Горлач В.В. и др. Лабораторный практикум по колебательным и волновым процессам

Подождите немного. Документ загружается.

Геометрическое место частиц среды, колеблющихся в одина-

ковой фазе, образует волновую поверхность. В зависимости от её

формы различают плоские, сферические и цилиндрические волны. В

данной работе исследуются плоские волны, волновые поверхности

которых представляют собой множество параллельных друг другу

плоскостей.

Пусть источник плоской волны находится в начале координат и

возбуждает колебания частиц упругой среды по закону ξ = Acosωt.

Частица среды, которая находится в состоянии равновесия на

расстоянии x от источника, придёт в движение по гармоническому

закону через промежуток времени



, где υ – скорость распростра-

нения волны. Уравнение колебания этой частицы

 = A cos t−





, (24.1)

где ξ – смещение частиц среды с координатой х в момент времени t ;

A – амплитуда колебаний; ω = 2πν = 2π/T – угловая частота;

ν – частота; Т – период колебаний.

Уравнение плоской гармонической волны (24.1) позволяет в

любой момент времени t и в любом месте с координатой x определить

смещение ξ(х, t) любой точки, участвующей в волновом процессе.

Если в формуле (24.1) зафиксируем величину t, сделав как бы

моментальный снимок волны, то получим синусоиду (рис. 24.1).

Точки среды А и B колеблются

синфазно, точнее – с разностью фаз

δ = 2π, поскольку периодичность

функции cosφ составляет 2π рад. То

же относится к точкам C и D.

Периодичность колебательного про-

цесса в пространстве характери-

зуется длиной волны λ.

Длина волны – это расстояние между ближайшими точками

среды, колеблющимися с разностью фаз 2π рад.

Легко видеть, что длина волны равна расстоянию, на которое

перемещается волновая поверхность со скоростью υ за время, равное

периоду T колебаний частиц среды: λ = υ∙Т, или

λ = υ/ν . (24.2)

Рис. 24.1. Гармоническая волна

|← λ →|

← λ →|

•

Учитывая, что

, запишем уравнение плоской

волны (24.1) в другом виде:

cos2 ( )

t x

ξ π

= −

, (24.3)

из которого следует, что состояние колебания (фаза) в бегущей волне

повторяется и во времени (через промежуток t = n∙T), и в

пространстве (через интервал координат Δx = n∙λ ), где n = 1, 2, 3, ... .

Определим скорость, с которой перемещается волновая поверх-

ность, имеющая заданную фазу

φ = t−



 = C

= const. Положе-

ние этой поверхности определяется координатой

x = t−





Скорость её перемещения

. Таким образом, величина υ в

уравнении (24.1) оказывается равной скорости распространения

волновой поверхности с заданной фазой и потому называется

фазовой скоростью.

Скорость распространения упругих волн зависит от температуры,

от вида деформации, от плотности и упругих свойств среды. Скорость

звуковых волн в газах, приближенных к идеальному, вычисляется по

формуле

 =



γ RT / M

, (24.4)

где M – молярная масса; T – температура газа; R – молярная газовая

постоянная; γ – коэффициент Пуассона (для воздуха γ = 1, 40).

Измерив температуру воздуха, можно рассчитать теоретическое

значение скорости звука в воздухе, зная характеристики газа γ и M.

Формулу для вычисления длины волны по результатам измерений

в данной работе получим из уравнения (24.3). Легко видеть, что две

точки с координатами x

и x

колеблются со сдвигом фаз

−φ

2 π

 x

−x



. (24.5)

Если разность фаз равна π, то расстояние между точками

составляет (по определению длины волны)

– x

λ /2

. (24.6)

Отсюда следует формула для вычисления длины волны

2 1

2( )x x

= −

, или λ = 2s, (24.7)

где s = (x

– x

) – расстояние между точками среды, колеблющимися с

разностью фаз π рад.

Скорость звука можно вычислить на основании (24.2) и (24.7):

 = 2 s⋅

. (24.8)

Таким образом, измерив две соседние координаты (x

и x

) точек

бегущей волны, для которых разность фаз φ

– φ

= π, можно

определить длину волны, а затем и скорость звука, зная частоту.

Разность фаз определяется в данной работе с помощью осциллографа.

Цель работы: ознакомиться с методом измерения длины звуковой

волны; определить длину волны и скорость звука в воздухе на разных

частотах; выяснить характер зависимостей: а) длины волны от

частоты; б) скорости звука от частоты; в) длины волны от расстояния

между источником и приемником звуковых волн.

Приборы: динамик и микрофон, установленные на скамье с

линейной шкалой; звуковой генератор; усилитель; осциллограф.

