Горлач В.В. и др. Лабораторный практикум по колебательным и волновым процессам

Подождите немного. Документ загружается.

8. Построить диаграмму в координатах «Размах колебаний –

частота вынуждающей силы». Показать на графике 2А(ν)

доверительный интервал амплитуды при резонансе.

9. Сравнить результаты с предсказаниями теории и сделать

выводы.

Контрольные вопросы

Допуск

1. Перечислить величины, которые: а) предстоит непосредственно изме-

рить; б) следует вычислить.

2. При выполнении данной работы какие параметры установки:

а) вы будете изменять; б) остаются неизменными?

3. Каким образом регулируется частота вынуждающей силы?

4. Как измерить: а) размах колебаний; б) число колебаний, совершённых за

выбранное время, – в данной работе ?

5. По каким признакам обнаруживается резонанс?

Защита

6. Записать уравнение на основе второго закона Ньютона, описывающее

вынужденные колебания груза на пружине в вязкой среде.

7. Что такое резонансная частота?

8. По какому закону зависит амплитуда колебаний от частоты вынужда-

ющей силы? Анализируя формулу A(ν), показать, что при некоторых

условиях амплитуда вынужденных колебаний: а) растёт; б) уменьшается –

при монотонном увеличении частоты.

9. Как изменится вид резонансной кривой: а) при увеличении; б) при

уменьшении сопротивления в колебательной системе?

10. * Вывести дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

груза на пружине из второго закона Ньютона.

11. Параметры установки, определяющие амплитуду при резонансе.

12. *Полагая, что масса груза m = 0,10 кг, собственная частота отличается

на 10% от резонансной, оценить по результатам ваших измерений:

а) коэффициент затухания; б) коэффициент сопротивления; б) жёсткость

пружины; в) амплитуду при резонансе.

13. *Показать на основе формулы A(ν), что резонансная кривая начинается

не с начала координат.

14. * В чем отличие вынужденных колебаний от автоколебаний?

Лабораторная работа 22к

КОЛЕБАНИЯ ГРУЗА НА ПРУЖИНЕ

Рекомендуемая литература

[3]. § 5.9.1. С. 183. Дифференциальное уравнение затухающих

колебаний, его решение; §5.9.2. С. 184. Характеристики, вводимые для

описания затухающих колебаний.

[6]. §27.2. С. 358. Механические гармонические колебания; §27.4.

С. 363. Сложение гармонических колебаний; §28.1. С. 368. Затухающие

колебания; §28.2. С. 373. Вынужденные механические колебания.

Описание программы

Предлагаемая компьютерная программа позволяет наблюдать

различные виды колебаний груза на пружине: 1) гармонические (в

отсутствие затухания); 2) свободные (затухающие); 3) вынужденные

колебания под действием синусоидальной силы; 4) сложение

колебаний в двух взаимно-перпендикулярных направлениях. При

изучении одномерных колебаний (задания 1 – 3) программа выдаёт

график зависимости x(t) при заданных параметрах системы; для

двумерных колебаний (задание 4) – траекторию y(x) при различных

соотношениях частот и разностей фаз.

Программа позволяет изменять массу груза m; жёсткость

пружины k; коэффициент сопротивления r; амплитуду вынуждающей

силы F; частоту вынуждающей силы ν. Пределы изменения указанных

величин и шаг

изменения приведены в табл. 22к.1.

Таблица 22к.1

Параметры колебательной системы

m, г k, Н/м r, мН∙c/м F, H ν, Гц

Пределы изменения 100 – 200 5 – 20 0 – 50 0 – 10,0 0 – 10,0

Шаг изменения 1 1 1 0,1 0,1

Начальные условия: координата х

и скорость υ

устанавливаются

в пределах: от – 2,00 до 2,00 см с шагом 0,01 см и от нуля до 2,00 см/с

с шагом 0,01 см/с соответственно.

24 Шаг – наименьший интервал изменения.

Задание 1. Гармонические колебания

Основы теории

Если сопротивление в колебательной системе мало, то в

отсутствие внешних воздействий реальная система совершает

свободные колебания, близкие к гармоническим. Гармоническими

называют колебания, которые совершаются по закону синуса или

косинуса, например,

x = А∙cosωt, (22к.1)

где х – смещение колеблющейся точки от положения равновесия;

– амплитуда колебаний, или максимальное смещение (А = x

)

; ω –

угловая частота колебаний (ω = 2πν, или ω = 2π/T; ν =1/Т – частота;

Т – период колебаний); t – время; ωt – фаза колебания

Скорость найдём как производную смещения точки



= – Аω∙sinωt; ускорение – как вторую производную,

d 

, или как первую производную скорости

= – Aω

∙cosωt. (22к.2)

Из (22к.2) видно, что ускорение точки при гармонических

колебаниях пропорционально смещению и противоположно направ-

лено,

= – ω

∙х. (22к.3)

Рассмотрим колебания груза на пружине в отсутствие сил трения.

