Грачева М.В. и др. Моделирование экономических процессов
Подождите немного. Документ загружается.
В МИПФ количества затрачиваемых (используемых) ресурсов и
объем выпускаемой продукции часто выражаются в натуральной
форме: капитал — в штуках оборудования; труд — в часах затрачи-
ваемого времени (возможно по различным видам трудовой деятель-
ности); энергия
—
в киловатт-часах; материалы, комплектующие
—
в
соответствующих единицах и т.п.
В ПФ крупных отраслей, регионов и национальной экономики
количества затрачиваемых ресурсов и объемы выпускаемой продук-
ции выражаются в стоимостной форме (как правило, в постоянных
ценах).
Выбор ресурсов и аналитической формы ПФ у
=
f(x
{9
..., х
п
) на-
зывается
спецификацией
ПФ.
Преобразование реальных и экспертных данных в модельную
информацию, т.е. расчет численных значений параметров а
и
...,а
т
ПФ у
=
f(x
l9
...,х„,а
и
...,а
т
) на базр статистических данных с. по-
мощью регрессионного анализа называется параметризацией ПФ
y
=
f(xi,...,x
n9
a
u
...
9
a
m
).
Проверка адекватности ПФ описываемой ею реальности назы-
вается
верификацией
ПФ.
Выбор аналитической формы ПФ у - f(x
u
...,x
n
,a
u
...,a
m
)
9
(т.е.
ее спецификация) диктуется прежде всего теоретическими сооб-
ражениями, которые должны явно (или косвенно) учитывать осо-
бенности взаимосвязей между объемами конкретных ресурсов и
выпускаемой продукции или экономических закономерностей,
особенности реальных и экспертных данных, преобразуемых в па-
раметры ПФ (т.е. особенности параметризации). На специфика-
цию и параметризацию в процессе совершенствования ПФ оказы-
вают влияние результаты верификации. Оценки параметров ПФ
обычно проводятся с помощью регрессионного анализа. Отметим,
что выбор более продвинутой в аналитическом отношении ПФ
обычно предъявляет повышенные требования к ее параметриза-
ции, которые могут быть по существу невыполнимыми. Это озна-
чает, что продвинутая в аналитическом отношении ПФ, парамет-
ры которой сформированы на базе не удовлетворяющих высоким
требованиям реальных и экспертных данных, может давать менее
точные результаты расчетов, чем более простая в аналитическом
отношении ПФ. Таким образом, в случае ПФ (как и вообще в
случае прикладных экономико-математических моделей) следует
говорить о ее комплексной адекватности, принимая во внимание
рациональное сочетание уровня аналитических построений и ка-
чества информационного обеспечения.
80
Производственная функция
у
=
f(x
x
,...,х
п
,а
х
,...,а
т
) называется
статической,
если
ее
параметры
а
х
,...,
а
т
и
сама
ее
характеристика
/
не зависят
от
времени, хотя объемы ресурсов
и
выпуска продукции
могут зависеть
от
времени
t, т.е.
могут иметь представление
в
виде
временных рядов х
/
(0),х
/
(1),...,л:
/
(Г),
!
у(0),
>
у(1Х..,Я^Х
г
=
1,...,«.
Здесь
/ =
0,1,...,
Т
— номер года;
/
= 0 — базовый
год
временного проме-
жутка, охватывающего годы
1,2,..., Т.
Производственная функция называется динамической, если,
во-первых, время
t
фигурирует
в
качестве самостоятельной
пе-
ременной величины
(как бы
самостоятельного ресурса — факто-
ра производства, влияющего
на
объем выпускаемой продукции);
во-вторых, параметры а
х
,...,а
т
и и ее
характеристика
/
зависят
от времени
t.
В статических
и
динамических
ПФ
время может быть
как
дис-
кретным,
так и
непрерывным.
В
прикладных
ПФ
время,
как
прави-
ло,
дискретное,
и
«атомом» времени
(т.е.
производственным перио-
дом) является один
год
(квартал, месяц
и
т.п.).
В
этом случае объе-
мы ресурсов x\(t\...,x
n
{t)
и
выпускаемой продукции
y(t), а
также
параметры #,(/),..., a
m
(t) «привязаны»
к
периоду времени
t. В
тео-
ретических
ПФ
время
/
может быть
как
дискретным,
так и
непре-
рывным. Производственные функции
с
дискретным временем более
адекватны реальности, однако
ПФ с
непрерывным временем более
удобны
для
проведения теоретических исследований.
Далее
в
основном будут рассматриваться двухфакторные
ПФ
y
=
f(x
{
,x
2
; а
и
...,а
т
). Во-первых,
при
исследовании двухфакторных
ПФ можно использовать наглядные геометрические соображения,
ибо пространство ресурсов таких
ПФ
является двумерным.
