Готман Э.Г. Стереометрические задачи и методы их решения

Подождите немного. Документ загружается.

П р и м е р 2. В сферу радиуса R вписана правильная четырёхуголь-

ная пирамида. Плоский угол при вершине пирамиды равен . Найдите

площадь боковой поверхности пирамиды. При каком значении пло-

A B

Рис. 38

щадь боковой поверхности будет наибольшей?

Р е ш е н и е. Пусть NABCD — правильная

четырёхугольная пирамида, N H — её высота,

MN — диаметр описанной сферы (рис. 38).

Обозначив длину бокового ребра пирамиды

через b, имеем

бок

= 2b

sin .

Выразим площадь боковой п оверхности пи ра-

миды S

бок

как функцию угла . Применим

способ введения вспомогательного угла. Пусть

∠NAH = . Тогда

b = 2R sin и S

бок

= 8R

sin

sin .

Воспользуемся соотношением, приведённ ым

в предыдущей задаче:

cos =

√

2 sin

Получим:

sin

= 1 − cos

= 1 − 2 sin

= cos .

Следовательно, S

бок

= 8R

sin cos = 4R

sin 2 .

Наибольшее значение S

бок

равно 4R

при = 45

◦

П р и м е р 3. Высота правильной треугольной пирамиды равна h,

плоский угол пр и вершине равен . Найти радиус сферы: вписанной

в пирамиду; вычислить его при = 60

◦

Р е ш е н и е. Центр O сферы, вписанной в правильную треугольную

пирамиду NABC, лежит на его высоте NH (рис. 39). Проведём высо-

Рис. 39

ту AK треугольника ABC. Тогда NK ⊥

⊥ BC (согласно теореме о трёх перпен-

дикулярах) и ∠HKN — линейный угол

двугранного угла BC.

Пусть ∠HKN = . Так как KO —

биссектриса треугольника HKN, то

h −r

= cos и r =

h cos

1 + cos

Воспользуемся формулой перехода от

к :

cos =

√

(см. пример 1),

и окончательно получим:

r =

h tg

√

3 + tg

, 0

◦

< < 90

◦

Если = 60

◦

, то r =

Аналогично решается большинство задач настоящего параграфа, од-

ни — «прямым счётом», другие — способом составления уравнений. Ча-

сто наиболее простое решение удаётся получить, пользуясь способом

введения вспомогательных элементов: в частности, вспомогательных

углов.

∗ ∗ ∗

298. а) Высота правильной треугольной пирам иды и сторона её осно-

вания имеют одинаковую длину, равную 6 см. Найдите угол наклона

бокового ребра к плоскости основания и радиус описанной около пира-

миды сферы.

б) Правильная треугольная пирамида вписана в сферу, радиус ко-

торой равен 4 см. Сторона основания пирамиды равна 6 см. Найдите

высоту пирамиды.

299. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a,

боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом . Найди те

радиус описанной сферы.

300. Правильная треугольная пирамида вписана в сферу радиуса R,

плоский угол при вершине пирамиды равен . Найдите площадь боко-

вой поверхности пирамиды и вычислите её при = 45

◦

301. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды составляет

с плоскостью основания угол . Двугранный угол при основании ра-

вен , двугранный угол при боковом ребре равен . Докажите, что

а) sin =

√

ctg

;

б) sin =

√

cos

302. Высота правильной треугол ьной пирамиды равна h, двугран-

ный угол при боковом ребре равен . Найдите радиус сферы, описанной

около пирамиды. Какие значения может принимать ? При каком зна-

чении радиус сферы равен

303. Двугранный угол при боковом ребре правильной треугольной

пирамиды вдвое больше двугранного угла при основании. Докажите,

что радиус сферы, описанной около пирамиды, равен её боковому ребру.

∗ ∗ ∗

304. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a.

Двугранный угол при основании равен . Найдите радиус сферы, впи-

санной в пирамиду.

305. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a,

высота её равна h. Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду, если

a = 4 см и h = 8 см.

306. Высота правильной треугольной пирамиды равна h. Двугран-

ный угол при основании равен двугранному углу при боковом ребре.

Найдите радиус вписанной сферы.

307. В правильную треугольную пирамиду вписана сфера, радиус

которой равен r. Высота пирамиды равна h. Найди те двугранный угол

при основании и объём пирамиды, если r = 1 и h = 3.

∗ ∗ ∗

308. В сферу радиуса R вписана правильная четырёхугольная пи-

рамида, двугранный угол при боковом ребре которой равен . Найдите

высоту пирамиды. Какие значения может принимать ?

309. В сферу радиуса R вписана правильная четырёхугольная пи-

рамида, плоский угол при вершин е которой равен . Найди те объём

пирамиды. При каком значении объём пирами ды будет наи большим ?

