Грачева М.В. и др. Моделирование экономических процессов

Подождите немного. Документ загружается.

Логика модели предполагает, что фирма-лидер знает функцию

рыночного спроса Q{p) (5.68),

главное — может предсказать уро-

вень выпуска последователя при каждом уровне цены. Проверим,

как работает указанная предпосылка при условии, что функция из-

держек последователя линейна

имеет вид (5.8).

Чтобы сделать прогноз поведения последователя, лидер должен

определить уровень выпуска конкурента, максимизирующий

его

прибыль при каждом заданном значении цены. Пусть лидер решил

установить цену на уровне

— индекс фирмы-лидера). Тогда

последователь

при

наших предпосылках будет максимизировать

функцию прибыли вида

=(p

-c)q

(5.134)

где

—

индекс фирмы-последователя.

Необходимое условие экстремума

= PL

(5.135)

определяет требование

уровню цены:

=c,

(5.136)

которое соответствует условию равновесия

на

рынке совершенной

конкуренции (р

МС). Ситуация вполне объяснима, поскольку

фирма-последователь оказалась

положении конкурентной фирмы.

Различие лишь

том, что для конкурентной фирмы рынок форми-

рует уровень цены,

для фирмы-последователя цену устанавливает

фирма-лидер.

Очевидно, что при предпосылках (5.7)—(5.9)

модели возни-

кают следующие проблемы. Во-первых, фирма-лидер не может вы-

брать уровень цены

на

основе решения задачи максимиза-

ции прибыли конкурента. В большинстве случаев это просто нело-

гично. Кроме того, цена, установленная

на

уровне средних

пре-

дельных издержек,

не

может обеспечить положительную прибыль

как для фирмы-последователя,

так и

для фирмы-лидера. Значит,

такое стратегическое поведение неоптимально.

Во-вторых, фирма-лидер не может предсказать уровень выпуска

последователя, поскольку

данной ситуации

ему не

известна

функция предложения последователя. Таким образом, не выполня-

ется одна

из

основных предпосылок модели ценового лидерства

без дополнительной информации модель работать не будет.

Введем дополнительные предпосылки. Пусть существует огра-

ничение на производственную мощность фирмы-последователя, т.е.

200

О < q

<x. (5.137)

Пусть также при любом заданном уровне цены фирма-последо-

ватель будет работать на полную мощность.

Таким образом, функция предложения фирмы-последователя

имеет вид:

(p)

x. (5.138)

Она параллельна оси ординат (рис. 5.11) и определяет q

=x при любом

значении цены, выбранном лидером. Очевидно, что в модели ценового

лидерства х должно быть меньше уровня выпуска конкурентной отрасли

Qc=-

поскольку лидер устанавливает цену выше средних и пре-

дельных издержек и для него должна существовать ниша на рынке.

а-Ъх

=MC

Q\4i

Рис.

5.11.

Модель ценового лидерства

Заметим, что работа на полную мощность будет обеспечивать

фирме-последователю максимальную положительную прибыль при

любом уровне цены, установленном выше предельных и средних

издержек, поскольку при p

> с

-c>0

(5.139)

201

и функция прибыли (5.134) монотонно возрастает при увеличении

объема выпуска q

в пределах заданного ограничения на произ-

водственную мощность (5.137).

Вновь введенные предпосылки позволяют выписать функцию

остаточного спроса для фирмы-лидера:

(P)

= Q(P)-x = (f-x)-lp- (5.140)

Фирма-лидер принимает решение как монополист, ориентируясь на

свою функцию остаточного спроса (ситуацию принятия решений в

модели

см. на рис. 5.11).

Исходя из обратной функции остаточного спроса

a-bx-bq

(5.141)

функция прибыли фирмы-лидера имеет вид:

=(a~bx-c)q

-bq

. (5.142)

Необходимое условие экстремума

a-bx-c-

2bq

0 (5.143)

определяет оптимальный уровень выпуска фирмы-лидера

Чь

~^~

(5-144)

АО

и уровень его цены

^а-Ъх

(5Л45)

Достаточное условие экстремума

±-

-2Ь<0 (5.146)

dq\

показывает, что фирма-лидер обеспечивает себе максимальную по-

ложительную прибыль в размере

(a-b

-cf

Функцию остаточного спроса R

(p) можно получить путем параллельного

сдвига функции рыночного спроса D вдоль оси абсцисс на величину, равную

объему производственной мощности х фирмы-последователя.