Во-
вторых, основные положения теории двухфакторных
ПФ по
анало-
гии переносятся
на
многофакторные
ПФ.
> Пример
3.1.
Производственная функция вида
у
=
а
0
х
а
\ явля-
ется однофакторной. Здесь
х .-+•
объем затрачиваемого (используе-
мого) ресурса;
y-f(x)
— объем выпускаемой продукции.
В
каче-
стве ресурса может фигурировать рабочее время,
в
качестве выпус-
каемой продукции
—
партия валенок. Величины
а
0
и а
х
—
пара-
метры рассматриваемой
ПФ.
Параметры
а
0
> 1
и
а
х
>
0
и
обычно
а
х
<
1.
Таким образом, здесь п =
1,
т
- 2.
Объемы
хну, а
также параметры
а
0
и а
х
«привязаны»
к не-
которому фиксированному производственному периоду, который
может равняться, например, одному году. Если производственный
81
период меняется, то объемы х и у, а также значения параметров
а
0
и а
х
могут измениться.
График Г производственной функции у
=
а
0
х
а
*
изображен на
рис.
3.1. Он показывает, что с ростом объема х затрачиваемого ре-
сурса растет объем у выпускаемой продукции, однако каждая до-
полнительная единица ресурса дает все меньший прирост объема у
выпускаемой продукции: f(x
{
+1)
- f(x
{
)
<
f(x
0
+1)
- f(x
0
), x
{
>x
0
.
Отмеченное обстоятельство (рост объема у и уменьшение прироста
объема у с ростом объема ресурса х) отражает важное положение
экономической теории, хорошо подтверждаемое практикой, назы-
ваемое
законом убывающей
эффективности.
У
Д*,+1)
Л*о+0
Д*о)
О
Х
0
Х
0
+
1
Х
Х
*! +
1
X
Рис. 3.1
> Пример 3*2. Производственная функция вида у
=
а
0
х^х
2
2
яв-
ляется двухфакторной. Она называется производственной функций
Кобба—Дугласа (ПФКД) по имени двух американских исследовате-
лей, которые предложили ее использовать в работе, опубликован-
ной в 1929 г. В приложениях и в теоретических исследованиях:
х
х
=К
— объем используемого основного производственного капи-
тала; х
2
=
L — затраты труда. G использованием символов К и L
рассматриваемая ПФ перепишется так: у =
а
0
К
а
*
I?
2
.
Параметры a
0
,a
i9
а
2
—
положительные величины; часто а
х
+а
2
<1.
Производственная функция Кобба—Дугласа принадлежит к классу
так называемых мультипликативных ПФ. Благодаря своей струк-
турной простоте ПФКД активно применялась и применяется для
решения разнообразных теоретических и прикладных задач.
82
Если
а
х
+
а
2
<1, то график ГПФКД представляет собой поверх-
ность, похожую на выпуклую вверх «горку», крутизна которой пада-
ет по мере того, как конфигурация {х
и
х
2
) ресурсов перемещается
на «северо-восток» по плоскости
0%
{
х
2
(рис. 3.2).
У АУ
=
а
0
х?х?
При х
2
=х
2
имеем у
=
оо(х
2
)
а2
х^. В этом случае вертикальная
плоскость х
2
=х
2
пересекает поверхность Г по линии G, которая в
плоскости х
2
=х
2
имеет уравнение у
=
а
0
(х
2
)
а2
х^
=
Ь
0
х^
(рис. 3.3).
Линия G аналогична линии Г на рис. 3.1. Поведение линии G на
рис.
3.3 отражает то обстоятельство, что при фиксированном объе-
ме х
2
второго ресурса с ростом затрат первого ресурса объем у
выпуска растет, но каждая дополнительная единица первого ресурса
обеспечивает все меньший прирост выпуска.
Отмеченное обстоятельство адекватно реальности в случае, на-
пример, если число работников х
2
(второй ресурс) и их квалифи-
кация остаются неизменными, а число станков (первый ресурс),
которые работники обслуживают, увеличивается, скажем, в два
раза, то объем выпускаемой продукции в этом случае вырастет ме-
нее,
чем в два раза.
> Пример 3.3. Линейная производственная функция (ЛПФ) име-
ет вид у = а
0
+
щх\
+
а
2
х
2
(двухфакторная) и у
=
а
0
+
а
х
х
х
+...
+
а
п
х
п
83
(многофакторная). Она принадлежит классу так называемых адди-
тивных ПФ. Переход от мультипликативной ПФ к аддитивной
осуществляется с помощью операции логарифмирования. Обратный
переход осуществляется с помощью операции потенцирования.
