Грачева М.В. и др. Моделирование экономических процессов

Подождите немного. Документ загружается.

Уравнения (5.15) и (5.16) задают линии реакции дуополистов и

могут быть переписаны в виде:

2 ' 2b

(5.17)

(5.18)

Равновесие на рынке дуополии Курно определяется в результате

решения

системы уравнений (5.17), (5.18):

Ч\

= Чг

а-с

ЪЪ

(5.19)

Графическая иллюстрация равновесия в модели дуополии Курно

представлена на рис. 5.1. Линии реакции Курно R$qi) и Щц$ соот-

ветствуют уравнениям (5.17) и (5.18).

ЪЪ 2Ъ Ъ

Рис. 5.1.

Равновесие

модели дуополии Курно

Достаточное условие максимизации прибылей дуополистов по-

казывает, что частные производные второго порядка функций при-

были отрицательны:

п,

-2b < 0;

dq\

-2b< 0.

(5.20)

(5.21)

Заметим, что решение имеет смысл лишь при а

с.

170

Значит, равновесные объемы выпуска q

и q

обеспечивают мак-

симум прибыли для каждого дуополиста.

Можно доказать аналитически, что изопрофиты дуополистов

Курно имеют вид, представленный на рис. 5.2.

Рис. 5.2.

Изопрофиты и линии реакции дуополистов Курно

^Каждая изопрофита дуополиста Курно вогнута к оси, на кото-

рой отображается его выпуск. Для любого данного уровня выпуска

конкурента существует единственный уровень выпуска дуополиста,

обеспечивающий максимум его прибыли: соответствующие комби-

нации уровней выпуска дуополистов отображены на линиях реак-

ции R\{qi) и

RiiQx)-

Чем ближе расположена изопрофита к оси вы-

пуска дуополиста, тем большему уровню прибыли она соответству-

ет. Например, изопрофиты П} и П^ соответствуют максимальному

уровню прибыли, которую способен получить дуополист, если его

конкурент уйдет с рынка. Такая ситуация соответствует случаю мо-

нополии с равновесным уровнем выпуска

а-с

2Ъ

при равновесной цене

Рт

а + с

что обеспечивает максимальную прибыль на уровне

{а-с)

АЪ

(5.22)

(5.23)

(5.24)

171

Равновесные уровни выпуска дуополистов Курно одинаковы в

силу введенных предпосылок об однородности продукции и о рав-

ных условиях по издержкам производства. Они обеспечивают удовле-

творение рыночного спроса в объеме

<7i

+Я2=

(5.25)

при равновесной цене

* _а

2с

(5.26)

что позволяет каждому дуополисту получить прибыль в размере

П;=-^=^. (5.27)

9Ь

5.2.2. Модель Чемберлина

Аналитическая версия модели Э. Чемберлина основана на эко-

номическом анализе рынка олигополии, сделанном в его моногра-

фии

, опубликованной в 1956 г. В отличие от модели Курно в мо-

дели Чемберлина дуополист принимает во внимание тот факт, что

уровень выпуска конкурента будет изменяться в ответ на его собст-

венные действия. В результате дуополисты примут наиболее выгод-

ные для себя решения, не вступая в открытый сговор.

Рассмотрим возможный алгоритм стратегических взаимо-

действий в дуополии Чемберлина. Предположим, что на

первом

ша-

ге,

для примера, первая фирма ведет себя на рынке как монопо-

лист. Решая задачу на максимум прибыли, она выбирает монополь-

ный уровень выпуска:

qi=Qm=£

(5,28)

При этом она получит монопольную прибыль

1-С

~4Ь

П,=П

=-^-^- (5.29)

при монопольной цене

=Ч

(5-30)

Перевод книги Э.Чемберлина «Теория монополистической конкуренции»

вы-

шел

издательстве «Экономика»

1996

г. в

серии «Экономическое наследие».

172

Решение задачи при принятых предпосылках (5.7)—(5.9) проил-

люстрировано на рис. 5.3. Линия DD' отображает линейную функ-

цию рыночного спроса (5.7).

МС,= МС

=с

Q\4\\4i

Рис.

5.3. Принятие

решений

модели Чемберлина

На втором шаге вторая фирма принимает решение исходя из

функции остаточного спроса Riiqi) на свою продукцию, предпола-

гая,

что выпуск первой фирмы не изменится. Функция Ri(qi) пред-

ставлена в виде отрезка AD' (см. рис. 5.3). Таким образом, вторая

фирма фактически принимает решение как фирма-монополист в

новой системе координат AQ

D\ где уравнение функции остаточ-

ного спроса имеет вид:

^-bq

(5.31)

Решая задачу на максимум прибыли, она выбирает уровень

выпуска

«72

(5.32)

что составляет половину монопольного выпуска первой фирмы. В

результате отраслевой выпуск составит

при понижении цены до

Р = -

З(а-с)

АЪ

а + Зс

(5.33)

(5.34)

173

Распределение прибыли будет не в пользу второй фирмы:

^^; (5.35)

=^^. (5.36)

16ft

Первая фирма также окажется в проигрыше, поскольку вдвое

уменьшит свою прибыль по сравнению с монопольной.

