Гонтарь И.Н., Волчихина Н.И. Сопротивление материалов

Подождите немного. Документ загружается.

Анализируя полученные результаты, определим главные на-

пряжения:

321

ÌÏà;59;0ÌÏà;49

σ>σ>σ

−

б)

Определение положения главных площадок для напряжён-

ного состояния (см. рисунок 4.2).

Определим положение главных площадок по формуле (4.1):

0433;666,0

)50(40

302

)(

′

−=α−=

−−

⋅

−=

σ−σ

−=α

Площадки с напряжениями

è надо повернуть на угол

α = − 33°40′ по часовой стрелке.

в)

Определение экстремальных касательных напряжений (см.

рисунок 4.2).

Определим экстремальные касательные напряжения по форму-

ле (4.3):

ÌÏà.7,49304))50(40(

4)(

max/min

)(

±=⋅+−−±=

=τ+σ−σ±=τ

yxyx

5 Кручение

Пояснения к решению задачи 8 (см. приложение А)

Деформация прямого вала, вызываемая внешними парами сил,

действующими в плоскостях, перпендикулярных к оси вала, называ-

ется кручением. Моменты внешних пар называют

скручивающими

моментами m.

Внутренняя сила в сечении, возникающая под действием

внешних скручивающих моментов

m, называется крутящим момен-

том

M .

Крутящий момент М

по величине равен алгебраической

сумме всех внешних скручивающих моментов m, взятых по одну

сторону от сечения.

Знак крутящего момента физического смысла не имеет, и обще-

принятого правила знаков нет; однако для расчётов примем такое пра-

вило знаков:

крутящий момент М

в сечении считается положи-

тельным, если смотреть в сторону сечения, внешний скручиваю-

щий момент m вращается против часовой стрелки, и наоборот.

Для расчёта вала на прочность и жёсткость при кручении не-

обходимо знать величину крутящего момента

M в любом сечении

вала.

Закон изменения крутящих моментов по длине вала, представ-

ленный в виде графика (диаграммы), называется эпюрой крутящих

моментов. При построении эпюры крутящих моментов их величины

откладываются в определённом масштабе, при этом выше нулевой

линии положительные, ниже нулевой линии – отрицательные. Каж-

дая ордината

M даёт величину крутящего момента в соответст-

вующем поперечном сечении вала. В сечениях, где приложены со-

средоточенные внешние моменты

M , на эпюре

M получаются

«скачки», равные по величине внешним скручивающим моментам.

При кручении в поперечных сечениях вала возникают каса-

тельные напряжения, определяемые по формуле

ρ=τ

где

τ − касательное напряжение в точке на расстоянии ρ от центра

сечения;

M − крутящий момент в сечении;

− полярный момент инерции поперечного сечения.

Наибольшее касательное напряжение в сечении возникает в

крайних точках при

ρ = r

max

rÌ

êê

max

==τ

где

− полярный момент сопротивления;

− для круга

2,0

≈

= ;

− для кольца

(

)

(

)

434

12,01

ñdñ

−≈−

= ,

здесь

= (

d − внутренний диаметр вала).

Условие прочности вала состоит в том, что наибольшее каса-

тельное напряжение в опасном сечении не должно превышать до-

пускаемого касательного напряжения:

max

τ ≤ [τ].

Опасным сечением считается сечение, где

τ имеет максималь-

ное значение.

Пользуясь условием прочности, можно решить три типа задач:

1 Проверка прочности (проверочный расчёт):

[]

τ≤=τ

max

Для пластичных материалов [

τ] ≈ 0,5[σ

2 Подбор сечения (проектный расчёт):

[]

max

Тогда для сплошного круглого сечения

;

max

][

τπ

⋅

d .

3 Определение допускаемого крутящего момента

[

max

M ] = [τ] W

3 m

а)

в)

2 m

б)

, кНм

2 m

3 m

г)

Рисунок 5.1

Пример решения задачи 8

Построить эпюру крутящих моментов

M и из условия проч-

ности подобрать диаметры поперечных сечений вала (рисунок 5.1)

при следующих исходных данных: материал

− сталь 30;

= 300 МПа;

n = 2;

m = 1 кН⋅м.

