Грачева М.В. и др. Моделирование экономических процессов

Подождите немного. Документ загружается.

Y' K

Здесь

—, Ь =—-» //

— — непрерывные темпы прироста

выпуска, капитала и труда.

Таким образом, ПФКД в объемных показателях соответствует

линейная зависимость темпов прироста:

у,

= a k

+ Н '+

У-

Эта зависимость называется производственной функцией

Кобба—

Дугласа в

темповой

записи.

Если заменить дифференциалы dY

(главные линейные

части приращений) на сами приращения А У,, АК,

то получим

приближенную формулу:

= ak

+ р/, + у,

где у,, /;,, /,

—

дискретные темпы прироста.

Таким образом, и в дискретном случае функции Кобба—Дугласа в

объемных показателях соответствует линейная формула связи темпов

прироста у

и /,. Однако при ее анализе и оценивании надо иметь в

виду следующее. Формулы

= AK?Lft

и y

= ak

+ р/ , +

эквивалент-

ны при непрерывном рассмотрении времени. В то же время статисти-

ческие данные, по которым оцениваются ПФ, всегда дискретны;

обычно это погодовые данные. В этих условиях приведенные формулы

зависимостей для объемов и темпов прироста

—

это разные ПФ. Ино-

гда оценки параметров а, р и у, полученные для объемной ПФКД, пе-

реносят на темповую формулу, и наоборот. Так делать некорректно;

каждая из этих формул должна быть оценена в отдельности. Даже если

они оценены по одним и тем же статистическим данным (т.е. по объ-

емам и темпам, соответствующим друг другу), результаты такой оцен-

ки могут быть совершенно различными. Одна из формул, например,

может не дать статистически значимой оценки, в то время как по дру-

гой получается вполне приемлемый результат.

Из проделанных выкладок вытекает, что показатель у (свобод-

ный член ПФКД в темповой записи) — темп нейтрального техно-

логического прогресса. Это та часть темпа прироста выпуска, кото-

рая не связана с приростом затрат капитала и труда, а отражает ин-

тенсификацию производства на макроуровне.

Пусть, например, оценена следующая формула ПФ в темповой записи:

= 0,3-А;, + 0,6 •/, + 1,5.

Пусть при этом средний темп прироста затрат труда /, составил 1%,

средний темп прироста используемого капитала k

—

6%, а средний

100

темп прироста выпуска у, = 3,9%. Вклад в эти цифры экстенсивных

факторов — прироста затрат капитала и труда — составил соответ-

ственно, %: 0,3

•

6 = 1,8 и 0,6

•

1 = 0,6. Вклад интенсивных факто-

ров (технологического прогресса) составляет 1,5 процентных пунк-

та, или -Ы-100% *

38,5%.

3,9

3.5.

Эластичность замены факторов.

Производственная функция CES

Обобщение производственной функции Кобба—Дугласа (ПФКД)

может осуществляться в различных направлениях. Наиболее известным

обобщением является производственная функция CES, или ПЭЗ —

функция с постоянной эластичностью замены

{constant elasticity

substitution)

одного ресурса другим. Эластичность замены с

—

это мера

«кривизны» изоквант (линий уровня) ПФ. Точнее, «кривизну» из-

меряет

величина —.

=dln

®,

din

k j

Эластичность замены труда капиталом

показывает, на сколько процентов изме-

нится капиталовооруженность труда

при изменении предель-

dK__Y[

MRSKL

на 1%.

ной нормы замены труда капиталом

iTAiWiVb

V &

Если изобразить одну из изоквант (линий уровня, т.е. Y

const) ПФ

на плоскости KL (рис. 3.12), обозначив ее 7, то предельная норма за-

мены в точке А

—-

это тангенс угла наклона этой изокванты (т.е. tga).

Рис.

3.12

101

При перемещении из точки А в точку В по изокванте наклон ка-

сательной меняется, меняется и соотношение — . Это соотношение

постоянно вдоль каждой прямой, проходящей через начало коорди-

нат (например, прямых 2 и 3). Величина — показывает относитель-

ное изменение тангенса угла наклона линии уровня в расчете на

единицу изменения отношения — .Очевидно, чем сильнее меняет-

ся наклон линии уровня при переходе, скажем из точки А в точку В

(с прямой 2 на прямую J), тем больше «кривизна» линии уровня.

