Грачева М.В. и др. Моделирование экономических процессов
Подождите немного. Документ загружается.
где р =
а
а
+
Г
При а
~>
О
ПФ ПЭЗР преобразуется в производственную функ-
цию Кобба-Дугласа (ПФКД). При -1 < а
<
0 задача глобальной мак-
симизации:
-1
а
0
(а
х
х
х
~
а
+
а
2
х
2
а
)
a
-» max,
р
х
х
х
+р
2
х
2
-V
эквивалентна задаче глобальной максимизации
а
х
х
х
~
а
+
а
2
х
2
а
—>
max,
p
l
x
x
+p
2
x
2
=V.
Все выкладки, проведенные для случая а>0, сохраняют си-
лу. Критическая точка (х
15
х
2
Д) функции Лагранжа, взятая без
координаты X, т.е. точка
(x
l9
x
2
),
есть точка условного глобаль-
ного максимума целевой функции f(x
l
,x
2
)
=
a
0
(a
l
x
l
~
a
+
a
2
x
2
a
)~
qla
при наличии ограничения
р
х
х
х
+
р
2
х
2
-V, что подтверждается с
помощью наглядной геометрической интерпретации в случаях
а>0,
а = 0 и -1<а<0 (рис. 4.14—4.16). При а<-1 полученные
формулы для х
х
и х
2
использовать нельзя, как показывает на-
глядная геометрическая интерпретация в случаях а = -1 и а<-1
(рис.
4.17 и 4.18).
р
х
Х\
+ р
2
х
2
-
V
р
х
х
х
+ р
2
х
2
= V
а = 0 (ПФКД)
Рис.
4.14
Рис.
4.15
140
/ P\X\+p
2
x
2
=V
Рис. 4.16
Р\Х\+р
2
х
2
=V
а) х
2
А
б)
Р\Х\+Р2*2 =V
Рис. 4.18
141
Задача глобальной минимизации
(а >
-1,
а
Ф
О,
q
>
0)
Р\Х\ +
Р2*2
~>
m
i
n
»
а
0
(а
{
х;
а
+а
2
Х2
а
)
а
= у .
эквивалентна задаче глобальной минимизации:
/>1*1 + Р2
Х
2
"^ И^
11
»
ajXj
a
+ а
2
х
2
а
=
У
Для задачи минимизации выписываем функцию Дагранжа
Цхх,х
29
ц) =
/>i*i +Р2*2
+ Ц
f
а
л
\
л
\
ЛгуЛ")
и условия первого порядка
для
функции Дагранжа:
лт
лг
—
= А -
\ш
х
(-a)xf
a_1
=0; — = ft -
Н^г
(-a)x
2
a_l
= 0;
их;,
дх
0
9JLI
^1
Л
1
**2
2
UoJ
0.
Имеем:
р
{
_
luajOXj
а
* р
х
_а
х
x
2
+l
х
2
+{
_
/7^2
ft
iia
2
ax
2
а-1
ft
Я
2
X,
,а+1
га+1
=>
Х
7
=
Рг
а
\
Р\
а
2
Рг<*\)
а+1
Подставив выражение
для
х
2
в
ограничение, будем иметь:
0
=
~а
х
х
х
a
-a
2
Р£2_
КРг
а
\)
а+1
X,
0
=
—
UoJ
А
"*1*1
.-«2
a+l
*!
142
—
\
a
o
J
(
a
x
+ a
2
\
P\U2
a+l
\X
X
*\
(1)
\
a
o)
(УУ
Uo
(P\a
2
)
a+l
=>
#1 +#2
/^2
^2^1 У
a+l
#1 +#2
A«2
a+1
*lGV*2)
a+1
+*2(/>2*l)
a+1
'*1
y_
(/^2)
a+l
{a
0
)
(P\a
2
)
a
a~+T
a a a a a a 1 a 1 a
7
a+l „a+l
_L
^_^a+l „a+l ^a+l^a+1
f
n
a+\
„a+l . ^a+1 „a+l
N
n
^a+1 „a+l i
n
^a+l „a+l ^a+l^a+1 f^a+1 „a+l . ^a+1 „a+l \
a
\
a
2 P\ ^^2
a
\ Pi
a
\
a
2 У
а
\ P\ +
a
2 Pi )
K
a
o
a+l
1
=>
^.a+1 „a+l i л a+l „a+l
a
\ P\
+a
l ?2
X
X
\
a
0
J
Pl \ a+l
( J_ _a_ J_ a
^a+1 „a+l i^a+l „a+l
"1 P\ ^~
a
2 P2
Для х
2
имеем:
x
2
P\^l
P2<*\)
_L — —
a+l
w
_
p*
+l
a%
+l
*l-
J_ J_
/?