Разбиваем вал на два характерных участка I и II, у которых

внутренние силы

и напряжения τ изменяются по одному закону

(рисунок 5.1,

а).

Из условия равновесия нахо-

дим реактивный момент в защем-

лении

∑

m ;

032 =−− mmm

;

Hмк55 == mm

Реактивный момент можно не

рассчитывать, если определять

крутящие моменты

M при взгля-

де со стороны свободного конца

вала на защемлённый

конец.

Реактивный момент можно

определить после построения эпю-

ры

M .

Реактивный момент будет ра-

вен величине «скачка» на эпюре в

сечении

А.

Пользуясь методом сечений,

определим крутящие моменты в

произвольном сечении каждого

участка, идя от свободного конца

вала.

Направление m

проставляем произвольно. После вычисления положи-

тельное значение m

указывает на верно выбранное направление.

I участок: ìêH33

⋅−=−= mÌ (рисунок 5.1,б).

II участок: ìêÍ5523

⋅−=−=−−= mÌ (рисунок 5.1,в).

По полученным данным построим эпюру

M (рисунок 5.1,г).

На эпюре

M видно, что в сечениях, где приложены сосредо-

точенные

скручивающие моменты m, получаются «скачки», равные

приложенным

, в том числе в сечении А «скачок» равен 5 кН⋅м,

т.е. реактивный момент

= 5 кН⋅м.

Определим диаметры вала

и d

Из условия прочности

[]

τπ

где

− диаметр вала на каждом участке;

− крутящий момент на каждом участке;

[

τ] − допускаемое касательное напряжение,

причём

[] [ ] [ ]

ÌÏà.150

300

,50

òò

=σ=τ σ

[τ] = 0,5[σ

] = 0,5 · 150 = 75 МПа.

[]

ì0,0588

10753,14

10316

⋅⋅

τπ

. Принимаем d

= 60 мм.

[]

ì0,0697

10753,14

10516

3II

⋅⋅

τπ

. Принимаем d

= 70 мм.

Пояснения к решению задачи 9 (см. приложение А)

Статически неопределимые задачи при кручении возникают в

том случае, если внутренние силовые факторы в заданной системе

не могут быть определены с помощью только уравнений равновесия

(статики). При решении таких задач необходимые дополнительные

уравнения составляются из условия совместности деформаций. Ме-

тод решения таких задач не отличается от метода решения статиче-

ски

неопределимых задач при растяжении (сжатии):

− составляют уравнение статики − сумма всех скручивающих

моментов сил (внешние моменты, включая реактивные моменты)

вокруг продольной оси

Z, равна нулю:

Σm

= 0;

− составляют дополнительное уравнение исходя из условия

деформаций элементов, входящих в систему, т.е. деформационное

уравнение с использованием второго выражения закона Гука:

=ϕ ; Σφ

= 0;

− решают совместно уравнение статики и деформационное

уравнение и определяют неизвестные реактивные моменты в задел-

ках, т.е. раскрывают статическую неопределимость;

− определяют величины внутренних сил (крутящих моментов)

по участкам и строят их эпюру.

Пример решения задачи 9

Определить, какая эпюра крутящих моментов соответствует

расчётной схеме (рисунок 5.2).

Рисунок 5.2

= 2 кН⋅м

I III II IV

а)

= 5 кН

⋅

м m

= 3 кН

⋅

1 1 1

─

В местах жёсткого защемления возникнут реактивные моменты

и m

Их направление выберем произвольно (рисунок 5.2,

а). После

их вычисления положительный знак укажет на правильно выбран-

ное направление. Разбиваем вал на участки

I, II, III, IV (см. рису-

нок 5.2,

а).