202

а также положительную прибыль для своего конкурента на уровне

П/в

.(£2*р)х_

(5Л48)

Ясно,

что лидерство по цене логически оправдано только в том

случае, когда фирма-л ид ер может получить прибыль больше, чем

конкурент. При предпосылках (5.7)—(5.9) это возможно лишь при

. При этом фирма-лидер обеспечивает большую долю ры-

ЪЪ

ночного спроса (q

х), где рыночной спрос составляет

Q(PL ) =

ЯЬ+Я/

(5.149)

и удовлетворяется полностью при установленной на рынке цене.

Заметим, что в отличие от стандартной модели доминирующей

фирмы с конкурентным окружением при введенных нами предпо-

сылках фирма-последователь принимает цену фирмы-лидера как

данную, однако уровень этой цены будет всегда превышать средние

и предельные издержки обоих дуополистов, тогда как любая фирма

конкурентного окружения в стандартной модели Форхаймера будет

получать положительную прибыль при цене, равной ее предельным

издержкам (p

=MC

Если стратегическое поведение фирмы-лидера обеспечивает по-

ложительную прибыль для ее конкурентов, то говорят, что на рын-

ке существует «ценовой зонтик».

5.2.8. Картельное соглашение

Один из примеров кооперированной олигополии — сговор

между фирмами-конкурентами. Картель

—-

это объединение оли-

гополистов, вступающих в сговор с целью совместного принятия

решения относительно уровня рыночной цены и объемов выпус-

каемой продукции. Образующие картель фирмы ведут себя на

рынке как единый монополист, максимизируя совокупную при-

быль отрасли.

Рассмотрим картель, максимизирующий прибыль при предпо-

сылках (5.7)—(5.9). Задача максимизации прибыли для двух фирм

заключается в выборе таких уровней выпуска продукции q

{

и д

которые бы максимизировали совокупную прибыль отрасли П, где

{a-bq

-bq

){q

)-cq

-cq

(5.150)

Необходимое условие экстремума имеет вид:

203

дП

[dq

-a-

2bq

- 2bq

- с = 0;

= a - 2bq

- 2bq

- с = 0.

(5.151)

Оно определяет систему двух одинаковых уравнений с двумя неиз-

вестными (q

и q

), которая имеет бесконечно много решений.

Любая комбинация объемов выпуска фирм

которая обес-

печивает рыночный спрос в размере

•<1\+Я2

а-с

2Ъ '

(5.152)

удовлетворяет системе уравнений (5.151).

Множество решений системы изображено на рис. 5.12 в виде

отрезка прямой АВ.

qi*

а-с

2Ь

а-с

~~4Ь~

л\

•

Изопрофиты

фирмы 2

^NpV

III [\в\

-1—!-•

• ^

Изопрофиты

фирмы I

V \ > w

0 £л£ 3(а-с) а-с_

АЬ

Я\

Sb 2b

Рис. 5.12.

Модель картельного соглашения

Таким образом, необходимое условие экстремума задает лишь

совокупный объем производства картеля. Достаточное условие экс-

тремума с учетом вида функции (5.150) и знака вторых частных

производных

dq\

1а

dq\

= -2А<0;

= -2£<0

(5.153)

204

указывает на то, что будет обеспечен максимально возможный уро-

вень совокупной прибыли отрасли в размере

=^-f (5.154)

при монопольной цене

£±£. (5.155)

Распределение рыночных долей с точки зрения максимизации

совокупной прибыли отрасли значения не имеет. Однако существует

проблема согласования решений между членами картеля. Поскольку

в нашей модели фирмы идентичны по издержкам производства, ло-

гично предположить, что их рыночные доли будут одинаковыми, т.е.

?1=4

=^ (5Л56)

При этом члены картеля получат одинаковую прибыль в размере

=^t-.

(5.157)

В принципе переговоры относительно распределения рыночных

долей могут быть проведены на множестве комбинаций объемов

выпуска фирм, расположенных на линии АВ. В случае максимиза-

ции совокупной прибыли отрасли предельная прибыль от произ-

водства дополнительной единицы продукции будет одинаковая (вне

зависимости от того, кто из членов картеля произведет эту допол-

нительную единицу). Это означает, что контрактная линия АВ

представляет собой геометрическое место точек касания изопрофит

картелированных фирм (см. рис. 5.12).