На рис. 3.13 изображены линии уровня функций: а — линей-

ной ПФ Y

+ bL +

б — ПФКД; #

—

ПФ с бесконечной эла-

стичностью замены Y

= min(aK

bL)

(функции Леонтьева); г

—

ПФ

CES (функции с постоянной эластичностью замены).

К +

102

Линейная ПФ имеет нулевую «кривизну» и, соответственно,

бесконечную эластичность замены а. Функция Кобба—Дугласа

имеет эластичность замены, равную единице. Функция Леонтьева

имеет нулевую эластичность замены: ресурсы в ней должны ис-

пользоваться в заданной пропорции и не могут заменять друг дру-

га. В реальной экономике степень взаимозаменяемости ресурсов

может быть различной, соответственно различной (а не только ну-

левой, бесконечной или единичной) может быть и эластичность

замены. Это ставит задачу оценки более общих формул ПФ; в ча-

стности ПФ с постоянной, но произвольной эластичностью заме-

ны.

Такая функция (функция CES) описывается формулой:

7= А

•

(иК-о+(1 - и) 1г

)-"/

Здесь р >

—1;

п > 0

—

степень однородности; А > 0; 0 < и

Эластичность замены одного ресурса другим для такой функции

равна . Если р -

—1,

то получаем функцию с линейными изо-

1 +

квантами (в частности, линейную), при р->0 в пределе получаем

ПФКД с а = 1, при р-*оо

—

ПФ Леонтьева.

В качестве примера оценки ПФ CES приведем полученные раз-

ными авторами результаты для экономики CGCP. Такие оценки де-

лались за различные периоды времени в 1950—1985 гг.

Э.Б. Ершовым, Ю.В. Яременко и А.С. Смышляевым, М. Вейтцма-

ном, А.Г. Гранбергом, Н.Б. Баркаловым и др. Исходные специфика-

ции различаются предпосылками о степени однородности п (в боль-

шинстве случаев изначально считалось, что п = 1, но были и оценки с

произвольным п) и наличием множителя e

, характеризующего ней-

тральный технологический прогресс (такой множитель может добав-

ляться не только к ПФКД, но и CES или какой-либо другой функции).

Например, А.Г. Гранберг приводит следующие оценки за 1960—1985 гг.:

Г= 1,002

•

(0,6412

•

#-°>

+0,3588

•

£-o,8i)-i/o,8i

;

# = 0,9984; DW = 1,58

(линейно-однородная функция CES без учета технологического

прогресса);

Y= 0,966

•

(0,4074

•

+ 0,5926

•

Х-з,оз

)

-1/з,оз

о,0252/

)

= 0,9982, DW = 1,76

(линейно-однородная функция CES с учетом технологического

прогресса).

С точки зрения статистик R

и DW, обе зависимости получи-

лись значимыми. В то же время оценки показателя эластичности

103

замены а

в них различны: в первом случае

—

0,55, во втором

—

1 +

0,25.

Другими авторами получены оценки эластичности замены а

для экономики СССР, эти значения также меньше единицы: 0,2

(Ю.В.

Яременко и др.); 0,4 (М. Вейтцман); 0,37—0,43 в разные пе-

риоды (Н.Б. Баркалов). В целом можно сказать, что оценка эла-

стичности замены сильно зависит от конкретной спецификации, но

в большинстве случаев она составляла около 0,4. Во всяком случае,

она заведомо была для экономики СССР меньше единицы, что го-

ворит о невысокой степени взаимозаменяемости труда и капитала.

Эта взаимозаменяемость была гораздо ниже, чем это предполагает-

ся в функции Кобба—Дугласа, в которой эластичность замены ап-

риори считается равной единице. Ошибочность исходной гипотезы

о степени взаимозаменяемости факторов может служить причиной

недостаточной статистической значимости оценок ПФКД.

Вопросы и задания

В чем суть закона убывающей эффективности?

Что в статической производственной функции не зависит от

времени /, а что может зависеть от времени / ?

Как определяется (средняя) производительность труда и капита-

ловооруженность (фондовооруженность) труда? Какие возмож-

ны варианты взаимосвязи между ними в случае производствен-

ной функции Кобба—Дугласа?

Назовите основные свойства, которыми должна обладать произ-

водственная функция. Приведите примеры производственных

функций, которые отдельными свойствами не обладают. Приве-

дите примеры производственных функций, которые обладают

всеми основными свойствами.

Что такое изокванта? В чем ее экономический смысл?

6. Как определяется (средняя) производительность капитала (ка-

питалоотдача)?

