
Графики этих функций показаны на рис 3.10.
График переходной функции имеет точку перегиба h
n
(t
n
), что подтверждает наличие двух
устройств (элементов), способных накапливать энергию.
Вычислив вторую производную h(t), найдем координаты точки перегиба переходной
функции
td
thd
2
2
)(
=
dt
tdw )(
=
21
TT
1
(-
1
1
T
1
Tt
e
+
2
1
T
2
Tt
e
),
откуда следует, что в точке перегиба
1
1
T
1
Tt
n
e
=
2
1
T
2
Tt
n
e
,
а поэтому
24
Рис.3.9
Рис.3.10
h
n
= h(t
n
) = 1-
1
1
21
Tt
n
e
T
TT
.
Угол наклона касательной к переходной функции, проведенной в точке (t
n,
h
n
)
tg
n
=
n
tt
dt
tdh
)(
= w
n
(t) =
1
T
1
1
Tt
n
e
=
21
n
TT
h1
,
т.е. касательная в точке перегиба отсекает на асимптоте h(t)=1 отрезок, равный сумме
постоянных времени T
1
и T
2
(см. рис 3.10,а).
д.) Колебательное звено
В соответствии с (3.6), (3.7) и (3.35) переходная и импульсная переходная функции
колебательного звена (0<
<1)
h(t)=
)1pT2pT(p
1
L
0
22
0
1
=
0
0
sin1
T
tgarct
T
e
t
; (3.48)
w(t) =
tsine
T
1
t
2
0
. (3.49)
Графики этих функций показаны на рис. 3.11.
Обратим внимание, что период (затухающих) колебаний
0
2
1
22
T
T
k
,
где
- частота этих колебаний. Интенсивность затухания колебаний определяется
абсолютным значением отрицательной действительной части корней характеристического
уравнения. Затухание колебаний за период, как видно из рис.3.11 и выражения (3.48),
m2
t
)
2
t(
t
1
21
e1
e
ee
h
hh
1
1
1
,
25
Рис.3.11
где m=
- степень затухания колебаний, что соответствует физической сущности
динамических процессов в колебательном звене.
е) Консервативное звено
В соответствии с (3.48) переходная и импульсная функции консервативного звена
h(t) =
)1pT(p
1
L
22
0
1
= (1- cos
0
t) (3.50)
w(t) =
0
sin
0
t (3.51)
где
0
=1/T
0
- частота собственных колебаний, совпадающая с частотой вынужденных
колебаний, т.е. имеет место резонанс.
ж) Дифференцирующее звено
В соответствии с (3.39) и (3.40) переходные функции дифференцирующих звеньев
определяются следующими формулами:
для идеального дифференцирующего звена
h(t) = Т
д
(t) =
0
00
t
t
при,
при,
; (3.52)
для реального дифференцирующего звена (совпадает с импульсной переходной функцией
апериодического звена)
h(t) =
1pT
pT
p
1
L
д
д
1
=
д
Tt
e
, (3.53)
т.е. при t = 0 h(0) = 1.
Импульсная переходная функция реального дифференцирующего звена
w(t) =
(t) -
д
T
1
д
Tt
e
. (3.54)
3.5. Частотные характеристики типовых динамических звеньев
Полученные ранее формулы (3.19), (3.20) и (3.21) являются определяющими для
нахождения аналитических выражений для частотных характеристик.
Апериодическое звено
W(j
) =
1jT
1
=
1T
jT1
22
=
1T
1
22
- j
1T
T
22
, (3.55)
т.е. U(
) =
1T
1
22
; V(
) =
1T
T
22
.
A(
) =
)()(
22
VU
=
1T
1
22
; (3.56)
(
) = arctg
)(
)(
U
V
= - arctg
T. (3.57)
26
АЧХ и ФЧХ звенья показаны на рис. 3.12.
Из рис. 3.12 следует, что апериодическое звено
обладает свойством фильтра высоких частот и при
изменении частоты от 0 до
сдвиг по фазе изменяется от 0
до -90
.
