Грачева М.В. и др. Моделирование экономических процессов

Подождите немного. Документ загружается.

Это ограничение определяет вид кривой предельных издержек

(рис.

5.10): она параллельна оси абсцисс при объемах выпуска, не

превышающих q

, и параллельна оси ординат при объеме выпуска

на уровне q

Рис.

5.10.

Модель дуополии Эджуорта при

q^ =

—

Развивая идею ценовой олигополии Бертрана, Эджуорт показал,

что введение ограничений на величину производственной мощно-

сти приводит к изменению стратегического поведения фирм на

рынке. В процессе анализа существенно использовались две пред-

посылки. Первая уже была введена в модели Бертрана: в модели

дуополии предполагается, что при равенстве назначаемых конку-

рентами цен каждый дуополист будет обеспечивать половину ры-

ночного спроса при данной цене. Вторая предпосылка касается

структуры процесса принятия решений, если один из субъектов

рынка не захочет придерживаться установленной на рынке цены.

Предположим, что один из дуополистов решает повысить цену

на свою продукцию. В модели Эджуорта такое решение возможно,

поскольку его конкурент не сможет увеличить свою производствен-

ную мощность. Значит, часть покупателей будет вынуждена поку-

пать продукцию по более высокой цене, формируя остаточный

спрос. Вторая предпосылка утверждает: если один из дуополистов

работает на полную мощность по установившейся на рынке цене,

но рыночный спрос полностью не удовлетворен, то второй дуопо-

лист будет максимизировать свою прибыль, действуя как монопо-

лист в отношении остаточного спроса.

190

Рассмотрим механизм стратегического взаимодействия дуополи-

стов Эджуорта при предпосылках (5.7)—(5.9). Пусть условно

мо-

мент времени

1 второй дуополист продолжает работать на пол-

ную мощность при цене, равной предельным издержкам:

P2i=c; 421=^. (5.95)

Первый дуополист решает повысить цену

на

свою продукцию

выбирает уровень цены исходя из функции остаточного спроса:

^ы=еы-^=(|-}р)-^

(5.96)

Таким образом,

момент времени

t =

1 функция остаточного

спроса на продукцию первого дуополиста примет вид:

qn=£

2b~~'b

Pu9

(597)

что позволяет определить функцию совокупного дохода

Ш^(^~Ъ.

Чп

Яхи

(5.98)

для которой из условия (5.97) получена обратная функция остаточ-

ного спроса:

Ри ='

-*-9ii- (5.99)

Функция прибыли первого дуополиста

Ъ\Х=~Яхх-Ъч1х-с

Чхх

(5.100)

и необходимое условие экстремума

^IiL

e=£_24,

»0 (5.101)

позволяют установить оптимальный объем выпуска

Чп=

=Г<Чк (5.Ю2)

и уровень цены

Р\\=

£±

5Л03

191

обеспечивающие максимум прибыли первого дуополиста

. При а > с,

когда решение модели имеет смысл, уровень цены, установленный

первым дуополистом, превысит уровень предельных и средних из-

держек (р

>с). При этом фирма получит положительную при-

быль в размере

=^. (5.104)

Первый дуополист, поставляя на рынок в два раза меньше про-

дукции, чем его конкурент, выигрывает в конкурентной борьбе за

счет того, что первым изменил стратегию своего поведения (см.

рис.

5.10).

Отраслевой выпуск в условный момент времени t

—

1 составит

ei=?n+?2i=-^^ (5.105)

что соответствует уровню рыночного спроса при цене р

. Это оз-

начает, что второй дуополист мог бы установить ту же цену и обес-

печить себе прибыль, вдвое превышающую прибыль, полученную

конкурентом. Однако, такая ситуация невозможна, ибо противоре-

чит первой предпосылке модели. При выборе одного и того же

уровня цены дуополисты должны обеспечивать рыночный спрос в

равных долях и получать одинаковую прибыль. Покажем, что такое

равновесие не будет устойчивым при цене р

х х

Дело в том, что у второго дуополиста есть гораздо более выгод-

ный вариант стратегического решения. Пусть условно в момент

времени t— 2 второй дуополист повышает цену до уровня

где £

—

бесконечно малая величина (^ > 0).

В таком случае он, по-прежнему работая на полную мощ-

ность и выпуская в два раза больше продукции, чем его конку-

рент, действительно сможет обеспечить себе положительную

прибыль:

Достаточное условие экстремума

(л

гт

Фи

подтверждает, что при-

нято наилучшее решение.

