Гонтарь И.Н., Волчихина Н.И. Сопротивление материалов

Подождите немного. Документ загружается.

− расчёты на действие ударных нагрузок.

Общий метод динамического расчёта основан на принципе

Д’Аламбера.

1 Основные механические характеристики

материалов при статических нагрузках

Пояснения к решению задачи 1 (приложение А)

На рисунке 1.1,

а представлена диаграмма растяжения стан-

дартного образца с первоначальным размером поперечного

сечения

и расчётной длиной l

Рисунок 1.1

Диаграмма на рисунке 1.1,а даёт возможность по известным

силам

и первоначальной площади поперечного сечения образца

определить механические характеристики материала, т.е. соответст-

вующие пределы напряжений:

а)

б)

∆l

0,2

пц

∆l

ост

∆

ïö

=σ

− предел пропорциональности (точка А);

=σ

− предел текучести (точки В−С);

2,0

=σ − предел текучести (условный) − это напряжение,

при котором остаточная деформация образца достигает 0,2 % рас-

четной длины

(рисунок 1.1,б). Условный предел текучести

2,0

σ определяют в том случае, если диаграмма растяжения для ис-

следуемого пластичного материала не имеет выраженной площадки

текучести;

max

=σ

− предел прочности (временное сопротивление,

точка

D) – это условное напряжение, соответствующее наибольшей

нагрузке, предшествующей разрушению образца;

=σ − истинное сопротивление разрыву. Это напряже-

ние, определяемое отношением нагрузки

P в момент разрыва (точ-

ка

K) к истинной площади F

поперечного сечения в месте разрыва.

Если процесс испытания остановить, например, в состоянии,

соответствующем точке

Н, и разгрузить образец, то линия разгрузки

пойдёт по линии

НН

(практически параллельно линии АА

). Этот же

процесс будет соответствовать любым точкам диаграммы.

Величина 0

− остаточная деформация

îñò

∆ ;

− упругая деформация

∆ ;

− полная деформация

l∆ .

Аналогично можно найти все виды деформаций для любой

точки диаграммы (см. рисунок 1.1,

а).

При повторном нагружении образца (для точки

Н) диаграмма

сначала пойдёт по прямой линии, практически совпадающей с лини-

ей

Н, а затем по кривой НDK.

По диаграмме растяжения можно определить соответствующие

напряжения (

ПЦ

, σ

), виды деформаций (упругая

∆

, остаточная

∆

ост

, полная ∆l). Кроме того, по диаграмме можно определить мо-

дуль упругости первого рода

Е испытываемого образца (по участку,

соответствующему закону Гука

− прямая линия 0А): σ = Е

⋅

ε.

Отсюда

∆

⋅=

т.е. для определения модуля упругости

Е необходимо замерить ве-

личины

P, F, l, ∆l или по диаграмме определить

и ε, соответст-

вующие

ïö

σ .

Пример решения задачи 1

По диаграмме на рисунке 1.2 определить предел пропорцио-

нальности

ïö

σ предел текучести ,

предел прочности ,

σ мо-

дуль упругости

Е, остаточную деформацию для точки А.

Предел пропорциональности

ïö

соответствует точке, где за-

канчивается прямая линия

− это точка K, что соответствует

ïö

σ =

= 150 МПа.

Предел текучести соответствует точкам

В и С, что соответст-

вует

= 200 МПа.

Предел прочности соответствует точке

D, это

= 400 МПа.

Рисунок 1.2

σ,

МПа

5 5

ε⋅10

100

300

200

150

Модуль упругости

1060

105,2

150

⋅=

⋅

−

Å МПа.

Остаточная деформация для точки

А: ε

ост

= 10 ⋅10

–3

Пояснения к решению задачи 2 (условия тестовой задачи 2 –

в приложении А)

При растяжении стержень удлиняется, его поперечные разме-

ры уменьшаются (рисунок 1.3).

бсо

лют

ное

уд-

ли-

не-

ние

или укорочение стержня

∆

l = l

– l.