Если АЧХ и ФЧХ этого звена сняты экспериментально, то на частоте
=1/Т, A(1/T)=
2
1
,
(1/T)=-45
. Поэтому значения эти легко найти. Следовательно, по полученным
характеристикам можно найти параметры звена (К и Т).
АФХ может быть построена по формуле (3.55) при изменении частоты от 0 до
. Это
обусловлено тем, что для частотных характеристик линейных звеньев и систем
U(-
)=U(
), V(-
)=-V(
).
Это значит, что АФХ симметрична относительно
действительной оси в диапазонах частот от 0 до +
и от -
до 0.
АФХ апериодического звена показана на рис.3.13.
Отметим, что для линейных систем и звеньев строятся асимптотические ЛАЧХ.
Рассмотрим методику этого построения для апериодического звена.
Используя выражение (3.56), найдем соотношение для ЛАЧХ в децибелах (дБ).
27
Рис.3.12
Рис.3.13
L(
)=20lg
1T
1
22
=20lg1-20lg
1
22
T
. (3.58)
Найдем асимптотическое представление для (3.58). Для этого рассмотрим два диапазона
частот.
Для 0
1/T L(
)
20lg1. (3.59)
Для 1/T
L(
)
20lg1 - 20lg
T=-20lg
T. (3.60)
Выражения (3.59) и (3.60) представляет собой уравнения прямых линий (асимптот точной
ЛАЧХ). Низкочастотная асимптота (3.59) горизонтальна и совпадает с осью частот, а
высокочастотная асимптота (3.60) является наклонной прямой линией. Эти асимптоты
сопрягаются (соединяются) на частоте сопряжения.
Выясним, с каким наклоном на плоскости ЛАЧХ проводится асимптота (3.60). Для этого
найдем изменение ординаты этой асимптоты при десятикратном изменении частоты, т.е.
найдем наклон прямой в размерности дБ/дек:
L(10
) - L(
) = 20lg1 - 20lg(10
T) - 20lg1 - 20lg
T = -20lg 10 = -20 дБ,
а это означает, что наклон этой асимптоты равен -20 дБ/дек.
Максимальная погрешность аппроксимации имеет место при
сопр
=1/Т и равна 20lg
2
3 дБ.
ЛЧХ апериодического звена построены на рис. 3.14.
Для интегрирующего звена
W(j
) =
j
1
=
2
j
e
1
,
т.е. A(
)=
1
и
)=-
/2, что отображено на рис. 3.14.
28
Рис.3.14
Обратим внимание на то, что интегрирующее звено дает постоянный сдвиг по фазе,
равный -90 при всех значениях частот.
ЛАЧХ определяется выражением
-20lg A(
) = 20lg
1
= 20lg1 - 20lg
. (3.61)
Выражение (3.61) - уравнение прямой линии, имеющей наклон -20 дБ/дек на
плоскости ЛАЧХ при всех значениях частот. Эта линия проходит при
=1с
-
1
через
ординату L(
)=0 дБ (см. рис. 3.14)
ЛЧХ других типовых динамических звеньев приведены в таблице 3.1.
29
Таблица 3.1.
Характеристика основных элементарных звеньев
Тип звена
Характе
ристика
Пропорциональное
(усилительное,
безынерционное)
Интегрирующее
Апериодическое
(инерционное)
Колебательное
Идеальное диф-
ференцирующее
звено
Запаздывающее
Уравнение x
вых
= k
x
вх
,
где k - коэффициент
усиления или
передачи звена
T
dx
dt
x
вых
вх
,
где Т - постоянная
времени
T
dx
dt
x kx
вых
вых вх
где k -коэффициент
передачи звена, Т -
постоянная времени3
T
d x
dt
T
dx
dt
x kx
вых вых
вых вх
0
2
2
2
где Т
0
,Т -постоянные
времени, k – ко-
эффициент передачи
x T
dx
dt
вых
вх
,
где Т - постоянная
времени
x
вых
(t -
)= x
вх
,(t),
где
- время запаз-
дывания
Передаточная
функция W(p) k
1
T p
k
T p 1
k
T p T p
0
2 2
1
T
p
e
p
Переходная
характерис-
тика h(t)
28