В выражении второго закона Ньютона



F = m a

равнодействующая

сила представлена только силой упругости F

упр x

= – k∙x. В проекции на

ось Х получим: – k∙x = ma

, или

=−

x .

Отсюда становится

ясным, что колебание груза на пружине есть гармоническое колебание

с угловой частотой

 =



, согласно условию (22к.3), и периодом

T =2 π



. (22к.4)

25 Буква А для сокращённого обозначения амплитуды колеблющейся величины (x

) приме-

няется только в случае механических колебаний.

26 В общем случае фаза φ (величина, определяющая состояние колебания) записывается как

φ = ωt + φ

, где φ

– начальная фаза. Необходимость указания начальной фазы в уравнении

колебания возникает, когда сравниваются два колебания со сдвигом фаз.

Выполнение задания 1

1. Задать значения массы и жёсткости, а также начальные условия:

смещение, х

и скорость υ

с помощью соответствующих прогрессба-

ров в рабочем окне программы (рис. 22к.1). Состояние кнопки

«2 эксперимент» изменить на «1 эксперимент», которое соответствует

программе изучения одномерных колебаний. (При повторном нажатии

возвращается прежнее состояние кнопки.)

2. Запустить программу кнопкой Начать эксперимент. Работа

программы, сопровождаемая показом на экране колеблющегося груза,

прекращается при попытке изменения состояния любого прогрессбара

левой кнопкой мыши. Исходные данные вместе с результатами

виртуальных экспериментов записывать в табл. 22к.2.

3. Провести 2 опыта для выяснения зависимости периода колеба-

ний от массы. Экспериментальное значение периода рассчитывается

по формуле Т

эксп

= N/t, где N – число колебаний, совершающихся за

время t.

4. Выяснить характер зависимости периода колебаний от жёст-

кости колебательной системы (2 опыта).

Рис. 32к.1. Рабочее окно программы

МодульРис. 32к.1. Рабочее окно программы

Рис.Раааачее

Начать эксперимент

0 1 2 3 4 5 6 7 t , с

◄ ►

Масса груза m

Жёсткость пружины k

Коэф. сопротивления r

Модуль вынужд.cилы F

Начальные

условия:

◄ ►

Частота вынужд.cилы ν

Параметры

системы:

Начальное смещение х

Начальная скорость υ

Печать

2 эксперимент

А, см

2,0

1,0

–1,0

–2,0

Рис. 22к.1. Рабочее окно программы «Одномерные колебания»

5. Сравнить экспериментальные значения Т

эксп

с предсказанными

теорией Т

теор

2 π



m/k

. Cделать вывод.

Таблица 22к.2

Результаты изучения гармонических колебаний

Начальное смещение x

=…. см; Начальная скорость , υ

= …. см/с;

Число колебаний N = ... .

m, г k, Н/м N t, c T

эксп

, c T

теор

, c

Задание 2. Свободные колебания при наличии сопротивления

(затухающие колебания)

Цель работы: выяснить зависимость характеристик свободных

колебаний: времени релаксации τ; коэффициента затухания β; периода

колебаний Т; логарифмического декремента Λ – от коэффициента

сопротивления; убедиться в справедливости закона изменения

амплитуды со временем A = A

∙e

и в том, что характеристики

свободных колебаний Т, β, Λ не зависят от времени.

Выполнение задания 2

1. Ввести коэффициент сопротивления, массу и жёсткость

колебательной системы. Запустить программу и произвести

измерения и вычисления характеристик затухающих колебаний: N, t,

T, A

, A, β, Λ на начальном участке осциллограммы. (Число колебаний

N выбирается в пределах от 3 до 5.) Результаты записать в табл. 22к.3.

Величины, не изменяемые в ходе данной работы, записываются в

верхнюю строку таблицы.

2. Повторить измерения и вычисления для следующих 3 – 5

колебаний той же осциллограммы. Результаты записать во вторую

строку таблицы.