Основная проблема любого картельного соглашения — соблазн

обмануть конкурента, т.е. нарушить соглашение и увеличить собст-

венную прибыль.

Пусть в нашей модели вторая фирма честно соблюдает согла-

шение, в то время как первая фирма решила его нарушить

. Для

аналитической версии модели это означает, что первая фирма будет

максимизировать свою прибыль (5.13) при нулевой предполагаемой

вариации

tefe.ol

и фактически будет выбирать уровень своего

выпуска в соответствии с линией реакции Курно (5.17).

При предпосылках (5.7)—(5.9) ситуация будет аналогична, если фирмы поме-

няются ролями.

205

Ориентируясь на уровень выпуска конкурента (5.156), соответ-

ствующий заключенному картельному соглашению, первая фирма

выберет на линии реакции точку N, увеличив уровень своего вы-

пуска до

*=3^.

(5.158)

Нарушение картельного соглашения (передвижение из точки К

в точку N) должно обеспечить первой фирме более высокий размер

прибыли в связи с переходом на изопрофиту, расположенную бли-

же к оси 0#, (см. рис. 5.12).

Действительно, даже при понижении рыночной цены до уровня

—g— (5.159)

увеличение объема выпуска первой фирмы обеспечивает ей при-

быль в размере

9(a-cf_

64Й

что превышает равновесный уровень прибыли картелированной

фирмы (5.157). В то же время, вторая фирма, честно соблюдавшая

соглашение, окажется в проигрыше, уменьшив размер своей при-

были до уровня

= *£!£>!.. (5.161)

326

Таким образом, в нашей модели после нарушения картельного

соглашения фирма-нарушитель получит прибыль в полтора раза

большую, чем ее конкурент, и можно с уверенностью сказать, что

картель неустойчив.

5.3.

Модели олигополии

5.3.1.

Модель олигополии Курно

Стратегическое взаимодействие фирм в условиях олигополии

Курно можно проиллюстрировать, если обобщить аналитическую

версию дуополии Курно для случая п фирм в отрасли.

Пусть п фирм предлагают на рынке однородную продукцию в

объемах qi,q

,—>q

предпосылках (5.7)—(5.9), где рыночный

спрос Q складывается из объемов предложения всех фирм в от-

расли, т.е.

206

е=1?у

5Л62

7=1

Каждый олигополист решает задачу на максимум прибыли

n,=TR,-TC,=

*-ft(E«y)

qi-cq

(5.163)

при нулевых предполагаемых вариациях. Тогда необходимое усло-

вие экстремума примет вид:

дП

—^

a-bCZqj)-b

-c

(5.164)

Оно задает функцию реакции /-го олигополиста. Совокупность

функций реакции образует систему из п уравнений с п неизвестны-

ми,

в результате решения которой можно найти равновесные уровни

выпуска олигополистов по аналогии со случаем дуополии Курно.

Однако можно поступить проще. Ведь при введенных предпо-

сылках фирмы работают в одинаковых условиях, а значит, в усло-

виях равновесия предлагают на рынок равные объемы производства

q. Условия равновесия определяются прежде всего необходимым

условием экстремума, поэтому можно просто подставить перемен-

ную q в уравнение (5.164) вместо каждой переменной q

(или q

}

—

в зависимости от формы записи объема выпуска олигополиста). Ус-

ловие (5.164) примет вид:

b(nq) + bq =

a-c, (5.164')

откуда легко определить равновесный уровень выпуска олигополи-

ста Курно:

<7 =

тр^-. (5.165)

При этом олигополисты Курно обеспечивают рыночный спрос

в объеме

0=1^

Нт

(5Л66)

'я

+ 1

при равновесной цене

р =

и=±

(5.167)

п +

что позволяет каждому из них получить максимальную прибыль в

размере

207

i^-. (5.168)

b(n +

Анализ параметров рыночного равновесия в модели олигополии

Курно показывает, что решение задачи для п фирм в отрасли обоб-

щает отдельные случаи рыночного равновесия. Так, при п = 1 одна

фирма контролирует рынок, получая монопольную прибыль (5.24)

при монопольной цене (5.23).

