Горлач В.В. и др. Лабораторный практикум по колебательным и волновым процессам

Подождите немного. Документ загружается.

Лабораторная работа 32

НАБЛЮДЕНИЕ КОЛЕЦ НЬЮТОНА

И ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАДИУСА КРИВИЗНЫ ЛИНЗЫ

Рекомендуемая литература

[7]. §3.5.4. С. 324. Интерференция волн в плёнках и пластинках.

[14]. §122. С. 362. Интерференция света от тонких пластинок.

Основы теории

Уравнение плоской электромагнитной волны можно записать в

виде E = E

∙cosω(t – x/υ), где E

− амплитуда: ω = 2πν − угловая

частота колебаний вектора



напряжённости электрического поля;

x − координата точки, где определяется напряжённость Е; ω(t – x/υ) –

фаза электромагнитных колебаний в точке с координатой x в момент

времени t; υ – фазовая скорость; x/υ – время, за которое волна доходит

от начала отсчёта до точки с координатой x.

Скорость электромагнитных волн зависит от показателя прелом-

ления n среды, υ = c/n, где с = 3∙10

м/с – скорость света в вакууме.

Длина волны λ связана с частотой ν и периодом Т колебаний:

λ = υ∙T = υ/ν.

Видимая часть электромагнитного излучения (белый свет)

представляет собой область спектра длин волн от 0,4 до 0,8 мкм.

Монохроматический свет соответствует волне с определённой

частотой.

Волновая природа света наиболее отчетливо проявляется в таких

явлениях, как интерференция, дифракция и поляризация. Интерфе-

ренция – это наложение волн от двух или нескольких источников,

сопровождаемое перераспределением энергии волн с образованием

устойчивой картины чередующихся максимумов и минимумов

интенсивности. При этом на экране наблюдаются или светлые и

тёмные полосы, если свет монохроматический, или цветные полосы,

если свет белый. Интерференция возникает при сложении только

когерентных волн. Источники, излучающие волны одинаковой часто-

ты с постоянной разностью фаз (φ

– φ

= δ = const) и совпадающими

плоскостями колебаний вектора



, называются когерентными.

55 См. также теорию к работе 31.

Результат интерференции определяется разностью фаз колебаний

в точке, где накладываются волны. Если разность фаз δ = ±2π∙m

(m = 0, 1, 2,…), то наблюдается максимальное усиление колебаний

(максимум). Если же δ = ±(2∙m+1)π, то – максимальное ослабление

(минимум). Соответствующие разности хода волн составляют чётное

число полуволн

λλ

⋅=⋅⋅=∆

mm 22

(условие максимумов) (32.1)

и нечётное число полуволн

2)12(

⋅+⋅=∆

(условие минимумов), (32.2)

где m − порядок (номер) максимума или минимума.

Из определения длины волны

следует взаимосвязь разности фаз

и разности хода волн: s

– s

2 π

⋅

, где s

– s

– геометрическая

разность хода. Длина электромагнитной волны зависит от показателя

преломления среды n,

λ =



⋅

, где c/ν = λ

– длина волны в

вакууме; ν – частота (не изменяется при переходе волны из одной

среды в другую). Поэтому в расчётах интерференции электромагнит-

ных волн используется оптическая разность хода

Δ = L

– L

= n

– n

где s

и s

− геометрические длины пути; L

= n

и L

= n

− оптиче-

ские длины пути волн; n

и n

– показатели преломления.

Кроме того, в расчётах оптической разности хода следует

учитывать, что при отражении возможно изменение фазы волны.

Если волна отражается от среды с бóльшим показателем преломления

(оптически более плотной), то фаза колебаний вектора



скачком

изменяется на π рад, что равносильно изменению оптической длины

пути на λ/2 («теряется полуволна»).