2
а+
Ц
а+1
l
y_
q p
x
a+l
l_
a+l
( J_ _a_ _J_ _a_
^a+l „a+l i
n
a+\
n
a+l
"l A +"2 "2
т.е.
Pi
a+l
^,a+l „a+l 4. /ya+l „a
"l А
т а
2 Р2
a+l
l l
f г. Л7 ^ ~ Л
C = C(p
x
,p
2
,y) = РЛ +
Р2Х2
=P\
Px
\
U
\J
a+l
Г J_ _a_
^a+l^a+l +
143
1 а
+ a
2
a+1
/?
2
a+i
}a
+ Pi
f ~ \
2_
\
a
o
J
—
4
Pi
V
w
2
a+1
( 1
1 a
^a+1
n
a+l 4_ ^a+1
n
a+
u
\ P\ ^
a
l Pi
—
\
a
o
J
1
( 1
V
a
+
I a
SJOL+1
n
a+l t/yOi+l
n
a+l
a
\ P\
+
"2 Pi
P\
\P\)
a+1
f \
+ Pl
К Pi
J
a+1
f
~
Л
Г 1
1 a Л~
+1
1 a
la
a
a+l^a+l + aa+l^a+1
Таким образом,
C
=
C(p
l9
p
2
,y)
( 1
a+1
^a+l^a+1 + д
a+1
pa
1 a
a+1
При a ->
О
ПФ ПЭЗР преобразуется в ПФКД.
Критическая точка (х
1?
х
2
,Д) функции Лагранжа, взятая без коор-
динаты Д, т.е. точка (х
{9
х
2
) есть точка условного глобального мини-
мума целевой функции р
{
х
{
+
р
2
х
2
=
С при наличии ограничения:
y
=
a
0
(a
l
x
l
a
+a
2
x
2
a
)
a
,
что подтверждается с помощью наглядной геометрической интер-
претации в случаях а>0, а =
О
и -1<а<0 (рис. 4.19—4.21).
*2 А
...•>"
Р\х
х
+р
2
х
2
=С
144
Ox, x, Ox, x.
Рис.
4.20 Рис. 4.21
При а = -1 и а
<
-1 полученные формулы для Xj и х
2
использовать
нельзя. Ситуация здесь аналогична ситуации, которая имела место для за-
дачи глобальной максимизации функции f(x
x
,x
2
)
=
<3
0
(a,xf
a
+
a
2
x
2
a
)~
hla
при наличии ограничения
р
х
х
х
+
р
2
х
2
=
V.
Вопросы и задания
1.
Сформулируйте определения исходных понятий теории оптими-
зации производства.
2.
Сформулируйте основную цель функционирования фирмы.
3.
В чем состоит принципиальное отличие (в содержательных и в
формальных терминах) в постановке задачи максимизации при-
были фирмы для случаев долговременного и краткосрочного
временных промежутков?
4.
Сформулируйте определение изокосты. Дайте экономическую ин-
терпретацию следующему геометрическому факту: фиксированная
точка (vj, v
2
) (vj > 0, v
2
> 0) принадлежит прямой, имеющей урав-
нение
р\Х\
+
р
х
х
2
= С
0
.
5.
Пусть два набора (v
b
v
2
) и (w\, w
2
) затрачиваемых (используе-
мых) ресурсов таковы, что для набора (v
b
v
2
) издержки произ-
водства меньше, чем для набора (w
b
w
2
). Как расположены отно-
сительно друг друга изокосты, соответствующие наборам (v
b
v
2
),
Oi,
w
2
)? Является ли обязательным одновременное выполнение
двух неравенств w
{
> v
b
w
2
>v
2
?
6. Опишите взаимное расположение изокосты и изокванты, прохо-
дящих через точку (xi°,x
2
) локального рыночного равновесия
фирмы (случай долговременного промежутка). Дайте обоснование
их взаимному расположению.
7.