192

«-^<^г]

5107>

которая фактически (при £ -» О) почти в два раза превысит уровень

прибыли (5.104) первого дуополиста.

Очевидно, что стратегия поочередного уменьшения цены или

ценовая война в поисках преимущества первого хода характерна

для модели дуополии Эджуорта. Возникает вопрос: До какого уров-

ня выгодно снижать цену?

Например, в условный момент времени t = 3 первый дуополист

поставит перед собой цель выбрать такой уровень цены р

хъ

, кото-

рый при полной загрузке производственных мощностей фирмы

должен обеспечить ей положительную прибыль не менее достигну-

того уровня (5.104). Неравенство

определяет предел понижения цены:

Р|3

>^2£. (5.109)

Если ценовая война снизит цену первого дуополиста до пре-

дельного уровня, когда он обеспечит себе прибыль в размере

(5.104),

то второй дуополист в условный момент времени t = 4 ока-

жется перед выбором.

Во-первых, он может максимизировать свою прибыль по функ-

ции остаточного спроса. В этом случае он попадет в ситуацию, ана-

логичную той, в которой находился его конкурент в условный мо-

мент времени t= 1. Таким образом, дуополисты обеспечат себе

равную прибыль, однако производственные мощности второго бу-

дут загружены только наполовину.

Во-вторых, он может продолжить ценовую войну, назначив цену

P24=

l£

(5.110)

В этом случае, работая на полную мощность, он сможет обеспечить

себе прибыль в размере

П,

<£=£>1-/^\

(5.111)

что ниже возможного уровня (5.104). При этом первый дуополист

не потеряет даже часть своей прибыли, если примет решение мак-

симизировать прибыль по функции остаточного спроса.

193

В-третьих, второй дуополист может принять цену, установлен-

ную конкурентом. В этом случае каждый дуополист будет обеспе-

чивать половину рыночного спроса:

014=0.24=—^7—> (5.112)

получая равную прибыль в размере

=П

7(а

С)

, (5.113)

14 24

ть

что также соответствует понижению достигнутого уровня прибыли.

Очевидно, что первая стратегия принятия решений является

наиболее выгодной для второго дуополиста. Однако она предпола-

гает повышение цены до уровня (5ДОЗ) со всеми вытекающими от-

сюда последствиями. Ценовая война начинается вновь. Равновесие

в модели Эджуорта при принятых предпосылках не достигается.

В силу введенных предпосылок об однородности выпускаемой

продукции и о равных условиях по издержкам производства опти-

мальные ценовые стратегии фирм также будут одинаковыми:

я±3с

И Р]

<Я±1£

;

Pi=

пои

>°bc

(5Л14)

Pj-c, при pj >—-—,

т.е.

дуополист максимизирует прибыль по функции остаточного

спроса, если цена конкурента не превышает предел понижения це-

ны,

и включается в ценовую войну, если цена конкурента установ-

лена выше предельного значения.

Для случая, когда мощности дуополистов ограничены полови-

ной рыночного спроса при цене, равной предельным издержкам,

ценовая война будет оптимальной стратегией, если цены, выбирае-

мые дуополистами, будут колебаться в пределах интервала:

а±1

£;

а±3

(5Л15)

Возникает вопрос: Каким образом ограничение производствен-

ной мощности дуополистов может повлиять на размах колебания

рыночной цены в процессе ценовой войны в модели Эджуорта?

Предположим, что производственные мощности дуополистов в

каждый момент времени ограничены на уровне х единиц продукции

Пусть в условный момент времени / = 1 второй дуополист работает на

При цене, равной предельным издержкам, или выше предельных издержек, ко-

и -^

гда р = а-ох>с, параметр

не может превышать ——.

