Гонтарь И.Н., Волчихина Н.И. Сопротивление материалов
Подождите немного. Документ загружается.
61
Знак «плюс», полученный в результате вычислений для усилия N
1
и N
2
, указывает на правильно принятые произвольно направления усилий
для стержней I и II. Найдены усилия N
1
= 93,4F (Н) и N
2
= 85,0 F (Н).
7 Нормальные напряжения в стержнях.
4,93
4,93
σ
1
I
I
===
∆
∆
F
F
F
N
Н/мм
2
= 93,4 МПа;
5,42
2
0,85
σ
2
II
∆
II
===
∆
F
F
F
N
Н/мм
2
= 42,5 МПа.
8 Определяем перемещение шарнира
В. Используем соотношение (4)
деформации
N
L
1
∆ и перемещения ВВ
1
.
N
L
1
∆ = ВВ
1
sin α.
47,0
7071,0102
2,7074,93
αsin102
4,93
αsinαsin
5
1
5
11
1
1I1
I
=
⋅⋅
⋅
=
⋅
==
∆
=
∆
F
LF
EF
LNL
BB мм.
В результате выполнения задачи определены:
− напряжения в стержнях системы от неточности изготовления одного
стержня. Напряжения в стержнях I и II
МПа4,93σ
∆
I
=
;
МПа5,42σ
2
=
∆
;
− перемещение узла
В: ВВ
1
= 0,47 мм.
9 Анализ результатов решения.
Определяем долю использования допускаемого нормального напря-
жения в процентах.
У стержня I
[]
%4,58%100
160
4,93
%100
σ
σ
%δ
I
=⋅=⋅=
∆
I
.
Резерв составляет 160 – 93,4 = 66,5 МПа или 41,6 % для сжатия от
других видов нагружения системы. Разрыв между пределом текучести и дей-
ствующим напряжением для стержня I составляет 240 – 93,4 = 146,6 МПа.
У стержня II
[]
%6,26%100
160
5,42
%100
σ
σ
%δ
II
II
=⋅=⋅=
∆
.
Резерв составляет 160 – 42,5 = 117,5 МПа или 73,4 % для растяжения.
Разрыв между пределом текучести и действующим напряжением для
стержня II составляет 240 – 42,5 = 197,5 МПа.
62
1.4.2 Расчёт статически неопределимой
стержневой системы при воздействии температуры
Расчёт на прочность стержневой системы с учётом изменения
температуры одного из стержней
Цель:
для стержневой системы (рисунок 1.4.2):
− определить температурные напряжения в поперечных сечениях
стержней, возникающие при отклонении эксплуатационной температуры
стержня I от нормальной t = 20 °С на ∆t = 30 °С;
−
определить величину коэффициентов запаса прочности по форму-
ле
)(σ
σ
T
T
t
n =
или
)(σ
σ
В
В
t
n =
. Сравнить их с коэффициентами [n
T
] и [n
В
];
−
сравнить действующие напряжения в стержнях с характеристика-
ми материала σ
Т
, σ
В
, [σ];
−
определить перемещение шарнира, соединяющего концы стержней
I и II с балкой;
−
выполнить анализ работы стержневой системы.
Данные для расчёта можно взять из задачи 1.4.1.
α
β
a b
q
III
a
P
B
Рисунок 1.4.2 − Заданная стержневая система
63
Порядок расчёта
1 Вычертить в масштабе расчётную схему.
2
Составить схему сил, действующих на отсечённую исследуемую
часть конструкции.
3
Составить уравнения статики для отсечённой части. Определить
степень статической неопределимости исследуемой части конструкции.
4
Вычертить схему перемещений жёсткой балки.
5
Составить уравнение совместности перемещений.
6
Раскрыть статическую неопределимость.
7
Определить напряжения, возникшие в стержнях конструкции, при
изменении температуры одного из стержней на ∆t ºC.
8
Определить вертикальное или горизонтальное перемещение шар-
нира
В.