Для двухфакторной мультипликативной ПФ у = щх°
х
х
2
2
получа-
ем аддитивную ПФ в следующей форме:
1п>'
= 1па
0
+а
х
\ах\
+
а
2
\пх
2
.
Полагая lny
=
w,
Injci=v
1
, lnx
2
=v
2
, получим аддитивную ПФ
такого вида:
w =
lna
0
+
a
x
v\
+a
2
v
2
.
>
Пример
3.4. Производственная функция затраты—выпуск (ПФЗВ)
(производственная функция Леонтьева (ПФЛ)) имеет вид:
, (х\ х
2
\
у = тт\
•—,-=-
.
{а
{
а
2
)
> Пример 3.5. Производственная функция с постоянной эла-
стичностью замены ресурсов (ПФ ПЭЗР) (производственная функ-
ция CES, если использовать западную аббревиатуру) имеет вид:
Линия уровня х /
т
= {(XI,JC
2
)|T'=
f(x\
9
x
2
)
9
x
x
>
0,х
2
>0}производ-
ственной функции называется изоквантой, т.е. линией постоян-
ного выпуска х. Уравнение изокванты, содержащей конфигура-
цию ресурсов х° =(xi,x
2
У
строится так: сначала определяем объ-
ем выпуска х° -
f\xx,x
2
\
а затем выписываем само уравнение
изокванты х° = f(x
x
, x
2
J.
> Пример 3.6. Для ПФКД имеем уравнение изокванты:
х
0
=а
0
х^х
2
2
9
откуда следует равенство:
х
2
=
(* \
1/а2
х
щ1<Лг
графиком которого является гипербола /
То
с вертикальной асимпто-
той х
х
=
0
и горизонтальной асимптотой х
2
=
0
(рис. 3.4).
84
*2
Х
2
Х
2
О
х\ х
х
k
Рис.
3.4
При х
{
<
т
0
гипербола /
Т)
расположена «юго-западнее» гипер-
болы 1
Ч
, при т
2
> т
0
гипербола 1
Ь
расположены «северо-
восточнее» гиперболы /
То
. Изокванты, соответствующие различ-
ным объемам выпусков х
{
*
Т
2
, не касаются друг друга и не пе-
ресекаются.
Все сказанное справедливо для изоквант других ПФ, которые
отличны от ПФКД у
=
а
0
х°
1
х
2
2
. Множество всех изоквант называет-
ся картой изоквант. На конкретном рисунке можно изобразить
лишь фрагмент карты изоквант (на рис. 3.4 он похож на «совокуп-
ность кривых макарон»).
На изокванте /
Хо
(см. рис. 3.4) изображены две конфигурации
ресурсов: х
=
(х
и
х
2
) и х
=
(х
и
х
2
),
которые отличаются друг от дру-
га, но обеспечивают одинаковый выпуск т
0
продукции. Если рас-
сматриваемая ПФ описывает копание ямы, то число т
0
равно объ-
ему ямы, х
х
- количество капитала, х
2
- количество труда. В этом
случае конфигурация х = (3c
b
jc
2
) ресурсов показывает, что яму объ-
емом т
0
можно выкопать, затратив много труда и относительно ма-
ло капитала. Содержательно эта ситуация интерпретируется арте-
лью с лопатами (отметим, что лопата
—
дешевый капитал). Конфи-
гурация х
=
(х
х
, х
2
) ресурсов показывает, что яму объемом т
0
мож-
но выкопать, затратив много капитала и относительно мало труда.
Содержательно эта ситуация интерпретируется экскаватором, на
котором работает один экскаваторщик (отметим, что экскаватор —
это дорогой капитал).
85
Движение конфигурации х по изокванте 1
Ч
неограниченно
вправо — содержательно интерпретируется таким образом: объем
т
0
выпускаемой продукции может обеспечить один капитал фак-
тически без затрат труда, что не вполне адекватно реальности.
Аналогично интерпретируется ситуация с движением конфигура-
ции х по изокванте 1
Ч
неограниченно вверх. Таким образом,
ПФКД адекватна реальности в конечной части пространства ре-
сурсов 0x^2.
> Пример 3.7. Для ЛПФ имеем уравнение изокванты /
То
:
т
0
=a
0
+a\Xi +a
2
x
2
.
Следовательно, изокванта /
Т)
есть прямая (нисходящая, если а
х
> О
и
а
2
>
0), точнее отрезок этой прямой, расположенный в простран-
стве ресурсов, которое представляет собой неотрицательный ортант
плоскости 0х!Х
2
. На рис. 3.5 показан фрагмент карты изоквант
ЛПФ (отметим, что х
х
<
т
0
< т
2
).
х
2
Т
0
-Яо X! О
А
'
i
i
а
2
/ Х
2
=-—Xj
щ
/
i 1
*
1
т,
i I
9
Ч)
i" /
Р /
х.