Опишите взаимное расположение изокосты и изокванты, прохо-
дящих через точку локального рыночного равновесия фирмы
(случай краткосрочного промежутка).
145
8. Чему равна (предельная технологическая) норма замены одного
ресурса (для определенности, первого) другим (для определенно-
сти,
вторым) в точке локального рыночного равновесия в случае
долговременного промежутка?
9. Что такое
функция спроса фирмы на
ресурсы!
10.
Что такое
функция предложения выпуска со стороны
фирмы!
11.
Что собой представляет первая версия задачи максимизации при-
были фирмы?
12.
Что собой представляет вторая версия задачи максимизации при-
были фирмы?
13.
Сформулируйте задачу максимизации объема выпускаемой про-
дукции при лимите на приобретение ресурсов (факторов) на ана-
литическом языке и на геометрическом языке (в случаях долго-
временного и краткосрочного промежутков).
14.
Опишите аналитическое (для случая долговременного промежут-
ка) и геометрическое (для случаев долговременного и краткосроч-
ного промежутков) решение задачи вопроса 13.
15.
Сформулируйте задачу минимизации издержек производства при
фиксированном объеме выпускаемой фирмой продукции на ана-
литическом языке и на геометрическом языке (для случаев долго-
временного и краткосрочного промежутков).
16.
Опишите аналитическое (для случая долговременного промежут-
ка) и геометрическое (для случаев долговременного и краткосроч-
ного промежутков) решение задачи вопроса 15.
17.
Опишите взаимосвязь между задачами вопросов 13 и 15 (в случае
долговременного промежутка).
18.
Как определяется долговременная линия развития фирмы?
19.
Как определяется краткосрочная линия развития фирмы?
*J Модели и задачи теории
®\ отраслевых рынков
Экономическая теория отраслевых рынков
—
сравнительно молодая
область экономической науки, которая сформировалась в 30-е и 40-е гг.
XX века, опираясь на традиции Гарвардской, Чикагской и Австрий-
ской научных школ. Она известна в зарубежной литературе под дву-
мя близкими по смыслу названиями: «Industrial Economics» и «Indus-
trial Organization». Как правило, термины «Industrial Economics» и
«Industrial Organization» считаются синонимами, которые характери-
зуют рассматриваемую область экономической теории: первый —
преимущественно в Европе, а второй
—
преимущественно в США.
Вопросы теории и экономики отраслевых рынков являются не-
отъемлемой частью подготовки студентов-экономистов в странах с
рыночной экономикой. В России это направление начало разраба-
тываться лишь в середине 90-х годов XX века. В это же время были
подготовлены первые программы для преподавания курсов по эко-
номической теории отраслевых рынков.
Новая для России учебная дисциплина имеет дело прежде всего
с проблемами рыночной экономики, хотя сравнительный анализ
может затрагивать как централизованно планируемую, так и сме-
шанную экономики. Объектом анализа являются отраслевые рын-
ки,
а в качестве предмета анализа большинство специалистов назы-
вают процессы их функционирования.
Современная теория отраслевых рынков (New Industrial Organization)
строится на базе сочетания двух подходов к анализу отраслей и рынков:
классического подхода на основе парадигмы «Структура — Поведе-
ние
—
Результат» и микроэкономического подхода. В данной главе рас-
сматривается одна из ключевых тем, разрабатьшаемых в экономической
теории отраслевых рынков в рамках микроэкономического подхода. Эта
тема касается вопросов стратегического взаимодействия и поведения
фирм в процессе принятия стратегических решений.
5.1.
Методологические вопросы
моделирования стратегического
взаимодействия фирм на рынке
5.1.1.
Вводные замечания
Стратегическое взаимодействие характерно не для всех типов
рыночных структур и непосредственно связано с понятием несовер-
147
шенной конкуренции на рынке. К случаям несовершенной конку-
ренции относятся рыночные структуры, которые нельзя считать пол-
ностью конкурентными и которые в то же время не контролируются
продавцом-монополистом. Несовершенная конкуренция возникает
тогда, когда на рынке конкурируют фирмы, две или более, каждая из
которых имеет возможность влиять на цену.
Известны две формы несовершенной конкуренции: мо-
нополистическая конкуренция и олигополия.