9
Выполнить анализ работы стержневой системы, сравнив дейст-
вующие напряжения σ в стержнях с характеристиками материала σ
Т
, σ
В
и [σ]. Определить значение коэффициентов запаса прочности по формуле
Σ
=
σ
σ
T
T
n или
Σ
=
σ
σ
B
T
n ; сравнить их с коэффициентами [n
T
] и [n
В
].
10
Сделать заключение о прочности конструкции.
Пример выполнения
Исходные данные по номеру варианта____ .
Данные для расчёта приняты из таблиц 1.4.1, 1.4.2; схема по рисун-
ку 1.4.1 и из задачи 1.4.1.
Коэффициент температурного расширения первого стержня
λ = 12,5·10
–6
град
–1
принимаем по таблице 1.4.2;
материал первого стержня – сталь;
предел текучести σ
Т
I
= 240 МПа;
временное сопротивление σ
В
I
= 500 МПа;
модуль упругости Е
I
= 2·10
5
МПа;
материал второго стержня – сталь;
предел текучести σ
Т
II
= 240 МПа;
временное сопротивление σ
В
II
= 500 МПа;
модуль упругости Е
II
= 2·10
5
МПа;
коэффициент запаса прочности по пределу текучести [n
T
] = 1,5;
коэффициент запаса прочности по пределу прочности [n
В
] = 2,5;
площади поперечных сечений стержней F
1
= F, F
2
= 2F.
а = 0,5 м = 500 мм; b = 0,4 м = 400 мм; q = 10 Н/мм; Р = qа.
64
При решении задачи используем принцип суперпозиции, который по-
зволяет разделить поставленную задачу на независимые части. В первой
части определяем монтажные напряжения от неточности изготовления эле-
ментов системы, во второй части − температурные напряжения от измене-
ния температуры в отдельных элементах системы, в третьей части − напря-
жения от действия внешней
нагрузки. В итоге результаты решений первой,
второй и третьей частей можно суммировать алгебраически.
На рисунке 1.4.2.1 изображена заданная стержневая система к расчёту
на воздействие трёх факторов: монтажной неточности, влияния воздействия
переменной температуры и действия сосредоточенных и равномерно рас-
пределённых сил.
Расчёт выполняем только с учётом температурного фактора. Осталь-
ные факторы отбрасываем
, имеем:
∆ = 0 ; Р = 0; q = 0.
1 Вычерчиваем расчётную схему (рисунок 1.4.2.2) и вычисляем углы
α и β и длины стержней L
1
и L
2
. Эти данные приняты из задачи 1.4.1.
Расставляем опорные реакции.
Используя метод сечений, мысленно отделяем от системы нижнюю
часть для определения усилий N
1
и N
2
.
Отбрасываем верхнюю часть.
Действие отброшенной верхней части заменяем возникающими в рас-
сечённых стержнях I и II неизвестными внутренними усилиями N
1
и N
2
,
уравновешивающими исследуемую нижнюю часть системы.
α
β
a b
С
А
q
D
III
a
P
B
Рисунок 1.4.2.1 − Заданная стержневая система
Е
65
Вычерчиваем схему сил, действующих на отсечённую исследуемую
нижнюю часть конструкции (рисунок 1.4.2.3).
Определяем внутренние усилия и напряжения в стержневой системе
от изменения температуры в стержне
СB на ∆t.
Нагревание стержня
СВ вызовет его удлинение, которому препятст-
вует стержень
DB. Поэтому в стержне СВ появится внутреннее сжимающее
усилие N
1
, а в стержне DB – растягивающее усилие N
2
.
Рисунок 1.4.2.3 – Силовая схема отсечённой части конструкции
Z
A
Y
А B
α
β
Y
N
2
N
1
A
Z
●
●
III
Рисунок 1.4.2.2 – Расчётная схема стержневой системы
на действие температуры
α
β
a b
С
А
D
III
a
B
D
A
Y
A
Z
Z
Y
66
3 Составляем уравнения статики для отсечённой части. Определяем
степень статической неопределимости системы сил.
ΣZ = 0; – A
Z
+ N
1
cos α + N
2
cos β = 0; (1)
ΣY = 0; A
Y
–N
1
sin α + N
2
sin β = 0; (2)
ΣmomA = 0; – N
1
a sin α + N
2
a sin β = 0. (3)
1
Получили три уравнения с четырьмя неизвестными N
1
, N
2
, A
Y
, A
Z
.