194

полную мощность при цене, равной предельным издержкам:

Рг\=

\ Я2\=

- (5.116)

В соответствии с оптимальной ценовой стратегией первый дуопо-

лист максимизирует свою прибыль по функции остаточного спроса

(p)

= Q(p)-x. (5.117)

Уже описанный алгоритм принятия решений позволяет определить

оптимальный объем выпуска

а-с х

Ч\\=^^~-

(5.118)

411

2Ь 2

и уровень цены

Ри=^-~Ьх,

(5.119)

обеспечивающие максимум прибыли первого дуополиста в размере

(fl

-fa)2

(

АЬ

Обратим внимание на то, что мощности будут загружены не в пол-

ной мере только при х

-^—^. Но на данном этапе анализа нас интере-

сует предел снижения цены, который можно определить из неравенства

(а-с-Ьх)

АЬ

В результате решения получаем интервал колебания цен:

(5.122)

(a-c-bx)"

c-bx)

~г С, ~~

АЪх

Размах колебания рыночной цены в процессе ценовой войны дуо-

полистов Эджуорта определяется разностью между верхней и ниж-

ней границами интервала колебания цен и может быть представлен

в виде функции от параметра х:

А =

(а-с-Ьх)-\+-^ . (5.123)

\4 АЪх

Первый дуополист всегда будет производить q

>0 единиц продукции при це-

а-с

не

р,

| >

с,

если параметр х будет строго меньше величины —г—.

195

Размах колебания рыночной цены равен нулю только в двух

случаях.

Во-первых, при х

, когда, максимизируя прибыль по

функции остаточного спроса, конкурент не сможет выбрать цену

выше уровня предельных и средних издержек. Это фактически оз-

начает, что ограничение на производственные мощности в модели

отсутствует и дуополисты Эджуорта превращаются в дуополистов

Бертрана. Равновесие в модели наступает, когда каждый дуополист

устанавливает цену на уровне предельных и средних издержек, не

обеспечивая себе положительную прибыль.

Во-вторых, размах колебания рыночной цены равен нулю при

а-с

ЪЬ

Это означает, что при повышении цены до уровня

р =

Я±2£ (5.124)

каждый дуополист будет работать на полную мощность, обеспечи-

вая половину рыночного спроса (при данной цене) и получая оди-

наковую с конкурентом положительную прибыль в размере:

П, =П

= ^~

. (5.125)

1 2

9Ь

Понижение или повышение цены неминуемо приведет к

уменьшению прибыли, а следовательно, убыточно для дуополистов.

Таким образом, парадокс Бертрана удалось решить, поскольку при

У—£-

в модели Эджуорта достигается равновесие. При этом рав-

ЪЪ

новесная цена превышает предельные и средние издержки, а дуо-

полисты обеспечивают себе положительную прибыль.

Функцию (5.123) можно записать в другом виде:

= (a-c)-J-

/ / ч2Л

(а-сУ

ЪЬх + -

Ьх

(5.126)

)

Это позволяет выявить зависимость размаха колебания рыночной

цены от ограничения на производственную мощность на интервале

изменения параметра х:

где размах колебания рыночной цены существует (А > 0).

196

Функция f(x)

= —

' (а-с)

3bx + -

принимает наименьшее зна-

(<*-с) „ а-с

чение при условии

ЗЬх =

, когда х- z., Таким образом,

Ъх

ъ4ъ

при JCG

а-с. а-с

ЪЪ • bS

размах колебания рыночной цены увеличи-

вается и достигает своего максимума при 'дг

-^Ц=-.'

При

а-с. а-с \

азмах

колебания рыночной цены уменьшается, а

его границы по мере сужения интервала принимают значения,

близкие к уровню средних и предельных издержек дуополистов.

Именно при х -> £z£ модель Эджуорта постепенно превращается

в модель Бертрана.

Мы выяснили, что ценовая война имеет место в модели Эджу-

орта только при ограничении на производственные мощности дуо-

полистов на уровне q

= x, который изменяется в пределах

ЪЪ

При х = •£-=£. в модели достигается равновесие по Бертрану,

когда цена устанавливается на уровне средних и предельных издержек,

а прибыль конкурирующих на рынке фирм равна нулю. При х

—

ЗЬ

в модели Эджуорта также достигается равновесие, но при этом цена

превышает средние и предельные издержки, а конкуренты получа-

ют положительную прибыль.

Проанализирована ситуация, когда в процессе решения эконо-

мико-математической модели размах колебания рыночной цены

существует (А> 0) или равен нулю (А= 0). Возникает вопрос: Ка-

ким будет решение модели, если ограничение на производственные

мощности фирм не будет отвечать условию (5.127)? Очевидно, что

в таком случае нельзя полностью использовать предложенный ра-

нее алгоритм решения. Нужно разобраться, что скрыто за отрица-

тельным значением размаха колебания рыночной цены (А

0) при

оставшихся пока без внимания уровнях ограничений на производ-

ственные мощности фирм.