Относительное удлинение или укорочение стержня

∆

=ε . (1.1)

Нормальное напряжение

=σ . (1.2)

Закон Гука, по которому существует прямая линейная зависи-

мость между нормальным напряжением

и относительной про-

дольной деформацией ε, имеет вид

= Еε , (1.3)

где

−

модуль упругости первого рода (модуль Юнга), который ха-

рактеризует физико-механические свойства материала.

Подставляя в выражение (1.3) зависимости (1.1) и (1.2), по-

лучим

=∆ . (1.4)

Изменение поперечного размера (абсолютная поперечная де-

формация)

∆

а = а

− а; ∆b = b

− b.

Рисунок 1.3

Относительная поперечная деформация

∆

==ε

′

При растяжении ε > 0, ε′ < 0; при сжатии ε < 0, ε′ > 0.

В границах применимости закона Гука относительная по-

перечная деформация пропорциональна относительной продольной

деформации и обратна ей по знаку:

ε′ =

−

ε (1.5)

или

− = ε

′

µ , (1.6)

где µ

− коэффициент Пуассона;

′

=µ .

Коэффициент Пуассона размерности не имеет, и его величина

для изотропных материалов колеблется в пределах 0

≤ µ ≤ 0,5.

Пример решения задачи 2

Определить относительную поперечную деформацию ε′ и дей-

ствующую силу

Р, если известны:

ε = 2

⋅10

−4

; µ = 0,35; Е = 2⋅10

МПа, F = 4 см

(рисунок 1.4).

Определим ε′ по формуле (1.5):

ε′ =

− µ ε = − 0,35 ⋅ 2 ⋅ 10

−4

= − 0,7 ⋅ 10

−4

Определим

Р по формуле (1.2):

=σ

или ,

=σ отсюда Р = σ F.

По формуле (1.3) σ = Eε.

Тогда

Р =

F = EεF.

Величины ε,

F, Е заданы по условию задачи:

ε = 2

⋅ 10

–4

; F = 4 см

= 4 ⋅ 10

мм

; Е = 2 ⋅ 10

МПа = 2 ⋅ 10

Н/мм

Р = EεF = 2 ⋅ 10

⋅ 2 ⋅ 10

−4

⋅ 4 ⋅10

= 16 ⋅ 10

Н = 16 кН.

Р = 16 кН.

Рисунок 1.4

2 Центральное растяжение и сжатие

Пояснения к решению задачи 3 (см. приложение А)

Растяжением или сжатием называется такой вид деформации

стержня, когда в его поперечных сечениях возникают внутренние

силы, равнодействующая которых направлена вдоль оси

Z стержня −

это нормальная (продольная) сила

При растяжении нормальная сила направлена по внешней нор-

мали к сечению, а при сжатии

− по внутренней.

Нормальную силу, соответствующую растяжению, считают

положительной, а сжатию

− отрицательной.

а) Построение эпюры

Из условия равновесия любой отсечённой части стержня нор-

мальная сила

N в каждом сечении численно равна алгебраической

сумме всех внешних сил, взятых по одну сторону от сечения.

Эпюрой нормальных сил

N называется график изменения этих

сил по длине стержня.

Штриховка на эпюре

N всегда должна быть перпендикулярна

продольной оси стержня, а следовательно, оси эпюры.

Ординаты эпюр, отложенные в определённом масштабе, долж-

ны сопровождаться числовой характеристикой, а поле эпюры знаком

плюс

«+» или знаком минус «−».

«Скачки» на эпюре

N возникают в сечениях, где приложены

сосредоточенные силы и по величине равны их значениям.

Аналогичным образом строятся эпюры нормальных напряже-

ний

σ, которые определяются по формуле

=σ ,

где

σ − напряжение в i-м сечении;

− внутренняя сила в i-м сечении;

F − площадь поперечного сечения в i-м сечении.

б) Подбор поперечного сечения из условия прочности.

Предельным, или опасным, напряжением

пред

называется

напряжение, при котором образец из данного материала разрушается

или в нём возникают недопустимые пластические деформации.