Составляем уравнения статики:

− m

+ m

− m

= 0;

− 2 − 5 + 3 + m

= 0;

− m

= − 4. (5.1)

Задача статически неопределимая, так как имеем одно уравне-

ние с двумя неизвестными. Составим дополнительное уравнение из

условия совместности деформаций (угол поворота сечения

В при

суммарных углах поворота каждого участка будет равен нулю):

0)(

∑

. (5.2)

Составим выражения крутящих моментов

M для каждого

участка, используя правило знаков:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

−++−=−++−=

++−=++−=

+−=+−=

−=

.352

;52

;

321

III

mmmmmÌ

mmmmÌ

mmmÌ

mÌ

(5.3)

Запишем уравнение (5.2), используя закон Гука

=ϕ :

III

ê1

=+++

PPPP

;

1)352(1)52(1)2(1

⋅−

−

⋅

−

⋅+−

⋅−

;

− m

+ 2 − m

+ 2 + 5− m

+ 2 + 5 − 3 = 0;

− 4 m

+ 13 = 0; кН25,3

m ⋅м.

Подставляя

в (5.1), получим:

− m

= −4; 3,25 − m

= −4; m

= −7,25 кН⋅м.

Статическая неопределимость раскрыта.

Реактивный момент получился со знаком «−». Следовательно,

его направление надо поменять (см. рисунок 5.2,

а).

Подставляя значение

в (5.3), получим

по участкам:

.мкН75,035225,3

;мкН25,35225,3

;мкН25,1225,3

;мкН25,3

III

⋅=−++−=

⋅=++−=

⋅−=+−=

⋅−=

Сравнивая все эпюры, можно видеть, что верная эпюра будет

под номером 1.

6 Изгиб

6.1 Построение эпюр

и расчёт на прочность балки

Пояснения к решению задачи 10 (см. приложение А)

а) Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

Поперечная сила

в сечении балки численно равна алгеб-

раической сумме проекций всех внешних сил, действующих по одну

сторону от сечения на ось Y, проходящую через центр тяжести

сечения.

считается положительной, если внешняя сила направлена

вверх для левой отсечённой части балки, и вниз − для правой отсе-

чённой части балки, как бы вращая обе отсечённые части балки по

часовой стрелке относительно оси Х, проходящей через центр тяже-

сти поперечного сечения; против часовой стрелки – отрицательной.

Изгибающий момент

M в поперечном сечении балки числен-

но равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, дейст-

вующих по одну сторону от сечения относительно оси Х, проходя-

щей через центр тяжести этого сечения.

M считается положительным для левой и для правой отсе-

чённых частей, если внешняя сила изгибает отсечённую часть балки

выпуклостью вниз; и отрицательным − если выпуклостью вверх.

Графики (диаграммы), изображающие законы изменения

M вдоль оси балки, называются соответственно эпюрой попереч-

ных сил

Q и эпюрой изгибающих моментов

M . При построении

эпюр

Q и

M положительные их значения в определённом масштабе

откладываются выше нулевой линии, а отрицательные – ниже.

б)

Подбор поперечных сечений балки из условия прочности.

Условие прочности по нормальным напряжениям для балок,

материал которых одинаково сопротивляется растяжению и сжатию,

имеет вид

][

max

σ≤=σ =

где

max

σ − максимальное нормальное напряжение;

Mmax – максимальный изгибающий момент (его величина

выбирается из эпюры

M для сечения, имеющего наибольшее зна-

чение

M );

[]

– допускаемое нормальное напряжение (его величина бе-

рётся такой же, как и при растяжении-сжатии);

max

= − осевой момент сопротивления сечения балки,

здесь

− осевой момент инерции;

max

y − координата наиболее удалённой точки от нейтральной оси.

Если нейтральная линия является осью симметрии, то

max

y = .

Эта формула используется для проверочных расчётов.

Для подбора размеров сечения балки (проектный расчёт) из

условия прочности определяют необходимую величину осевого мо-

мента сопротивления:

[]

max

≥

W (6.1)

Величина осевого момента сопротивления W

зависит от фор-

мы и размеров поперечного сечения, а также его расположения от-

носительно направления действующих нагрузок (системы коор-

динат).

Размеры площадей, величины осевых моментов инерции J и

осевых моментов сопротивления W для некоторых простых плоских

фигур (сечений) приведены в приложении Б.

Пример решения задачи 10

а) Построение эпюры поперечных сил

Q и изгибающих мо-

ментов

M для заданной балки (рисунок 6.1).

Определяем реактивные силы в опорах, направив их предва-

рительно вверх (рисунок 6.1,а):

Σ m

= 0;

Ра − R

2а + (q а) (2,5а) + m = 0.