197

Пожалуй, проще ответить на поставленный вопрос, когда огра-

ничение на производственные мощности фирм превышает конку-

рентный уровень выпуска при цене, равной средним и предельным

издержкам, т.е. при х

. В этом случае ограничение на произ-

водственные мощности фирм фактически отсутствует. Если одна из

фирм решит назначить цену выше уровня средних и предельных

издержек, то для нее не останется ниши на рынке. Весь спрос будет

удовлетворен фирмой-конкурентом. Угроза банкротства серьезнее,

чем возможность кратковременного выигрыша, повлияет на приня-

тие стратегических решений фирм. Ценовая война бессмысленна.

Формальное решение задачи на остаточном спросе по предложен-

ному выше алгоритму также не имеет смысла. Оно приведет к от-

рицательному значению для объема выпуска фирмы, решившей на-

значить более высокую цену. Фактически такая ситуация эквива-

лентна ситуации в модели Бертрана, когда ограничение на произ-

водственные мощности фирм отсутствует. Это означает, что при

х>

модель Эджуорта превращается в модель Бертрана и на

рынке дуополии достигается статическое равновесие по Бертрану.

Теперь рассмотрим ситуацию, когда ограничение на производ-

ственные мощности фирм колеблется в интервале

<2Lz£. (5.128)

ЪЪ

Пусть в условный момент времени t = 1 второй дуополист работает

на полную мощность при цене, равной предельным издержкам, т.е.

выполняются условия (5.116).

В соответствии с оптимальной ценовой стратегией первый дуо-

полист выбирает уровень цены исходя из функции остаточного

спроса (5.117). Описанный ранее алгоритм принятия решений фор-

мально предлагает в качестве оптимального объем выпуска (5.118),

который превышает уровень располагаемых фирмой производст-

венных мощностей:

чи

2Ъ 2 ЪЪ

Это означает, что точка локального экстремума не принадлежит от-

резку

—

области изменения переменной модели:

ЯиФ.х).

(5.129)

Таким образом, максимум прибыли первого дуополиста в размере

П] 1

{а

с)

х -

2Ьх

(5.130)

198

достигается на одном из концов отрезка, когда фирма работает на

полную мощность при цене

Р\\—

—

2Ьх.

(5.131)

Если возможна ценовая война, то предел снижения цены мож-

но определить из неравенства

(р

с)

х>

(а

с)

х -

2Ьх

(5.132)

При этом получается, что цену понижать невыгодно, поскольку

Р2> а — 2Ьх =

р\\. (5.133)

Условия (5.131), (5.133) показывают, что при оптимальных

стратегиях поведения обе фирмы назначат одинаковую цену на

уровне р = а

—

2Ьх,

будут работать на полную мощность и получать

максимально возможную при данных условиях положительную

прибыль Щ =

П2

= (а

—

с) х

—

2Ьх

Ценовая война не имеет смыс-

ла. В модели Эджуорта достигается равновесие.

Таким образом, предпосылки об однородности производимой

продукции

и о неограниченности производственных мощностей

дуополистов по существу оказались в основе парадокса Бертрана.

5.2.7. Лидерство по цене

Проблема асимметричной конкуренции в условиях ценовой

олигополии может быть решена в рамках модели ценового лидерст-

ва. Стратегическое взаимодействие фирм по принципу «лидер-

последователь» в случае, когда эндогенной переменной является

цена, а не объем выпускаемой продукции, вполне можно проиллю-

стрировать на примере дуополии

Если фирма принимает решение об уровне цены и именно эта

цена устанавливается на рынке при молчаливом согласии конку-

рента, то фирма считается лидером по цене. Последователь прини-

мает цену лидера как данную и при таком условии решает задачу

максимизации своей прибыли.

Пусть для определенности в модели ценовой дуополии первая фир-

ма является лидером по цене, а вторая

—

последователем. При введен-

ных предпосылках (5.7)—(5.9) решение модели для лидера и последова-

теля принципиально не изменится, если фирмы поменяются ролями.

Напомним, что в случае дифференцированных продуктов равновесие в модели

Бертрана достигается, когда цены превышают предельные и средние издержки.

Модель ценового лидерства, которая больше известна, как модель домини-

рующей фирмы, предполагает наличие в отрасли значительного числа фирм не-

большого размера, которые образуют конкурентное окружение и принимают це-

ну доминирующей фирмы как данную. Однако в целях сравнительного анализа

моделей на первом этапе исследования можно считать, что у доминирующей

фирмы есть только один последователь.

199