3. Не меняя массы и жёсткости, увеличить (или уменьшить) в

несколько раз коэффициент сопротивления. Запустив программу,

произвести измерения и вычисления для первой, затем для второй

27 Теоретическое обоснование метода измерений см. в работе 20.

Резервировать не менее 5 строк таблицы

половины новой осциллограммы аналогично пп. 1, 2. Записать

результаты в третью и четвёртую строки таблицы.

4. Проанализировать результаты наблюдений и вычислений.

Сравнить экспериментальные значения коэффициента затухания β

эксп

теоретическими β

теор

2 m

, сделать выводы. Сравнивая Т

эксп

2 π



m/k

, убедиться, что имеет место неравенство: Т

эксп

> Т

(период свободных колебаний больше периода собственных

колебаний).

5. Для одного из четырёх проведённых опытов определить время

релаксации τ, число колебаний за время релаксации N

, коэффициент

затухания β

= 1/τ и логарифмический декремент колебаний Λ

= 1/N

Результаты записать в нижнюю строку таблицы. Сравнить значения:

а) коэффициентов затухания β

эксп

и β

; б) логарифмических декремен-

тов Λ и Λ

. Записать выводы.

Таблица 22к.3

Результаты изучения затухающих колебаний

Жёсткость пружины k = … Н/м; масса груза m = … г; Т

2π



m/k

= … с

r , мН∙c/м N t, c Т

эксп

, c A

, мм A, мм β

эксп

, с

-1

теор

, с

-1

= ...

мм; A

2,718

=... мм; τ = … с; N

= ... ; β

=...с

-1

; Λ

… .

Задание 3. Вынужденные колебания

1. Ввести параметры установки: m, k, r ; амплитуду вынуждаю-

щей силы F

и начальное значение её частоты ν

= 0; задать начальные

условия: x

, υ

. Записать исходные данные в табл. 22к.4.

2. Запустить программу. Записать полученное значение

амплитуды А.

28 Теорию вынужденных колебаний см. в описании работы 21.

3. Разбить весь частотный диапазон, допустимый программой,

на пять – семь участков и, изменяя частоту через равные интервалы,

получить не менее 5 значений амплитуды вынужденных колебаний на

разных частотах. Результаты записать в табл. 22к.4.

4. Построить диаграмму в координатах «Амплитуда вынужден-

ных колебаний – частота». Определить резонансную частоту ν

5. Вычислить резонансную частоту и амплитуду при резонансе по

формулам: ν

2 π



2

2 π



ω

−



4



где

β=

2 m

– коэффициент затухания;



k / m

– собственная

угловая частота данной системы; ω

= 2πν

; Ω

= 2πν

. Сравнить с

экспериментальными данными. Сделать выводы.

Таблица 22к.4

Результаты изучения вынужденных колебаний

Начальное смещение x

=…. см; начальная скорость, υ

= …. см/с;

Амплитуда вынуждающей силы F

= … Н.

ν, Гц

А, см

Задание 4. Двумерные колебания

1. По указанию преподавателя установить в рабочем окне (рис.

22к.2) разности начальных фаз и собственные частоты колебаний ν

(вдоль оси Х)

и ν

(вдоль оси Y). Рекомендованные значения

представлены в табл. 22к.5.

2. Выполнить четыре эксперимента с любыми комбинациями из

двух значений отношения частот ν

/ν

и двух значений разности фаз

и δ

, заданных преподавателем. Результаты записать в две строки

табл. 22к.5. Зарисовать получившиеся траектории, указывая на

масса груза m = … г;

жёсткость пружины k = … Н/м;

коэффициент сопротивления r = … мН∙c/м;

собственная частота ν

= … .

Параметры

системы:

рисунках значения величин ν

/ν

и δ; сравнить с фигурами Лиссажу,

представленными в рекомендуемой литературе.

Таблица 22к.5

Результаты исследования двумерных колебаний

, Гц ν

, Гц

/ν

(ν

/ν

)

эксп

= … рад δ

= … рад

3. Анализируя зарисованные фигуры Лиссажу, вычислить

отношения частот (ν

/ν

)

эксп

по формуле (17.9) и сравнить с теми

значениями ν

/ν

(табл. 22к.5), что были выбраны для эксперимента

из рекомендованных значений.

Отношение частот ν

/ν

: 1; 2; 3; 4; ½; ¼; ⅓; ⅔; ¾ .

Разность фаз δ, рад: 0; ¼π; ½π; ¾π; π; 2π.