Уже на третьем шаге первая фирма осознает, что конкурент

реагирует на ее действия, и уменьшает свой выпуск на величину

выпуска соперника, т.е. вдвое, ориентируясь на цель достижения

монопольного выпуска отрасли при монопольной цене.

На

четвертом

шаге вторая фирма принимает условия, предло-

женные конкурентом, поскольку выгоднее продавать тот же объем

выпуска, что и раньше, но по более высокой монопольной цене.

Значит, вторая фирма оставит свой уровень выпуска без изменения.

При этом дуополисты поделят рынок поровну:

* * а-с ._ __

и получат одинаковую прибыль

;=п;=^^, (5.38)

разделив монопольную прибыль между собой.

При введенных предпосылках об однородности продукции и о

равных условиях по издержкам равновесие в модели Чемберлина

соответствует решению задачи максимизации прибыли отдельного

дуополиста при условии молчаливого раздела рынка между конку-

рентами.

Функция спроса примет вид:

a-2bq, (5.39)

где q

=q.

Функции прибыли дуополистов идентичны (как и условия по

издержкам):

Yl =

aq~2bq

~cq. (5.40)

Необходимое условие экстремума

a-4bq-c

0 (5.41)

174

определит равновесные уровни выпуска фирм (5.37). Они будут со-

ответствовать максимуму прибыли, что следует из достаточного усло-

вия экстремума:

4flL = -4fr<o. (5.42)

Таким образом, не вступая в прямой сговор, дуополисты Чем-

берлина могут установить на рынке монопольную цену.

5.2.3.

Модель Стэкльберга

Решение проблемы асимметричной конкуренции в условиях

количественной олигополии было предложено Г. фон Стэкльбер-

гом в 1934 г. Модель Стэкльберга анализирует стратегическое

взаимодействие фирм по принципу «лидер—последователь».

Если фирма первой принимает решение об уровне выпуска, то

она считается лидером по объему выпуска. Лидер в модели Стэкль-

берга информирован о поведении последователя. Последователь

осознает лидерство конкурента, рассматривая уровень выпуска ли-

дера как заданный, и, следовательно, принимает решение об уровне

своего выпуска при предпосылках модели Курно.

Пусть для определенности в модели количественной дуополии

первая фирма является лидером, а вторая — последователем. При

введенных предпосылках (5.7)—(5.9) решения модели для лидера и

последователя не изменятся, если фирмы поменяются ролями.

Задача максимизации прибыли фирмы-последователя аналогич-

на ситуации принятия решений в модели Курно [см. (5.12), (5.14),

(5.16)],

что определяет вид линии реакции J?2(#i) второй фирмы,

соответствующий условию (5.18):

Яг -\^- (5-43)

Последователь рассматривает уровень выпуска лидера в качестве

экзогенного параметра, т.е. принимает решение при нулевой пред-

полагаемой вариации: —^

= О

Итак, мы получили функцию, которая показывает, как фирма-

последователь будет определять уровень своего выпуска в зависи-

мости от выбора фирмы-лидера. Лидер осознает, что оказывает

влияние на принятие решений конкурента, и поэтому учитывает

реакцию последователя при решении задачи на максимум прибыли.

Аналитическая версия модели Стэкльберга предполагает, что

последователь реагирует на изменение объема выпуска фирмы-

лидера в соответствии с линией реакции Курно, которая опреде-

175

ляет значение предполагаемой вариации в рассматриваемой нами

модели:

(5.44)

Необходимое условие максимизации прибыли первой фирмы-

лидера [см. (5.11), (5.13)] при такой предпосылке примет вид:

•

а bq

- bq

- с = 0.

(5.45)

Уравнение (5.45) задает линию реакции лидера по Стэкльбергу

и может быть переписано в виде:

2 , 2(а-с)

(5.46)

Равновесие в модели дуополии Стэкльберга в сравнении с равнове-

сием в модели дуополии Курно представлено на рис. 5.4. Линия реак-

ции Курно

) для первой фирмы при этом поворачивается впра-

во—вверх вокруг точки с координатами (0;

а-с

) и занимает положе-

ние

}

Этот поворот обусловлен изменением структуры задачи

максимизации прибыли для фирмы-лидера. Учитывая значение предпо-

лагаемой вариации (5.44), лидер фактически решает задачу на условный

экстремум, максимизируя прибыль (5.13) при условии (5.18).

ЪЪ

2Ь

Рис 5.4.