Как определяется (предельная) производительность капитала и

(предельная) производительность труда?

8. Какая связь существует между средней и предельной произво-

дительностью капитала (труда) в общем случае и в случае про-

изводственной функции Кобба—Дугласа?

9. Сформулируйте определение (частной) эластичности выпуска

по /-му ресурсу (/-му фактору производства) (/ = 1, 2) и опреде-

ление эластичности производства.

10.

Дайте содержательную интерпретацию (частной) эластичности

выпуска по /-му ресурсу.

104

11.

Сформулируйте определение (предельной) нормы замены одно-

го ресурса другим. Дайте содержательную интерпретацию этому

понятию.

12.

Как меняется (предельная) норма замены одного ресурса дру-

гим при движении по изокванте? Дайте содержательную интер-

претацию характеру изменения предельной нормы замены.

13.

Дайте определение и поясните смысл производственной функ-

ции в темповой записи.

14.

Как связаны производственная функция Кобба—Дугласа в объем-

ной и темповой записях?

15.

Как описывается технический прогресс в производственной

функции в объемной и темповой записи? Как оценить долю

вклада интенсивных факторов в темпы экономического роста?

16.

Дайте определение и графическую интерпретацию эластичности

замены факторов.

17.

Поясните смысл производственной функции CES. Каковы ее

свойства и основные характеристики?

JI Задачи оптимизации

^| производства

4.1.

Основные понятия

Доходом (выручкой)

R фирмы в определенном временном периоде

(например, в определенном году) называется произведение

роу

обще-

го объема у выпускаемой фирмой продукции на (рыночную) цену р

этой продукции. Часто используется даухфакторная производствен-

ная функция y

f(x

{

где х\ и х

—

объемы затрачиваемых (ис-

пользуемых) фирмой ресурсов (факторов производства); р\ и р

—

рыночные цены на эти ресурсы (факторы производства). Обычно

= К — количество используемого капитала; х

= L

—

количество

затрачиваемого фирмой труда.

Издержками

С фирмы называют общие выплаты фирмы в опре-

деленном временном периоде за все виды затрат С =

р\Х\

Прибылью

PR фирмы в определенном временном периоде назы-

вается разность между полученным фирмой доходом Л и ее издерж-

ками производства

PR = Д- С,

или

PR(x,, х

)

Pof(x

) ~ (р\х

Последнее равенство есть выражение прибыли фирмы в терминах

затрачиваемых (используемых) ресурсов. Производственная функ-

ция у =/(х

, х

) фирмы, которая выражает общий объем у выпускае-

мой фирмой продукции через объемы х\ и х

затрачиваемых (исполь-

зуемых) ресурсов, удовлетворяет определенным условиям (см. главу 3),

в частности, функция / (х\, х

) имеет непрерывные первые и вторые

частные производные по переменным х\ и х

В теории фирмы принято считать, что, если фирма функциони-

рует в условиях чистой (совершенной) конкуренции, на рыночные

цены р

, р\ и р

она влиять не может. Фирма «соглашается» с цена-

ми ро,'р\ и р

. В случае функционирования фирмы в условиях чис-

той монополии, монополистической конкуренции и олигополии

это не так.

106

Основная цель фирмы заключается в максимизации прибыли

путем рационального распределения затрачиваемых (используе-

мых) ресурсов. Формально задача максимизации прибыли в опре-

деленном временном периоде имеет вид: PR -> max. Такая по-

становка задачи максимизации зависит от того, какой конкретно

временной промежуток (долговременный или краткосрочный)

отделяет период, в котором фирма принимает решение о макси-

мизации своей прибыли, от периода, в котором фирма максими-

зирует свою прибыль.

В случае долговременного промежутка фирма может свободно

выбирать любой вектор х = (Х{, х

) затрат из пространства затрат

(формально из неотрицательного ортанта х\ > О, х

^ 0 плоскости

0x1*2),

поэтому задача максимизации прибыли в случае долговре-

менного промежутка

)

имеет вид задачи глобальной максимиза-

ции прибыли фирмы

РоЛхь *г) ~ (Pi

i +

Р2*2)

= PR (*ь

г) -» max

при условии, что

xj > 0, х

£ 0

(постановка задачи в терминах затрачиваемых (используемых) ре-

сурсов).