Установка для наблюдения колец Ньютона в отражённом свете

состоит из плоско-выпуклой линзы малой кривизны и плоской

стеклянной пластинки. Линза накладывается своей выпуклой

поверхностью на пластинку, и между ними образуется кольцеобраз-

ный воздушный клин.

Если на линзу падает пучок монохроматического света, то

56 Определение длины волны дано в работе 24.

57 Формула справедлива в случае, когда когерентные волны до наложения распространялись с

одинаковыми скоростями.

световые волны, отражённые от верхней и нижней границ этого

клина, будут интерферировать между собой. В результате этого на

поверхности линзы наблюдается система тёмных и светлых

концентрических колец с центром K в точке касания линзы со

стеклом. Это полосы равной толщины, поскольку те места, где

выполняются одинаковые условия интерференции, располагаются

там, где толщина клина одинакова (в данном случае по окружности).

В отраженном свете оптическая разность хода лучей 1 и 2 (рис.

32.1) с учётом потери полуволны при отражении в точке D равна

Δ = (BD + DC) ∙n + ½λ ,

где n − показатель преломления среды в

зазоре между линзой и пластинкой; λ −

длина световой волны.

Ввиду того, что высота клина очень

мала, BD ≈ DС ≈ d и n = 1 (для воздуха),

получаем

Δ = 2d + ½λ . (32.3)

Рассмотрим треугольник ОАВ, где ОВ

= OK = R − радиус кривизны линзы, AB = r

− радиус интерференционного кольца,

222222

2)( dRdRrdRrR

+⋅⋅−+=−+=

Так как

< <

, величиной

можно пренебречь, тогда

Rrd 2

. (32.4)

В данной лабораторной работе кольца

Ньютона наблюдают с помощью микро-

скопа. Диаметры колец отсчитывают по

окулярной шкале. Интерференционная

картина видна в отражённом свете на

поверхности линзы в виде концентриче-

ских окружностей с тёмным пятном

(минимумом) в середине – в месте

контакта (рис. 32.2). Там, где наблюдаются

светлые кольца, оптическая разность хода

в отражённом свете равна целому числу

длин волн согласно условию максимума.

Тогда, приравнивая (32.3) и (32.1), получим

Рис.32.2. Измерение диаметров

колец Ньютона

| | | | | | | | | | | | | | | | |

← D →

Рис. 32.1. Ход лучей в приборе

«Кольца Ньютона»

▼

●

К D

↕d

A B C

λλ

⋅=+⋅

md 22

. (32.5)

С учётом (32.4) и (32.5)

+=⋅

. Отсюда радиусы светлых

колец в отражённом свете,



2 m−1 R λ/ 2

, или



m−½ λ R

, (32.6)

где m = 1, 2, 3, … номер кольца.

Радиусы тёмных колец найдём из условия минимума (32.2) и

выражения разности хода в отражённом свете (32.3). Учитывая (32.4),

получим

mRr

. (32.7)

Анализ формул (32.6) и (32.7) показывает, что радиусы колец

определяются радиусом кривизны линзы и длиной световой волны.

Измерив радиус m-го кольца, например светлого (32.6), можно по

известной длине волны вычислить радиус кривизны линзы

)21(

−

. (32.8)

Если преобразовать расчётную формулу (32.8) так, чтобы в неё

входили радиусы двух колец с произвольными

(но не соседними)

номерами m и k, то из выражения разности квадратов

−r

для

пары светлых колец получим следующую формулу, применение

которой повысит точность косвенного измерения радиуса кривизны

линзы.

)(

)()(

rrrr

kmkm

−

+⋅−

. (32.9)

Цель работы: ознакомиться с явлением интерференции, освоить

методы измерения радиуса поверхности линзы путём наблюдений

58 В (32.9) входит разность радиусов колец. Когда она мала, резко снижается точность

измерения (возрастает относительная погрешность величины R). Кроме того, не

рекомендуется выбирать для измерений первые от центра кольца (с номерами 1, 2).