310. Отношение радиуса сферы, описанной около правильной четы-

рёхугольной пирамиды, к стороне основания равно

√

2. Найдите угол

наклона бокового ребра пирамиды к плоскости основания.

∗ ∗ ∗

311. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную четырёхуголь-

ную пирамиду, высота которой равна h и плоский угол п ри вершине

равен .

312. Радиус сферы, вписанной в правильную четырёхугольную пи-

рамиду, равен

высоты пирамиды. Найдите площадь боковой поверх-

ности пирамиды, если её боковое ребро равно b.

313. В сферу радиуса R вписана правильная четырёхугольная пира-

мида, высота которой равна h. Найдите радиус сферы, вписанной в эту

пирамиду, если R = 5 см и h = 8 см.

314. В правильную четырёхугольную пирамиду вписана сфера, рас-

стояние от цен тра которой до вершины пирамиды равно d. Плоский

угол при вершине пирамиды равен . Найдите радиус r сферы, вписан-

ной в пирамиду, и радиус R сферы, описанной около неё.

315. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды рав-

на a. Радиус сферы, вписанной в пирамиду, вдвое м еньш е стороны осн о-

вания. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.

∗ ∗ ∗

316. Пусть r и R — радиусы вписанной и описанной сфер правильной

n-угольной пирамиды, h — её высота, — плоский угол при вершине.

Докажите, что

(1 + k

) cos + k

− 1

k sin + cos − 1

где k = tg

317. Отношение высоты правильной треугольной пирамиды к радиу-

су описанной около неё сферы равно k. Найдите величину угла между

её боковыми гранями. Вычислите при k =

318. Правильная n-угольн ая пирамида вписана в сферу радиуса R.

Высота пирамиды равна h. Найдите объём пирами ды. При каком зна-

чении h объём будет наибольшим?

319. Радиус сферы, описанной около правильной n-угольной пира-

миды, в три раза больше радиуса вписанной сферы. Найдите величину

двугранного угла при основании пирамиды.

320. Найдите величину двугранного угла при основании правильной

n-угольной пирамиды, у которой центры вписанной и описанной сфер

симметричны относительно плоскости основания.

321. Докажите, что расстояние d ме жду центрами вписанной и опи-

санной сфер правильной n-угольной пирамиды выражается формулой

d =

sin

“

−

”

sin

322. Докажите, что в правильной n-угольной пирамиде центры впи-

санной и описанной сфер совпадают тогда и только тогда, когда плоский

угол при вершине пирамиды равен

, т. е. сумма всех плоских углов

при вершине равна .

323. Пусть R и r — радиусы описанной и вписанной сфер правиль-

ной n-угольной пирамиды. Докажите, что

> 1 +

cos

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда центры сфер

совпадают.

324. a) Центр окружности, описанной около равнобедренного тре-

угольника, ле жит на вписанной в него окружности. Найдите величи-

ну угла при основании треугольника и отношение радиусов описанной

и вписанной окружностей.

б) Центр сферы, описанной около правильной четырёхугольной пи-

рамиды, лежит на вписанной сфере. Найдите величину плоского угла

при вершине пирамиды и отношение радиусов описанной и вписанной

сфер.

325. В правильную треугольную пирамиду вписана сфера радиуса r

и около неё описана сфера радиуса R. Найдите высоту пирамиды h

и расстояние d между центрами этих сфер, если r = 1 и R = 1 +

√

326. В правильной n-угольной пирамиде центр описанной сферы ле-

жит н а вписанной сфере. Докажите, что отношение радиусов описанной

и вписанной сфер

= 1 +

2 + tg

327. Пусть R и r — радиусы описанной и вписанной сфер правиль-

ной n-угольной пирамиды, d — расстояние между их центрами. Дока-

жите, что

a) d

= R

− 2Rr − r

;

б)

> 1 +

cos

, причём равенство имеет место только тогда, когда

центры сфер совпадают.

§18. Правильная пирамида и сфера, касающаяся

всех её рёбер

Плоскость, имеющая со сферой единственную общую точку, назы-

вается касательной плоскостью к сфере, а их общая точка — точкой

касания. Любая прямая, лежащая в касательной плоскости и проходя-

Рис. 40

щая через точку касания A, называется каса-

тельной к сфере (рис. 40). Говорят также, что

сфера касается прямой в точке A.

Для прямой, касательной к сфере, имеет ме-

сто теорема, аналогичная теореме о касательной

прямой к окружности.

Те о р е м а 1. Если прямая касается сферы,

то она перпендикулярна радиусу, проведённому

в точку касания. Обратно, если прямая прохо-

дит через точку сферы и перпендикулярна ра-

диусу, то она является касательной к сфере.