Описание установки

От звукового генератора 3Г (рис. 24.2) на динамик Д и

одновременно на вход X осциллографа О подаётся напряжение,

изменяющееся по гармоническому закону. Микрофон М улавливает

звуковые волны, излучаемые динамиком Д. Механические колебания

мембраны микрофона преобразуются в электрические колебания и

подаются на вход усилителя низкой частоты УНЧ. Усиленный сигнал

поступает на вход Y осциллографа.

На пути от динамика к

микрофону звуковые колеба-

ния приобретают некоторую

разность фаз (24.5) δ = φ

– φ

зависящую от координаты ми-

крофона относительно дина-

мика. Электронный луч осцил-

лографа принимает участие в

двух взаимно-перпендикуляр-

ных колебаниях одинаковой

частоты, но отличающихся по фазе. В результате сложения этих

колебаний луч на экране описывает замкнутую кривую линию, в

~220 В

Рис. 24.2. Блок-схема установки

ЗГ

УНЧ

○

X Y

○ ○

0 5 10 15 20 25

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

общем случае – эллипс, форма и ориентация которого зависит от

разности фаз δ. Из теории колебаний известно

, что при δ = 0

траектория луча – это прямая линия, проходящая в первом и третьем

квадрантах через начало декартовой системы координат (рис. 24.3, а).

Если δ = π осциллограмма вновь приобретает вид прямой линии, но

расположенной по-другому: она проходит из второго квадранта через

начало координат в четвертый квадрант (рис. 24.3, в). Когда δ = 2π –

это вновь прямая линия, проходящая через первый и третий

квадранты (рис. 24.3, д), т. е. траектория электронного луча

приобретает свою первоначальную форму, как и при разности фаз

δ = 0.

Таким образом, если наблюдается полное повторение вида

осциллограммы в результате смещения микрофона по направлению

распространения звуковой волны, то это означает, что фаза колебаний

мембраны микрофона изменилась на 2π, т. е. состояние колебаний в

звуковой волне, дошедшей до микрофона, то же, что и в его

начальном положении. Следовательно (по определению длины

волны), микрофон сместился на одну длину волны.

В данной работе фиксируются изменения вида осциллограммы от

а к в или от в к д (см. рис. 24.3) при смещении микрофона вдоль

распространения звука. При этом изменение фазы колебаний равно π

рад, а отсчитываемая при этом разность координат микрофона (24.6)

принимается равной половине длины звуковой волны.

Выполнение работы

1. Собрать цепь по схеме (рис. 24.1); включить звуковой

генератор, осциллограф, усилитель.

32 См. теорию к лабораторной работе 17.

y y y y y

x x x x x

а) δ = 0 б) δ =

в) δ = π г) δ = ³/

π д) δ = 2π

Рис. 24.3. Результаты сложения взаимно‑перпендикулярных

колебаний одинаковой частоты при различной разности фаз

2. Ознакомиться с ручками управления, находящимися на

передней панели осциллографа (см. работу 17, рис. 17.4). Установить

частоту генератора около 3 кГц и амплитуду его выходного сигнала,

достаточную для получения эллипса оптимального размера в

пределах экрана осциллографа (см. рис. 24.1). С помощью

соответствующих ручек управления электронным лучом добиться

чёткого изображения.

3. Перемещая микрофон вблизи динамика, получить на экране

осциллографа изображение прямой линии (рис. 24.3, а или 24.3, в);

записать в табл. 24.2 координату микрофона x

по шкале линейки.

4. Медленно удалять микрофон от динамика, пока луч на экране

не станет снова вычерчивать прямую линию, но лежащую в другой

паре квадрантов. Записать в таблицу координату x

Таблица 24.1

Результаты измерения длины волны и скорости звука

= ... кГц ν

= ... кГц

<υ>

эксп

… м/c;

теор

… м/с;

табл

… м/с

x↑,

см

x↓,

см

x↑,

см

x↓,

см

x↑,

см

x↓,

см

= … ± ...

= … ± …

5. Продолжая удалять микрофон, найти новые координаты

и x

где на экране получается прямая линия

. Координаты x

, x

записывать в первый столбец (х↑, см. табл. 24.1).

6. Приближая микрофон к источнику звука, повторить измерения

координат x

, x

. Результаты записать во второй столбец (х↓).

33 Для уменьшения случайной погрешности величины s = (x

– х

) следует зафиксировать не

менее четырёх осциллограмм, когда приёмник звука последовательно занимает положения с

координатами x

, ... x

, где эллипс превращается в прямую вида а или в (рис. 24.3). Эти

данные также помогут ответить на вопрос, зависит или не зависит длина звуковой волны от

от координаты приёмника звука относительно источника звука.