Равновесие

модели дуополии Стэкльберга

сравнении с равновесием

модели дуополии Курно

176

Зная, что фирма-последователь будет выбирать уровень выпус-

ка, соответствующий одной из точек на ее линии реакции R

фирма-лидер отдает предпочтение такой точке (комбинации уров-

ней выпуска конкурентов), которая обеспечит ей максимально воз-

можную прибыль. Имеется в виду точка касания изопрофиты П* и

линии реакции R

(q\) (см. рис. 5.4). При введенных нами предпо-

сылках (5.7)—(5.9) только одна изопрофита фирмы-лидера будет

иметь точку касания с линией реакции фирмы-последователя, а

значит, равновесие в модели дуополии Стэкльберга можно опреде-

лить однозначно.

Равновесные уровни выпуска дуополистов Стэкльберга можно

получить в результате решения системы уравнений (5.43), (5.46):

Я'г=^:

(5-47)

я1=^т-.

(5-48)

Достаточное условие максимизации прибылей дуополистов

Стэкльберга показывает, что частные производные второго порядка

функций прибыли отрицательны:

п,

dqf

= - + Ь<0; (5.49)

д П

-^ =

-2Ъ <

0. (5.50)

Значит, равновесные объемы выпуска q

представленные

на рис. 5.4 точкой С,, обеспечивают максимум прибыли как для

лидера, так и для последователя при принятых условиях их страте-

гического взаимодействия. Заметим, что линия реакции R

)

представляет наилучший для фирмы-лидера ответ на действия по-

следователя.

Решение модели Стэкльберга можно найти, используя другой

алгоритм. Подставив функцию зависимости qi от q\ из уравнения

(5.43) в функцию прибыли фирмы-лидера (5.13), получим

П^ЧЧ

*^?!-

(5.51)

177

Таким образом, лидер решает задачу максимизации прибыли на

безусловной экстремум, где в процессе принятия решений он осоз-

нает, что отраслевой выпуск составит q

+д

(Я\), т.е. учитывает ре-

акцию последователя.

Необходимое условие экстремума:

Ш,

а-с

= -*9i+—=—= 0 (5.52)

позволяет однозначно определить наилучшее решение фирмы-

лидера

. Подставив найденный уровень выпуска первой фирмы в

уравнение реакции (5.43) фирмы-последователя, получим равновес-

ный уровень выпуска второй фирмы. Учитывая, что линия реакции

представляет наилучший ответ на действия конкурента, равновес-

ный уровень выпуска фирмы-последователя обеспечит ей максимум

прибыли при заданных условиях взаимодействия.

Равновесные уровни выпуска дуополистов Стэкльберга обеспе-

чивают удовлетворение рыночного спроса в объеме

^А*

* * З(а-с)

4Ь

при равновесной цене

/=^-

(5.54)

При этом в соответствии с предпосылками рассматриваемой

модели лидер получает прибыль в размере

П,=^1,

(3.55)

$ь

что в два раза превышает уровень прибыли последователя

=^1 (5.56)

166

5.2.4. Борьба за лидерство

Модель, отражающая борьбу дуополистов за лидерство, является

логическим развитием модели Стэкльберга. Разумно предположить,

Достаточное условие экстремума

подтверждает принятие

наилучшего решения.

178

что оба дуополиста могут вести себя как лидеры. Это означает, что

в процессе принятия решений каждый

из

них считает себя лиде-

ром, а конкурента

—

последователем.

Аналитическая версия модели предполагает,

что

дуополисты

максимизируют свою прибыль при условии, что конкуренты реаги-

руют на действия друг друга

соответствии со своими линиями ре-

акции Курно (см. (5.17), (5.18)).

В рассматриваемой нами модели при предпосылках (5.7)—(5.9)

значения предполагаемых вариаций будут одинаковыми:

-1,.*2.

-1,

(5.57)

2 dq

а необходимое условие максимизации прибылей дуополистов (вида

(5.11)—(5.14)) примет вид

/ЗГТ

-!-

= a--bq

-bq

-c =

(5.58)

/ЗГТ

= a-bq

{

--bq

-c =

(5.59)

Уравнения (5.58)

(5.59) задают линии реакции дуополистов

)

{

)

случае их борьбы за лидерство

могут быть запи-

саны в виде:

3?2

д1

2{а-с)

ЪЪ

2{а-с)

ЪЪ

=-±

+-1 £.

(5.61)

Равновесие на рынке определяется

результате решения систе-

мы уравнений (5.60), (5.61):

2(а

с)

Ях

=Я2=

•

(5.62)

5Ь

Рассмотренные случаи равновесия

моделях количественной

дуополии (кроме модели Чемберлина) представлены на рис. 5.5.

Уравнение (5.58)

точности совпадает

уравнением (5.45) для фирмы-лидера

в модели дуополии Стэкльберга. Уравнение (5.59) можно получить по аналогии

в случае лидерства второй фирмы.

179