Последнее объясняется тем, что линза и пластинка контактируют не в одной точке, а по

некоторой поверхности. Чем больше линза «вдавлена», тем шире тёмное пятно,

наблюдаемое в отражённом свете. Воздушный клин начинается не от центра, а с точек на

периферии пятна контакта. Часть первых колец, которые могли быть видны при идеальном

контакте (в одной точке), скрывается в этом пятне. Однако применение формулы (32.9)

позволяет этим пренебречь, поскольку в неё входит не один радиус с определённым

номером, а два, и значение имеет только разность номеров.

колец Ньютона, убедиться в справедливости условия максимального

усиления колебаний при интерференции волн.

Приборы: плоско-выпуклая линза, установленная выпуклой

стороной на плоскую диэлектрическую пластинку; светофильтры;

микроскоп с окулярным микрометром; ртутно-кварцевая лампа.

Задание 1. Определение радиуса кривизны линзы

по измерениям диаметров светлых колец в отражённом свете

1. Расположить линзу с пластинкой на предметном столике

микроскопа так, чтобы центр линзы оказался на оптической оси

микроскопа.

2. Включить ртутную лампу и, медленно перемещая предметный

столик, добиться ясного видения колец Ньютона и шкалы окулярного

микрометра. Вставить светофильтр (если имеется в наличии).

3. Измерить диаметр D пяти – семи наиболее чётко видимых

соседних светлых колец одного цвета (сине-фиолетового, зелёного

или жёлтого) в делениях шкалы окулярного микрометра.

4. Вычислить радиусы этих колец в миллиметрах по формуле

r = (D/2) ∙C

ок

, (32.10)

где C

ок

– цена деления окулярного микрометра с учётом увеличения

микроскопа (указана на установке). Данные занести в табл. 32.1.

Таблица 32.1

Результаты измерений радиусов светлых колец

Номер кольца

Диаметр D, дел

Радиус

, мм

ок

=… мкм/дел λ

с-ф

= 0,42 мкм; λ

зел

= 0,52 мкм; λ

жёл

= 0,60 мкм

m – n (r

– r

), мм (r

+ r

), мм R, мм

<R> =

… мм

= … см

= … м

виз

… ± ... см

3 – 1

4 – 1

4 – 2

5 – 2

5. Вычислить радиус кривизны линзы по формуле (32.9), взяв для

расчётов не менее четырех пар колец. Выразить значение <R> в

сантиметрах и в метрах.

6. Пренебрегая систематической погрешностью, оценить по

результатам многократных измерений радиуса кривизны линзы

абсолютную ΔR и относительную δ

= ΔR/R погрешности. Записать

результат в виде: R= <R> ± ΔR, Р = 0,95.

7. Сравнить экспериментально полученное значение <R> с указан-

ным на установке. Если последнее не дано, то сделать визуальную

оценку радиуса кривизны R

виз

(определить «на глаз»), наблюдая сбоку

выпуклую поверхность линзы. Сравнить значения <R> и R

виз

сделать выводы (см. цель работы).

*Задание 2. Графический метод определения

радиуса кривизны линзы

1. Измерить диаметры D' тёмных колец Ньютона, действуя как

описано в пп. 1 – 5 задания 1. Измерения тёмных колец проводятся

при наличии светофильтра.

2. Вычислить радиусы тёмных колец r

' по формуле (32.10),

квадраты их радиусов (r

. Данные занести в табл. 32.2.

При отсутствии светофильтра (и невозможности наблюдать тёмные

кольца) действия по пп. 1, 2 не выполняются.

Таблица 32.2

Данные для определения радиуса кривизы линзы графическим методом

Номер кольца

Диаметр D', дел

Радиус r

', мм

r

' 

, мм

3. Внести в табл. 32.2 квадраты радиусов r

светлых колец,

радиусы которых измерены ранее в задании 1 (см. табл. 32.1).

4. Построить графики зависимости величин

r

' 

и (или)

от

номера кольца m.