Рассмотрим в пространстве множество точек — центров сфер, каса-

ющихся сторон данного треугольника ABC.

Прежде всего заметим, что центр O вписанной в треугольник ABC

окружности является центром одной такой сферы (рис. 41). Если K,

L, M — точки касания окружности со сторонами AB, BC, CA соответ-

ственно, то сфера с центром O и радиусом OK касается все х сторон

треугольника ABC. Теперь нетрудно доказать, что искомое множество

точек есть перпендикуляр m к плоскости треугольника ABC, проходя-

щий через точку O. Действительно, если S — точка, принадлежащая m,

то SK = SL = SM , как наклонные, имеющие на плоскости ABC рав-

ные проекции. Кроме того, согласно теореме о трёх перпендикулярах,

SK ⊥ AB, SL ⊥BC, SM ⊥ CA. Значит, в силу теоремы 1, сфера с цен-

тром S и радиусом SK касается всех сторон треугольника ABC.

Если же точка S не лежит на перпендикуляре m к п лоскости, то не

все расстояния от точки S до прямых AB, BC и CA равны (согласно

теореме о наклонных и их проекциях на плоскость). Поэтому точка S не

является центром сферы, касающейся всех сторон треугольника ABC.

Ясно, что в пространстве множество точек — центров сфер, касаю-

щихся сторон правильного многоугольника A

. . . A

— также есть пер-

пендикуляр к плоскости многоугольника, проходящий через его центр.

Если ABCD — произвольная треугольная пирамида, то сфера, ка-

сающаяся всех её шести рёбер, существует не всегда, а только тогда,

когда суммы её противоположных рёбер равны. В случае же правиль-

ной пирамиды имеет место следующая теорема.

Те о р е м а 2. Для всякой правильной пирамиды существует сфера,

касающаяся всех её рёбер.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть A

. . . A

— правильная n-угольная

пирамида, N H — её высота, NK — апофема, P — центр окружности,

вписанной в грань NA

(на рис. 42 изображена лишь часть пира-

Рис. 41

Рис. 42

миды). Множество центров сфер, касающихся сторон треугольника

, есть перпендикуляр m к плоскости NA

, проходящий через

точку P . Центр сферы, касающейся всех сторон правильного мно-

гоугольника A

. . . A

, лежит на высоте NH пирамиды или на её

продолжении за точку H. Прямые m и NH лежат в одной плоско-

сти и пересекаются в некоторой точке O

. Действительно, так как

⊥ NH и A

⊥ NK, то, согласно теореме о двух перпендику-

лярах, A

— перпендик уляр к плоскости HKN. Поэтому плоскости

NHK и NA

перпендикулярны. Следовательно, прямая m лежит

в плоскости NHK и, поскольку угол HKN острый, пересекает пря-

мую N H. Отсюда следует, что точка O

есть центр сферы, касающейся

сторон основания пирамиды и боковых рёбер NA

и NA

. Радиус её ра-

вен O

K. Эта сфера касается и всех других боковых рёбер пирамиды,

так как расстояния от точки O

до боковых рёбер р авны между собой

и равны O

L, где L — точка касания окружности, вписанной в грань

, и ребра NA

, и, п рич ём O

L = O

Таким образом, всегда существует сфера, касающаяся всех рёбер

правильной пирамиды. При этом каждая грань пересекает сферу по

окружности, вписанной в грань, а точки касания окружности с рёбрами

являются в то же время точками касания сферы и рёбер . Центр сферы

лежит на высоте пирамиды или на её продолжении.

Рассмотрим н есколько задач, в которых реч ь идёт о сфере, касаю-

щейся всех рёбер правильной пирамиды.

П р и м е р 1. Боковое ребро правильной n-угольной пирамиды рав-

но b, угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен . Найти

радиус сферы, касающейся всех рёбер пирамиды. При каком значении

центр этой сферы совпадает с центром основания пирамиды?

Р е ш е н и е. Воспользуемся прежними обозначениями и рис. 42. Так

как A

. . . A

— правильный многоугольник, то, полагая A

= a,

имеем: A

L = A

K =

a (отрезки A

L и A

K равны как отрезки каса-

тельных к окружности, вписанной в грань NA

Прямоугольные треугольники HA

N и LO

N подобны, следователь-

но, ∠LO

N = ∠HA

N = . Обозначив р адиус искомой сферы через R

находим:

= LN ctg , LN = b −

, HA

= b cos ,

a = 2HA

sin

= 2b sin

cos .

Отсюда следует, что

= b ctg



1 − sin

cos



Эта формула находит применение при решении ряда задач.