Степень статической неопределимости:
ССН = n
н
– n
у
= 4 – 3 = 1.
Следовательно, рассматриваемая система один раз статически неоп-
ределима и для решения задачи требуется составить еще одно дополни-
тельное уравнение – уравнение совместности деформаций.
Оно получается при рассмотрении деформаций стержней конструк-
ции при действии температурного фактора.
4 Составляем схему перемещений, изобразив начальное положение
шарнира
В до приложения нагрузок и его новое положение при деформи-
рованном состоянии конструкции под влиянием температуры (рису-
нок 1.4.2.4).
Ввиду малости деформаций и перемещений считаем, что точка В пе-
реместится в положение В
1
по нормали к исходному положению радиуса
вращения
АВ (ВВ
1
⊥ АВ).
При совмещении концов стержней
СВ и DB с точкой В
1
описываемые
ими при повороте относительно шарниров C и D дуги, заменим прямыми
В
1
К
1
и В
1
К
2
, перпендикулярными к первоначальному направлению положе-
ния стержней I и II.
Отрезки
ВК
1
= ∆L
1
и BК
2
= ∆L
2
являются абсолютными удлинениями
стержней I и II.
При составлении схемы перемещений (см. рисунок 1.4.2.4) нужно
учитывать соответствие знаков деформаций (растяжение или сжатие)
стержней принятому направлению внутренних усилий N
1
и N
2
на схеме ри-
сунка 1.4.2.3.
1
При составлении уравнения моментов принимаем при вращении силы против
часовой стрелки момент положительным, т. е. со знаком «+».
67
Так, в рассматриваемом примере на рисунке 1.4.2.3 направления уси-
лий N
1
и N
2
показаны растягивающими и соответствующими тому, что на
схеме перемещений рисунка 1.4.2.4 стержни I и II изображены удлиняющи-
мися на величины ∆L
1
и ∆L
2
.
5 Составляем уравнение совместности деформации.
Рассматриваем геометрическую связь между перемещением шарни-
ра
В и деформациями ∆L
1
и ∆L
2
.
При нагреве под действием температуры стержень I растянулся бы на
величину
t
L
1
∆ , равную отрезку ВМ, если бы не был связан со стержнем II.
Рисунок 1.4.2.4 – Схема перемещения шарнира В и деформации стержней
от воздействия температуры
∆L
2
N
N
L
1
∆
t
L
1
∆
∆L
1
М
C
Y
I
α
В
1
К
2
В
К
1
Z
β
II
I
A
●
●
II
α
D
β
68
Но стержень II препятствует полному удлинению стержня I, так как
они оба связаны общим шарниром
В.
Поэтому действительное удлинение ∆L
1
стержня I меньше на величи-
ну отрезка
МК
1
, т. е. на величину упругого сжатия
N
L
1
∆ , которое создаётся
стержнем II.
Перпендикуляр
В
1
К
1
, опущенный из точки В
1
на направление стерж-
ня I, отсекает действительную величину ∆L
1
удлинения стержня I.
Тогда ∆L
1
=
t
L
1
∆
–
N
L
1
∆ . (4)
Перпендикуляр, опущенный из точки
В
1
на направление стержня II,
отсекает действительную величину деформации стержня II.
Величина отрезка
BК
2
составляет действительную деформацию ∆L
2
стержня II.
Тогда для стержня I по схеме рисунка 1.4.2.4 в треугольнике
ВК
1
В
1
ВК
1
= ∆L
1
=
t
L
1
∆ –
N
L
1
∆ = ВВ
1
sin α. (5)
В треугольнике
ВК
2
В
1
ВК
2
= ∆L
2
= ВВ
1
sin β. (6)
По схеме рисунка 1.4.2.4 видно, что концы стержней имеют общую
величину перемещения
ВВ
1
.