5. Анализируя формулы (32.6) и (32.7), выразить квадраты

радиусов тёмных и светлых в виде линейных функций номера кольца.

Выяснить физический смысл угловых коэффициентов соответствую-

щих прямых, являющихся графиками этих функций. Определить по

графикам, полученным экспериментально (п. 4), усреднённые

значения угловых коэффициентов.

6. Используя полученные формулы и заданное значение длины

волны λ, вычислить радиус кривизны линзы

7. Оценить погрешности в определении радиуса кривизны линзы

графическим методом и сравнить значения R, полученные в резуль-

тате выполнения заданий 1 и 2.

Контрольные вопросы

Допуск

1. Что используется (название прибора) в предстоящей работе в качестве

источника электромагнитных волн? Каков спектр его излучения

(сплошной, дискретный)?

2. Каким способом (в проходящем свете, в отражённом свете) наблю-

даются кольца Ньютона в данной работе? Как это можно определить по

виду интерференционной картины?

3. Кольца Ньютона наблюдаются в отражённом свете при освещении

ртутной лампой без светофильтра. Как располагаются, считая от центра

интерференционной картины, кольца разного цвета (синего, зелёного,

жёлтого) одного порядка?

4. Почему для расчёта радиуса кривизны линзы не рекомендуется брать

соседние кольца, диаметры которых измерены?

Защита

5. Происходит ли потеря полуволны (λ/2) при отражении световой волны

от пластинки в данной работе (да; нет; почему)?

6. Записать общие условия максимального усиления и ослабления коле-

баний при интерференции волн (формулы с расшифровкой обозначений).

7. Доказать, что при наблюдении колец Ньютона в отраженном свете

центральное пятно будет тёмным. (Для доказательства использовать

формулу для оптической разности хода и условие: а) минимума; б)

максимума).

8. *Доказать, что при наблюдении колец Ньютона в проходящем свете

центральное пятно будет светлым.

9. Объяснить со ссылкой на подходящую формулу, что замена красного

светофильтра на синий приводит к уменьшению радиусов колец Ньютона.

10. *Как изменяются радиусы колец Ньютона при увеличении показателя

59 См. также вопросы в работе 31.

преломления вещества, заполняющего промежуток между линзой и

диэлектрической пластинкой? Ответ обосновать.

11. Показать, что для расчёта радиуса кривизны линзы достаточно знать

разность номеров измеренных колец Ньютона, а знание номеров этих колец

не является необходимым.

12. Нарисовать ход лучей, интерферирующих в отражённом свете, и

вывести формулу для радиусов: а) светлых колец Ньютона; б) тёмных

колец Ньютона.

13. *Вывести формулу с построением хода лучей для расчёта радиусов

колец Ньютона: а) светлых; б) тёмных – в проходящем свете.

14. Вывести формулу для расчета радиуса кривизны линзы через радиусы

светлых колец в отражённом свете.

15. *Практическое применение прибора «Кольца Ньютона»: а) для

определения длины волны; б) для определения качества обработки как

сферических, так и плоских поверхностей.

16. В какую сторону искривляется кольцо Ньютона (к центру или к

периферии интерференционной картины), если на сферической

поверхности линзы имеется дефект: а) бугорок; б) ямка? Ответ обосновать.

17. *Вывести формулу для определения толщины воздушного клина в

месте наблюдения m-го светлого кольца Ньютона: а) в отражённом свете;

б) в проходящем свете.

18. *Вывести формулу, в которой квадрат радиуса тёмных колец Ньютона

в отражённом свете выражается в виде линейной функции от номера

кольца

r

' 

= Rλ∙m. Построить график этой функции. Объяснить

физический смысл углового коэффициента (тангенса угла наклона к оси

абсцисс) полученной прямой.

Лабораторная работа 33

ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИНЫ СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ

С ПОМОЩЬЮ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЁТКИ И ГОНИОМЕТРА

Рекомендуемая литература

[14]. §130. С. 407. Дифракционная решетка.