7. Вычислить расстояния s = x

n+1

– x

между найденными сосед-

ними положениями микрофона, где x

n+1

и x

– средние значения

координаты микрофона по двум столбцам (х↑ и х↓); n – номера

измерений (n = 1, 2, 3 ). Найти среднее <s>, если значения s, получен-

ные при различном удалении микрофона от динамика, совпадают с

учётом погрешностей измерений.

8. Вычислить длину волны (24.7) и скорость звука (24.8).

9. Выполнить действия, указанные в пп. 3 – 8, на других частотах

генератора ν

и ν

(ν

> ν

;

> ν

10. Вычислить относительную погрешность



 λ

измерения

длины звуковой волны на одной из частот ν

, ν

(по указанию

преподавателя). Вычислить абсолютные погрешности: Δλ

= δ

∙λ

;

Δλ

= δ

∙λ

; Δυ

= δ

∙λ

. Записать результаты λ

, λ

и λ

в виде:

λ = <λ> ± Δλ. Анализируя полученные данные, сделать вывод о

зависимости (или независимости) длины звуковой волны от частоты

и от координаты относительно источника звука.

11. Вычислить относительную погрешность





 



скорости

звука для одной из частот ν

, ν

(по указанию преподавателя).

Вычислить абсолютные погрешности: Δυ

= δ

∙υ

; Δυ

= δ

∙υ

;

Δυ

= δ

∙υ

. Записать результаты υ

, υ

и υ

в виде: υ

= <υ> ± Δυ. Сделать

вывод о наличии (или об отсутствии) дисперсии звука в воздухе

12. По трём значениям скорости звука, измеренной при разных

частотах, найти (если доверительные интервалы скоростей пере-

секаются) среднее <υ> и сравнить его с теоретическим значением,

рассчитанным по формуле (24.4) и с табличным (табл. 24.2)

Таблица 24.2

Скорость звука в воздухе при различных температурах

С – 150 – 50 0 10 20 30 100

υ, м/с 216,7 299,3 331,5 337,3 343,1 348,9 387,1

34 Дисперсией волн [от лат. dispersio – рассеяние] называют зависимость фазовой скорости от

частоты.

35 Когда температура опыта не совпадает ни с одним значением, представленным в таблице,

тогда искомое табличное значение скорости находится методом линейной интерполяции [4].

13. Сформулировать и записать общие выводы по работе.

Совпадение всех трёх значений: экспериментального, расчётного и

табличного – можно считать подтверждением справедливости

теоретических положений, заложенных в основу метода измерений:

теории сложения взаимно-перпендикулярных колебаний, формулы

(24.4) и уравнения бегущей волны (24.1).

Контрольные вопросы

Допуск

1. Объяснить смысл понятий: а) звуковая волна; б) фаза волны.

2. Дать определение длины волны.

3. Зависимость длины волны от фазовой скорости (формула-закон).

4. Какие непосредственные измерения нужно выполнить, чтобы экспе-

риментально определить длину звуковой волны в данной работе?

5. Каково расстояние между двумя ближайшими точками волны в направ-

лении её распространения, если они колеблются: а) с разностью фаз π

(в противофазе); б) с разностью фаз 2π (синфазно)?

6. При какой разности фаз и каком соотношении амплитуд двух вза-

имно-перпендикулярных колебаний одной частоты осциллограмма резуль-

тирующего колебания имеет вид: а) окружности; б) прямой линии?

Защита

7. В чем сходство и различие понятий «волновая поверхность» и «фронт

волны»?

8. Вывести уравнение плоской волны, взяв за основу уравнение гармони-

ческих колебаний с начальной фазой, равной нулю.

9. Изобразить графически: а) мгновенное распределение смещения частиц,

участвующих в волновом движении; б) зависимость смещения одной из

частиц от времени.

10. Звук частотой 1 кГц имеет в воздухе длину волны 380 мм. Какой станет

станет длина волны на частоте 2 кГц при той же температуре воздуха?

11. *Длина волны в воздухе, измеренная на частоте 1 кГц, оказалась равной

35 см. При какой температуре проводились измерения?

12. Записать формулу, из которой следует, что волна представляет собой

периодический процесс и во времени, и в пространстве?

13. *Показать, что фазовая скорость – это скорость распространения

волновой поверхности с заданной фазой колебаний.

14. Как зависит (уменьшается, увеличивается, линейно, нелинейно)

скорость звука в газах: а) от температуры; б) от молярной массы?

15. Объяснить, почему амплитуда колебаний для всех точек плоской волны

не меняется при удалении от источника, а амплитуда сферических волн

уменьшается. (Рассеянием энергии пренебречь.)

16. Вывеcти формулу для расчёта скорости звука по результатам измерений

в данной работе.

17. Измерение какой величины вносит наибольшую погрешность при

определении скорости звука на данной установке?