В случае краткосрочного промежутка

)

фирма должна учитывать

неизбежные лимиты на объемы затрачиваемых (используемых) ею ре-

сурсов, которые формально могут быть записаны в виде нелинейного,

вообще говоря, неравенства

g(X

)<b

(ограничений вида g (х\, х

) < b может быть несколько). Следова-

тельно, задача максимизации прибыли для

краткосрочного

проме-

жутка имеет вид задачи глобальной максимизации

Pof(x\,

2) "~ (Р\

\ + /№) = PR(*b

l) -> max

при условии, что

g(x

)<b,

х\

0, х

> 0

(постановка задачи в терминах затрачиваемых (используемых) ре-

сурсов).

Линия уровня функции С = р\Х\ + /?

издержек называется

изокостой

(рис. 4.1).

107

Рис.

4.1

В связи с тем, что по экономическому смыслу х\

О, х

^ 0 (ибо

х\

и х

— это объемы затрачиваемых (используемых) ресурсов),

строго говоря, изокоста есть отрезок прямой, попадающий в неот-

рицательный ортант плоскости Ох\х

. Таким образом, изокосты —

это отрезки А\В\,

... (см. рис. 4.1). Отрезки А\В

парал-

лельны. Отрезок

расположенный «северо-восточнее» отрезка

А\В\,

соответствует большим издержкам производства. Следова-

тельно, если на отрезке

издержки производства С равны вели-

чине С

, т.е. С = С

, а на отрезке А\В\ издержки производства С =

С\, то С\ < С

. Верно и обратное, т.е. если С\ < С

, то отрезок

соответствующий издержкам производства С

, расположен «северо-

восточнее» параллельного ему отрезка А\В\

соответствующего из-

держкам производства С\. Для отрезка А\В\ имеем следующее ана-

литическое представление:

Рг*ь

xi >

О,

Х2

> 0;

для отрезка A

=р

{

0,х

В случае, когда число п факторов производства больше двух

(п

2),

задача глобальной максимизации прибыли в случае долговре-

менного промежутка (/

) имеет вид

f(x

{

...,*„)-(#*, +...

х„)

PR(x,, ...,x

) -» max

при условии, что х

{

>0, ...,х„ >0, а в случае краткосрочного проме-

жутка (s

) имеет вид

Дх

...,*„)-(/?,*, +...

+ р„х„)

PR(*j,

...,х„) -^ max

108

при условии, что

...

)<b

...

)<b

{

>0,...,х

>0.

4.2.

Функции спроса на факторы (ресурсы)

в случае долговременного промежутка

В связи с тем, что, как

правило,

f(x\, 0) =/(0, xj)

0 (т.е. если хо-

тя бы один ресурс не затрачивается (не используется), то

объем

выпус-

каемой продукции равен нулю), экономически осмысленными являют-

ся векторы (jq,

X2)

затрат ресурсов, для которых х\

0, xi

0. Поэтому

в случае

долговременного

промежутка задача максимизации прибыли

представляет собой обычную задачу на

глобальный

абсолютный макси-

мум при

Х[ >

0 и х

0. Из математического анализа известно, что точ-

ки

локального

абсолютного максимума следует искать только среди кри-

тических точек (х\

Х2)

функции PR(jt,,x

), т.е. среди точек, которые

удовлетворяют условиям первого порядка, т.е. системе уравнений:

дРК(х

d?R(x

дх\

дх

или в развернутом виде (ибо прибыль

PR(xj,

) =

PoA*i>

)

—

- (p

+р

))

df(x

Po—^—PvPo—^—Pr

(4.1)

Отметим, что экономистов интересует не локальный,

гло-

бальный максимум прибыли. Если производственная функция

/О,,

)

(и следовательно, функция прибыли

PRO,,

))

выпукла

вверх при Х\ > 0 и

Х2 >

0, то локальный максимум обязательно

является глобальным. Отметим, что во многих случаях, которые

интересны для экономистов, производственные функции явля-

ются выпуклыми вверх. В частности, производственная функция

Кобба—Дугласа у =

х?

при

0<а,

ПФ ПЭЗР

= a

(a,jc,"

при а>0 являются выпуклыми вверх

функциями при х\ >

Х2 >

Выпуклость вверх функции VR(x

) (или функции f(x

))

при всех х\ > 0 и

Х2

> 0 эквивалентна выпуклости вниз функции

—

PR(x

) (или функции -f(x

)).

График выпуклой вверх производственной функции f(x

) есть

поверхность, выпуклая вверх при х\ > 0 и

Х2 >

0. Сказанное справед-

109