L •
X,
Рис. 3.5 Рис. 3.6
Аналогичную карту изоквант имеет ПФ с линейными изокван-
тами (ПФЛИ), которая имеет вид:
у
=
(аъ+а
х
х
х
+а
2
х
2
)
и
,
где показатель степени h
>
0.
> Пример 3.8. Для ПФЗВ (ПФЛ) имеем уравнение изокванты /
х
:
т
0
=
mm
Х| Х2
а
х
' а
г
)
86
Следовательно, сама изокванта /
То
есть две стороны прямого уг-
ла, на рис. 3.6 показан фрагмент карты изоквант ПФЗВ (отметим,
что
т
{
<т
0
<т
2
).
> Пример 3.9. Для ПФ ПЭЗР имеем уравнение изокванты /
То
:
T
0
=a
0
.(a
l
x^+a
2
x-
2
«T
h/
\
При а >
0
и h
> О
изокванта /
То
представлена на рис. 3.7. Непо-
средственно проверяется, что асимптотами изокванты /
То
являются
ПрЯМЫе Х\ =
*I(T
0
)
И Х
2
=
Х
2
(Х
0
),
где
х\(ч)
=
а
\
а
а
0
*2<Jo) =
tf
2
a
Если конфигурация ресурсов х перемещается по изокванте /
То
неограниченно вверх (см. рис. 3.7), то содержательно это означает,
что для выпуска продукции в объеме т
0
при любом объеме х
2
второго ресурса необходим первый ресурс в объеме не меньшем,
чец х!(т
0
)>0. Аналогично интерпретируется ситуация, когда кон-
фигурация х ресурсов перемещается по изокванте /
То
неограни-
ченно вправо.
Из сказанного вытекает, что ПФ ПЭЗР более адекватна реаль-
ности по сравнению с ПФКД, ибо для обеспечения выпуска в объ-
еме т
0
всегда необходимы оба ресурса (капитал и труд), даже если
потребности в одном из них возрастают многократно.
При а = -1 изокванта 1
Ч
есть прямая (точнее отрезок прямой в
неотрицательном ортанте плоскости 0х
{
х
2
. Эта прямая /
Т)
имеет
уравнение:
т
0
=
а
0
{а
х
х
х
+а
2
х
2
) ,
т.е.
•а
х
Х\
+а
2
х
2
.
87
Фрагмент карты изоквант представлен на рис. 3.8.
*2
А
. , .
x
2i
Ох,(т,)х,(т
0
) х,(т
2
)
Х\
Рис. 3.7 Рис. 3.8
При -1
<
а
<
0 уравнение изокванты /
То
имеет вид:
To^aofaj*+a
2
$)
h
'* (p = -a).
Следовательно, сама изокванга /
Хо
есть линия, представленная на рис. 3.9,
на котором также изображены изокванты /
Tj
и /
v
(Xi <х
0
<т
2
).
При а
<
-1 уравнение изокванты /
То
имеет вид:
x
0
=a
0
(a
1
xf+a
2
x
2
p
)
/?/p
(p = -a).
Следовательно, сама изокванга /
То
есть
линия,
гфедставленная на
рис.
3.10,
на котором
также
изображены изокванты /
Ti
и /
Т2
(т!
< х
0
< х
2
).
(«.)
1/р
Рис. 3.10
88
Непосредственно
проверяется,
что
(
lim а
0
-(а
х
х
х
а
+а
2
х
2
а
)
h/a
= а
0
lim
х
х
а->0 а->0
а
х
+
а
2
x
l
J
-А/а
ЩХ
Х
(*)
а
0
х
х
(
Л
) П Y
k
K
J
QQX
X
lixri
а->0
a
x
+a
2
x
2.
чА/а
lim
a-»0
A lim-
ine
J
^L =
_fo^_
=
^xfC-f»)^
=a^^,
Afl,in'^-
P
" *2
V*2
т.е. получили ПФКД такую, что
ha
x
+
/za
2
=
/г.
Следовательно,
ПФКД есть асимптотически частный случай ПФ ПЭЗР при a -> 0.
Отметим, что переход (*) осуществляется лишь при а
х
+а
2
=\.
Символ (Л) означает, что применяется правило Лопиталя.
Если а
х
+ а
2
> 1,
lim
a-»0
а
х
+а
2
= +оо;
если а
х
+а
2
< 1,
lim
a->0
а
х
+а
2
а\
А/а
= 0.
Непосредственно проверяется, что
lim a
0
'(a
x
x
x
a
+a
2
x
2
a
y
h/a
а->-кх>
(х,<х
2
)
а
0
х
х
lim
а->-юо
а
х
+а
2
\А/а
-
<*Ъ
Х
\
»
х±_
х
г)
89