18. *Что такое волновой вектор? Для чего вводится величина

k = 2π/λ? Записать уравнение плоской бегущей волны с использованием

волнового числа.

19. *Что называется волновым уравнением? Какая связь существует между

волновым уравнением и уравнением плоской бегущей волны?

20. *Материальная точка участвует в двух взаимно-перпендикулярных

колебаниях с одинаковыми частотами. Разность фаз Δφ = π/2 рад. Получить

уравнение траектории у(х) и указать на рисунке направление скорости

движения.

21. Уравнение волны имеет вид

0,1sin(10 4 )t x

= −

, где ξ – смещение

частиц, м; х – координата частицы, м; t – время, с. Определить период

колебаний частиц и фазовую скорость волны.

22. *При известной длине звуковой волны данный метод можно исполь-

зовать для измерений перемещения микрофона относительно источника

звука. Как зависит точность измерений от частоты?

23. *Объяснить зависимость скорости звука в воздухе от высоты над

поверхностью Земли.

Лабораторная работа 25

СТОЯЧИЕ ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В ТРУБЕ

Рекомендуемая литература

[14]. § 99. С. 289. Стоячие волны.

[15]. §157. С. 287. Стоячие волны.

Основы теории

Рассмотрим наложение двух встречных плоских волн

с одина-

ковой частотой ω и амплитудой А. Уравнения этих волн задаются

выражениями:

для прямой волны



= A cost −



 = Acos 2π

−



для встречной волны, идущей в обратную сторону,



= Acost



 = A cos2π 





Результирующее смещение

 = 

 

Используя теорему о сложении косинусов, получим уравнение

стоячей волны.

 = 2 Acos

2 π

x⋅cos t

. (25.1)

На практике стоячие волны возникают при отражении бегущих

волн от преград. Падающая и отражённая волны, налагаясь друг на

друга, при определенных условиях образуют стоячую волну.

Соотношение (25.1) показывает, что в стоячей волне все точки

упругой среды колеблются по гармоническому закону с той же

угловой частотой ω, что и в падающей бегущей волне. Амплитуда

стоячей волны А

ст

является гармонической функцией координаты x:

ст

= 2 Acos

2π

. (25.2)

Зависимости смещения частиц ξ от координаты x для моментов

времени t = 0 и t = ½T показаны на рис. 25.1. Все точки среды, в

которой установилась стоячая волна, в моменты времени t = ¼ Т и

36 См. также теорию к работе 24.

37 Наложение волн, согласованных по частоте и по фазе, сопровождаемое устойчивым во

времени перераспределением энергии волнового движения в пространстве, называется

интерференцией.

t = ¾T находятся в положении равновесия (ξ = 0). Точки среды, в

которых амплитуда колебаний максимальна и равна 2A, называются

пучностями стоячей волны, а точки, в которых амплитуда равна нулю,

– узлами (точки А, B, C и D).

Волна называется стоячей потому, что координаты узлов и

пучностей не изменяются со временем. Из рис. 25.1 видно, что узлы и

пучности отстоят друг от друга на четверть длины волны λ/4, а

расстояние между соседними пучностями,

как и между соседними узлами, равно

половине длины бегущей волны λ/2. Все

точки между соседними узлами колеб-

лются с одинаковой фазой. Разность фаз

колебаний точек по разные стороны от

узла составляет π рад, т. е. их колебания

совершаются «в противофазе».

Рассмотренная выше теория описы-

вает стоячие волны в неограниченных или

полуограниченных упругих средах. В ограниченных средах (телах)

стоячие волны возникают только в тех случаях, когда в промежутке

между отражающими поверхностями укладывается нечётное или

чётное число четвертей длин волн (λ/4) в зависимости от граничных

условий. В частности, в ограниченных столбах газа стоячие волны

образуются, когда у открытых концов трубы находятся пучности, а у

закрытых концов – узлы.

Обоснование метода измерений

Для измерения длины звуковой волны в данной работе

используется метод стоячих волн. Упругая среда (воздух), в которой

создаются волны, находится в трубе (рис. 25.2). Один из концов трубы

закрыт подвижным поршнем П. У другого (открытого) конца

расположен источник звука – телефон Т .

Колебания частиц воздуха, возбуждаемые мембраной телефона,

распространяются вдоль трубы. Звуковая волна доходит до поршня,

отражается от него и далее распространяется навстречу падающей

волне. Происходит наложение двух встречных волн – падающей и

отражённой.

Если на длине ℓ воздушного столба укладывается нечётное число

четвертей длин волн

2А

λ/4 λ/2 λ/2 λ/2 λ/4

Рис.25.1. Узлы и пучности

стоячей волны

отр

пад

ξ Узлы Пучности

t = 0

t = T/2

A B C D