Далее находим: NH = b sin , NO

cos

“

1 −sin

cos

”

sin

Центр O

совпадает с точкой H пр и условии, что NH = N O

, или

sin

= 1 − sin

cos , где 0 < <

Полученное тригонометрическое уравнение легко приводится к виду:

cos



cos −sin



= 0.

А так как cos 6= 0, то отсюда получаем:

cos = sin

, =

−

В частности, если n = 6, то =

П р и м е р 2. В сферу радиуса R вписана правильная шестиуголь-

ная пирамида, плоский угол при верши не которой равен . Найти ра-

диус R

сферы, касающейся всех рёбер пирамиды, и отношение

Р е ш е н и е. Сохраним обозначения, введённые при решении преды-

дущей задачи, и воспользуемся формулой:

= b ctg



1 −

cos



, где b = NA

и = ∠NA

H .

Пусть высота N H пирамиды при продолжении за точку H пе-

ресекает сферу в точке M (рис. 42). Тогда MN — диаметр сферы.

Из прямоугольного треугольника MNA

, в котором ∠HA

N = , на-

ходим:

b = 2R sin .

Следовательно,

= 2R cos



1 −

cos



В случае n-угольной пирамиды получаем формулу:

= 2R cos



1 − sin

cos



которая в дальнейшем также находит применение.

Поскольку вспомогательный угол и данный угол связаны со-

отношением cos = 2 sin

(см. § 18, пример 1), то окончательно полу-

чаем:

= 4R sin



1 − sin



Отсюда следует, что

= 4 sin



1 − sin



Заметим, что 0

◦

< < 60

◦

, поскольку ∠A

< ∠A

П р и м е р 3. Найти радиус R

сферы, касающейся всех рёбер пра-

вильной треугольной пирамиды, зная радиус r сферы, вписанной в пи-

рамиду, и радиус R описанной сферы, если r = 1 и R = 3.

Р е ш е н и е 1. Воспользуемся формулой

= 2R cos



1 −

√

cos



где — угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости основания,

и результатом задачи 216:

√

3 sin + cos − 1

где — величина плоского угла при вершине пирамиды.

Подставив в последнее равенство значения r и R, получим тригоно-

метрическое уравнение:

√

3 sin + cos = 2.

По смыслу задачи < 0

◦

< 120

◦

. Уравнение приводится к виду:

sin( + 30

◦

) = 1,

откуда = 60

◦

Далее воспользуемся формулой cos =

√

sin

. При = 60

◦

полу-

чим: cos =

√

. Следовательно, R

√

Р е ш е н и е 2. Воспользуемся формулой:

= 2R cos



1 −

√

cos



Для нахождения cos введём вспомогательные неизвестные: высо-

ту h и двугран ный угол при основании пирамиды. Тогда имеем :

h = 2R sin

, r =

h cos

1 + cos

(см. примеры § 18).

Исключив из этих уравнений h и подставив значения r = 1 и R = 3,

получим:

6 sin

− 1 =

cos

(1)

Углы и связаны соотношением tg = 2 tg (см. § 18, пример 1).

Применив формулу 1 + tg

cos

, получим:

cos

3 sin

+ 1

1 −sin

(2)

Из (1) и (2) исключим cos и получи м уравнени е:

36 sin

− 12 sin

+ 1 =

3 sin

+ 1

1 −sin

, где 0

◦

< < 90

◦

которое после упрощения принимает вид:

9 sin

− 12 sin

+ 4 = 0,

откуда sin

. Значит, cos =

Подставив найденное значение cos в исходную формулу, получим:

√

П р и м е ч а н и е. Известно, что для всякого тетраэдра справедливо

неравенство

> 3, причём равенство имеет место только для правиль-

ного тетраэдра. Если использовать этот факт, то вычисления в данной

задаче можно значительно упростить. Приведённый способ годится для

решения задачи при любых числовых данных.

В общем виде для вычисления sin получается уравнение:

sin

− R(R + r) sin

+ r(R + r) = 0,

откуда

sin

(R + r) ±

(R + r)(R − r)

Задача имеет решение при R > 3r.

∗ ∗ ∗

328. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды

равна a, боковое ребро равно b. Найдите радиус R

сферы, касающей-

ся всех рёбер пирамиды. Вычислите угол наклона бокового ребра

к плоскости основания, если R

329. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно b и об-

разует с плоскостью основания угол 30

◦

. Найдите радиус R

сферы,

касающейся всех рёбер пирамиды, радиус R описанной сферы и высо-

ту h пи рам иды.

330. Около правильной треугольной пирамиды описана сфера, ра-

диус которой равен 6. Радиус сферы, касающейся всех рёбер этой пи-

100