Рекомендованные

значения:

Рис. 32к.1. Рабочее окно программы

МодульРис. 32к.1. Рабочее окно программычее

◄ ►

Рис. 22к.2. Рабочее окно программы «Двумерные колебания»

Печать

Собственная частота по горизонтали ν

... Гц

2 эксперимент

Начать эксперимент

◄ ►

Разность фаз (в единицах π) ...

0 1 2 3 4 5 6 7 t , с

Параметры

системы:

А, см

2,0

1,0

– 1,0

– 2,0

◄ ►

Собственная частота по вертикали ν

... Гц

Контрольные вопросы

Допуск

1. Значения каких величин рекомендуется вводить в компьютер при

выполнении заданий «Гармонические колебания», «Затухающие колеба-

ния», «Вынужденные колебания», «Двумерные колебания»?

2. Какие величины выдаёт машина в результате выполнения заданий

«Затухающие колебания», «Вынужденные колебания»?

3. Какие величины требуется вычислить собственноручно по окончании

работы компьютерной программы в заданиях «Гармонические колебания»,

«Затухающие колебания», «Вынужденные колебания», «Двумерные

колебания»?

4. Как определить частоту гармонических колебаний по осциллограмме,

где указан масштаб времени?

5. От каких параметров зависит период свободных колебаний груза на

пружине: а) в отсутствие затухания; б) при наличии сопротивления в

системе?

Защита

6. Определения и единицы величин: а) периода колебаний; б) частоты;

в) логарифмического декремента; г) коэффициента затухания.

7. Физический смысл величин: а) логарифмического декремента колеба-

ний; б) коэффициента затухания

8. Формула, раскрывающая физический смысл коэффициента затухания,

имеет вид β

= 1/τ. Записать закон, взятый за основу при выводе этой

формулы.

9. По каким трём признакам различаются резонансные кривые, получен-

ные при различных сопротивлениях в системе «груз на пружине» ?

10. *Каким образом по резонансной кривой можно определить доброт-

ность колебательной системы? Записать расчётную формулу.

11. Как определить соотношения: а) частот; б) амплитуд – по виду

траектории движения при двумерных колебаниях?

12. При каком соотношении частот и амплитуд тело, участвующее в

двумерных колебаниях, описывает: а) окружность; б) эллипс?

13. *Какова разность фаз слагаемых взаимно-перпендикулярных колеба-

ний, когда результирующее движение происходит по окружности вдоль

часовой стрелки?

14. При каком соотношении частот ν

/ν

траектория может иметь вид

«восьмёрки», расположенной вдоль оси Y?

29 См. также вопросы к работам 17, 20, 21.

Глава 2. ВОЛНЫ В УПРУГОЙ СРЕДЕ

Бегущие волны с точки зрения физики и математики

представляют собой выдающееся по значению и красоте

явление. …Волны описываются посредством физических

величин, отклонения которых от положения равновесия

изменяются в зависимости от координат и времени.

Волна представляет собой некое возмущение,

распространяющееся в той или иной среде, причём

среда при этом практически не перемещается.

Лабораторная работа 24

ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИНЫ ВОЛНЫ МЕТОДОМ СЛОЖЕНИЯ

ВЗАИМНО-ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Рекомендуемая литература

[1]. §13.6, 13.7. С. 304. Волны в упругих средах; §13.10. С. 313. Зву-

ковые волны в газах.

[3]. §5.7.4. С. 176. Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний.

Фигуры Лиссажу; §6.1.1, 6.1.2. С. 204. Характеристики волновых процес-

сов. Уравнение плоской гармонической волны.

[4]. §3. С. 68. Анализ результатов эксперимента и формулирование

выводов.

Основы теории

Распространение колебаний частиц сплошной среды называется

упругой волной. Волна называется продольной, если направление

колебаний частиц среды совпадает с направлением распространения

волны, а если частицы колеблются в плоскости, перпендикулярной

этому направлению, то – поперечной. Упругие волны с частотой от

16 Гц до 20 кГц воспринимаются человеком как звук. Звуковые волны

в воздухе являются продольными.

Распространение волны в упругой среде сопровождается перено-

сом энергии и импульса. Однако переноса массы (вещества) при этом

не происходит. Частицы среды не перемещаются вместе с волной, а

лишь колеблются около своих положений равновесия.

30 Крауфорд Ф. Волны. БКФ. Т. III /Ф. Крауфорд. – М.: Наука, 1976. – С. 11.

31 Купер Л. Физика для всех. Т. 1. Классическая физика/Л. Купер. – М.: Мир, 1974. – С. 229.