Монополистическая конкуренция предполагает, что значитель-
ное число фирм, каждая из которых удовлетворяет относительно
небольшую долю рыночного спроса, конкурирует на рынке диф-
ференцированного товара со свободным входом и выходом. Оли-
гополия, напротив, отличается небольшим числом фирм, кото-
рые доминируют на рынке, где вход и выход могут быть затруд-
нены.
Следует заметить, что монополистическую конкуренцию иногда
рассматривают как особую форму олигополии
1
, а олигополист мо-
жет предлагать на рынке как однородный, так и дифференцирован-
ный продукт.
Олигополия
— это тип строения рынка, на котором действует ог-
раниченное число фирм, осознающих свою взаимозависимость.
Олигополия является преобладающей формой рыночной структуры
многих отраслей экономики, поэтому существует много примеров
стратегического взаимодействия в условиях олигополии. Создано
немало моделей олигополии, цель которых
—
исследовать процессы
принятия стратегических решений и, по возможности, предсказать
результаты взаимодействия фирм на рынке.
Модели олигополии последовательно развивают идеи классиче-
ской теории олигопольного ценообразования, выдвинутые А. Курно
в 1838 г. и Ж. Бертраном в 1883 г. Нет единой модели олигополии:
модели олигополии могут иметь различную структуру, но существу-
ет несколько предпосылок, общих для всех моделей олигополии.
Выделим две главные предпосылки. Во-первых, возмож-
ность прямо или опосредованно воздействовать на цену предпола-
гает убывающую кривую спроса на продукцию олигополии. Во-
вторых, ценообразование на рынках олигополии предполагает
взаимозависимость фирм-производителей (и одновременно про-
давцов) товара при принятии решений относительно их поведения
на рынке.
Вторая предпосылка определяет наличие стратегического пове-
дения или стратегического взаимодействия фирм на рынке. Это оз-
1
См., например: Вэриан Х.Р. Микроэкономика: промежуточный уровень, совре-
менный подход: Пер. с англ. — М.: ЮНИТИ, 1997.
148
начает, что поставщик товара имеет возможность предвидеть и учи-
тывать в принятии решений поведение своих конкурентов.
Выбор каждого олигополиста зависит от поведения его сопер-
ников. Поэтому кривая спроса на продукцию отдельного олигопо-
листа в момент принятия стратегических решений, как правило,
неизвестна. Ключевое значение имеют предположения олигополи-
ста относительно реакции конкурентов на действия друг друга.
Известны модели некооперированной и кооперированной оли-
гополии. В условиях некооперированной олигополии конкурирую-
щие на рынке фирмы принимают решения независимо друг от дру-
га. В этом случае субъекты рынка не смогут принять решение, не
оценив возможную реакцию соперников. В условиях коопериро-
ванной олигополии субъекты рынка вступают в сговор (тайный или
открытый). В этом случае оценка возможной линии поведения со-
перников имеет принципиально другое значение.
Модели олигополии также отличаются в зависимости от структуры
эндогенных и экзогенных переменных. Если олигополисты принима-
ют решение об объеме выпуска продукции, то модель представляет ко-
личественную
олигополию.
Если олигополисты принимают решение о
цене на продукцию, то модель рассматривает
ценовую
олигополию.
Модели олигополии, следуя предпосылке рационального пове-
дения субъектов рынка, как правило, анализируют взаимодействие
фирм, максимизирующих прибыль. Условия максимизации прибы-
ли для количественной и ценовой олигополии различны.
Пусть на рынке олигополии конкурируют п фирм с объемами
производства q
[9
#2>-
>
q
n
- Отраслевой спрос известен и задан функ-
п
цией Р = P(Q), где Q = £#,. Прибыль каждого олигополиста на
/=1
рынке количественной олигополии будет зависеть от структуры
предложения всех участников рынка:
Tl
i
=U
i
(q
u
q
b
...,q
n
).
(5.1)
Условие максимизации прибыли предполагает выполнение равенства:
Д1
У
=
Д1,.
|
-(дП, ддЛ
dq
t
dq.
t M
{dqj dq
f
=
0.
(5.2)
Таким образом, при решении задачи на максимум прибыли каж-
дый /-й олигополист должен учитывать значения коэффициентов
—- (при i*j). Эти коэффициенты показывают, как изменяется
dq>
выпуск каждого из конкурентов при изменении выпуска /-го олиго-
полиста на единицу, и получили название
предполагаемых
вариаций.
149