При п = 2 параметры равновесия соответствуют случаю дуопо-

лии Курно [см. (5.19), (5.25)—(5.27)]. Очевидно, что с увеличением

числа фирм на рынке отраслевой спрос удовлетворяется все в

большем объеме при более низкой цене. При этом снижается уро-

вень производства каждого отдельного олигополиста. Вместе с по-

нижением цены это приводит к уменьшению объема получаемой

прибыли.

В результате при значительном увеличении числа фирм на рын-

ке (при п

—> оо

) цена фактически опускается до уровня средних и

предельных издержек (р -> с), а уровень выпуска отдельной фирмы

становится очень маленьким по сравнению с размерами рынка.

Рынок олигополии Курно по всем параметрам превращается в ры-

нок совершенной конкуренции, где фирмы не могут обеспечить се-

бе положительную прибыль (П -> 0).

Если не вводить предпосылки (5.8), (5.9) относительно издер-

жек производства, то решение модели Курно в общем виде может

быть затруднено. Важно то, что алгоритм решения останется преж-

ним. Будут изменяться характеристики рыночного равновесия, но

основные свойства сохранятся. Объемы выпуска олигополистов

Курно будут в большинстве случаев различны, но цена останется

выше предельных и средних издержек, и фирмы смогут обеспечить

себе положительную прибыль.

Частные случаи решения модели будут по-прежнему охватывать

возможные варианты рыночного равновесия от монополии до со-

вершенной конкуренции. Экономический анализ моделей олигопо-

лии Курно при отказе от жестких, предпосылок относительно из-

держек производства лучше проводить на конкретных примерах, не

углубляясь в тонкости математического анализа. Такие примеры

включены в вопросы и задания в конце главы 5.

Однако следует сделать существенную оговорку. Алгоритм по-

иска рыночного равновесия в модели олигополии Курно включает

поиск решения системы из п уравнений с п неизвестными, которая

в большинстве случаев не будет линейной. Система уравнений да-

леко не всегда имеет решение. С другой стороны, она может иметь

более одного решения.

208

Таким образом, возникает проблема существования и единст-

венности равновесного состояния на рынке олигополии. Эта про-

блема в той или иной степени затрагивает все модели олигополии

по мере их усложнения. Кроме того, с усложнением моделей воз-

растают трудности поиска равновесного решения. Все эти вопросы

связаны с оценкой возможности применения математических мето-

дов в данной области экономических исследований.

5.3.2. Модель олигополии Бертрана

Обобщение модели дуополии Бертрана для случая п фирм в от-

расли фактически не изменяет основные характеристики равнове-

сия на рынке. Логика процесса принятия решений при предпосыл-

ках (5.7)—(5.9) остается прежней.

Таким образом, ценовая война будет продолжаться до тех пор,

пока цена не снизится до уровня предельных и средних издержек.

Олигополисты независимо друг от друга вынуждены будут устано-

вить одну и ту же цену (р = с), обеспечивая рыночный спрос на

уровне предложения на рынке совершенной конкуренции. Олиго-

полисты Бертрана по-прежнему не смогут получить положительную

прибыль и, следуя предпосылкам модели, в условиях равновесия

разделят рынок между собой. Доля предложения каждой фирмы на

рынке составит п-ю часть рыночного спроса:

<7 =

~- (5.169)

Очевидно, что при одинаковом количестве фирм на рынке

олигополист Бертрана в условиях равновесия предлагает на рынок

больше продукции, чем олигополист Курно (достаточно сравнить

(5.165) и (5.169)), а рыночный спрос удовлетворяется в большем

объеме при более низкой цене.

С увеличением числа фирм на рынке изменяется только один

параметр рыночного равновесия: уменьшается доля предложения

каждой отдельной фирмы. В результате при значительном увеличе-

нии числа фирм на рынке (при п -»оо ) уровень выпуска отдельной

фирмы становится слишком мал по сравнению с размерами рынка.

В этом крайнем случае рынок олигополии Бертрана, как и рынок

олигополии Курно, трансформируется в рынок совершенной кон-

куренции.

Возникает вопрос: Как изменится стратегическое взаимодействие

фирм в условиях олигополии Бертрана, если отказаться от предпосы-

лок (5.8), (5.9) относительно симметричных издержек производства

конкурентов? Чтобы ответить на этот вопрос, сначала вернемся к

анализу модели дуополии Бертрана и лишь незначительно изменим

предпосылки модели.

209