[7]. §3.6.1. С. 332. Принцип Гюйгенса – Френеля. Дифракция Френеля;

§3.6.3. С. 343. Дифракционная решётка.

[6]. §32.4. С. 444. Дифракционная решётка.

Основы теории

Явление дифракции света заключается в отклонении световых

волн от прямолинейного пути в случае прохождения света через

малые отверстия или мимо малого непрозрачного экрана (препятст-

вия) в оптически однородной среде. Дифракцию волн можно

наблюдать, когда размеры отверстий или препятствий одного порядка

с длиной волны или когда место наблюдения дифракционной картины

(экран) находится на большом расстоянии от отверстия или

препятствия. Дифракция света, так же как интерференция, отражает

волновую природу электромагнитного излучения.

Дифракция Фраунгофера имеет место для плоских световых волн

в параллельных лучах. В этом случае дифракционная картина видна

при непосредственном наблюдении дифрагированных лучей глазом,

аккомодированном на бесконечность, или на экране с помощью

линзы, собирающей лучи в фокальной плоскости. Рассмотрим два

случая дифракции плоских волн: 1) на узкой одиночной щели;

2) на дифракционной решётке. Второй случай наиболее интересен,

поскольку имеет большое практическое значение.

Дифракционная решетка Д (рис. 33.1) представляет собой

стеклянную пластинку, на которой с помощью делительной машины

нанесены параллельные друг другу царапины (непрозрачные для

света) и оставлены узкие неповреждённые полоски. Периодом d, или

постоянной дифракционной решетки, принято называть сумму

размеров прозрачной и непрозрачной полоc a и b (в общем случае

a ≠ b): d = a + b .

Если осветить дифракционную решётку пучком параллельных

лучей, падающих перпендикулярно к её поверхности, то световые

волны, проходя через узкие прозрачные полоски, испытывают

дифракцию. На рис. 33.1 показано отклонение лучей для одного из

углов дифракции φ.

Согласно принципу Гюйгенса

– Френеля щели решётки счита-

ются когерентными источниками,

следовательно, в каждой точке

экрана Э происходит сложение

электромагнитных колебаний мно-

гочисленных волн, приходящих в

различные точки экрана с разными

фазами. Каждому углу дифракции

φ соответствует своя разность хода

волн Δ = d∙sinφ и разность фаз.

(Все лучи, идущие параллельно

под одним углом φ (cм. рис. 33.1),

собираются линзой в точке М

экрана, установленного в фокаль-

ной плоскости линзы.) Таким

образом, прохождение волн через решётку приводит к наложению

когерентных дифрагированных волн, идущих от всех щелей.

Если направить на дифракционную решетку поток монохромати-

ческого света, то на экране получается чередование тёмных и светлых

параллельных полос (минимумов и максимумов). Распределение

интенсивности обусловлено дифракцией света от каждой щели, а

также взаимной интерференцией световых волн от всех щелей. В

центре дифракционной картины наблюдается самая яркая светлая

полоса (центральный максимум), а по левую и правую стороны –

тёмные полосы (минимумы первого порядка). Далее вновь светлые

полосы – максимумы первого порядка и т. д. Распределение интенсив-

ности света J на экране показано на рис. 33.2. Центральному

дифракционному максимуму соответствует порядковый номер m = 0,

боковым главным максимумам и минимумам – номера m = 1, 2, 3, … .

Кроме того, имеются дополнительные максимумы и минимумы.

Максимальное усиление света происходит при оптической

разности хода волн Δ = mλ, где m = 0, ±1, ±2, … .

Разность хода при нормальном падении света на решётку равна

Δ = d∙sinφ (см. рис. 33.1). Таким образом, положение главных

максимумов удовлетворяет условию

Рис. 33.1. Ход лучей

на дифракционный максимум

a b

•