За предельные напряжения принимают:

− для пластичных материалов − предел текучести

òïðåä

=σ

или

0,2ïðåä

;

− для хрупко-пластичных материалов − условный предел те-

кучести

0,2ïðåä

;

− для хрупких − предел прочности

пред

Допускаемое напряжение

][

всегда меньше предельного

ïðåä

][

=σ ,

где

n − требуемый или заданный (нормативный) коэффициент запаса

прочности.

Для пластичных материалов

[]

=σ ;

для хрупких материалов

[]

σ = .

Величина

n зависит от многих факторов: физико-механических

свойств материала, разброса в величине предельного напряжения,

определяемого из опыта, точности применяемого метода расчёта,

характера конструкции, условий и срока её работы, характера и дос-

товерности определения действующих нагрузок и др. При выборе

требуемого коэффициента запаса прочности необходимо учитывать

имеющийся опыт эксплуатации аналогичных конструкций отрасли.

обычных расчётах величины n принимают в следующих пре-

делах:

= 1,4…2,0;

= 2,5…5,0.

Фактический коэффициент запаса прочности

max

ïðåä

где

max

σ − наибольшее напряжение (расчётное).

Условие прочности при осевом растяжении или сжатии имеет

вид

[

]

≤

max

;

для хрупких материалов в правой части условия при растяжении

−

[

], а при сжатии − [σ

сж

Если

max

σ превышает допускаемое не более чем на 5 %, то

прочность элемента считается достаточной, так как допускаемое на-

пряжение значительно меньше предельного.

Различают три вида расчёта на прочность.

1 Проверка прочности (проверочный расчёт):

][

max

σσ ≤=

По этой формуле можно установить, обеспечена ли прочность

при известных

N, F и ][σ .

2 Подбор сечения (проектный расчёт):

][σ

По этой формуле определяют необходимую площадь попереч-

ного сечения при заданных

N и ][

3 Определение допускаемой нагрузки: [

N] = ][

Пример решения задачи 3

а) Для стержня (рисунок 2.1,а) построить эпюру N.

Разобьём стержень на три участка (I, II, III), где нормальные

силы изменяются по одному закону (см. рисунок 2.1,

а).

Нормальную силу на каждом участке определяем методом се-

чений, проводя сечения, перпендикулярные оси

Z на каждом участ-

ке (1

−1, 2−2, 3−3).

Отбрасывая правые отсечённые части на каждом участке и за-

меняя их действие внутренней силой

, направим их в сторону по-

ложительного направления оси Z (рисунок 2.1,б,в,г).

Рассмотрим равновесия каждой отсечённой части на каждом

участке и определим

I участок: Σ

Z = 0; 3 кН − N

= 0; N

= 3 кН.

(Знак «

−» при N

показывает, что эта сила является сжимаю-

щей и направлена в противоположную сторону).

II участок: Σ

Z = 0; 3 кН −12 кН + N

= 0;

= 9 кН (сила растягивающая).

III участок: Σ

Z = 0; 3 кН − 12 кН + 18 кН − N

= 0;

= 9 кН (сила сжимающая).

Строим эпюру

N, откладывая относительно нулевой линии

N (кН), в масштабе: выше − положительные значения, а ниже − от-

рицательные (рисунок 2.1,

д). На эпюре N видны скачки в сечениях,

где приложены сосредоточенные силы, равные по величине этим

силам.

б) Из условия прочности подобрать безопасные размеры квад-

ратных сечений

ступенчатого стержня (см. рисунок 2.1) при сле-

дующих данных: материал

− сталь Ст3, σ

= 210 МПа, n

= 2.

Определим безопасные площади поперечных сечений для каж-

дой ступени стержня по формуле

[]

Значения

берём по эпюре N, ÌÏà.105

210

][ ===

Рисунок 2.1

3 кН

I II III

а)

12 кН 18 кН

9 кН

)

3 кН

в)

3 кН

12 кН

г)

3кН

12 кН

18 кН

д)

3 кН

9 кН

Поперечное сечение→