Из равенства (5) имеем соотношение перемещения конца стержня I
с его деформацией
αsin
11
1
Nt
LL
ВВ
∆−∆
= , из равенства (6) имеем
βsin
2
1
N
L
ВВ
∆
= ,
поэтому
βsin
∆
αsin
∆∆
211
NNt
LLL
=
−
. (7)
Получено недостающее деформационное уравнение, в котором упру-
гие деформации по закону Гука могут быть выражены через внутренние
усилия, а температурная свободная деформация по физической зависимости
ii
ii
N
i
FE
LN
L =∆ ; Е
1
и Е
2
= Е (материал стержней одинаковый);
t
L
1
∆ = λ (t °)L
1
∆t °.
βsin
αsinαsin
λ
2
22
1
111
EF
LN
EF
LNt)L(t
=−
°∆°
69
или
0
αsinβsin
sin
1
2
22
1
11
=
°
∆
°
λ
−+
t)L(t
EF
LN
αEF
LN
, (8)
где λ (t °) – коэффициент температурного расширения,
λ = 12,5 · 10
−6
град
–1
, ∆t ° = 30 °С.
По геометрическим соотношениям величин а и b схемы 1.4.2 находим
углы α и β; α = 45 º , β = 51 º.
мм1,707
45sin
500
αsin
1
====
o
а
СВL
;
мм4,643
51sin
500
βsin
DВ
2
====
o
а
L
.
6 Раскрываем статическую неопределимость. Определяем нормаль-
ные усилия в стержнях N
1
и N
2
. Решаем совместно систему уравнений (3)
и (8)
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
°∆°λ
−+
=+−
.0
αsinβsin
αsin
;0βsin αsin
1
2
22
1
11
21
t)L(t
EF
LN
EF
LN
aN aN
(9)
Из первого уравнения системы (9)
αsin
βsin
2
1
N
N =
. (10)
После подстановки (10) во второе уравнение системы (9) получаем
αsin
)(
βsin
αsin
βsin
1
2
22
2
1
12
°
∆
°
λ
=+
tLt
EF
LN
EF
LN
; (11)
αsinβsin2
βsinsin
2
2
2
1
21
2
LL
EFtL)(t
N
+
α
°
∆
°
λ
=
. (12)
Подставляя исходные данные в (12), вычисляем значение усилий в
стержнях I и II в зависимости от F
1
и F
2
:
2
22
2
56
2
78,24
7071,04,6437771,01,7072
7771,07071,0102301,707105,12
F
F
N =
⋅+⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=
−
(растяжение);
12
22
1
46,5423,27
7071,0
7771,07824
αsin
βsin
FF
F,N
N ==
⋅
==
(сжатие).
70
7 Температурные напряжения в стержнях
()
МПа
мм
Н
4654
4654
σ
2
1
1
1
1
I
,
F
F,
F
N
t
===
(сжатие);
()
МПа
мм
Н
7824
7824
σ
2
2
2
2
2
II
,
F
F,
F
N
t
===
(растяжение).
8 Определяем перемещения шарнира
В в горизонтальном и верти-
кальном направлениях.
Используя равенство (6), имеем перемещение
βsin
2
1
N
L
ВВ
∆
= :
мм41,0
7771,0102
4,64378,24
βsin102
4,64378,24
βsinβsin
5
2
5
2
2
222
I
=
⋅⋅
⋅
=
⋅
⋅⋅
==
∆
=
F
F
EF
LNL
BB
t
.
Перемещение шарнира
В происходит практически по вертикали вниз,
как показано на рисунке 1.4.2.3.
Величина перемещения
ВВ
1
= 0,41 мм.
Перемещение по горизонтали по малости деформаций можно не учи-
тывать, так как по условию балка абсолютно жёсткая.
Вывод
•
Температурные напряжения в стержнях I и II составляют долю
от допускаемого напряжения.
У первого нагретого стержня
[]
%0,34%100
160
46,54
%100
σ
σ
%δ
I
I
I
=⋅=⋅=
t
.
Резерв по сжатию 66 %.
У стержня II
[]
%5,15%100
160
78,24
%100
σ
σ
%δ
II
II
II
=⋅=⋅=
t
.
Резерв по растяжению 84,5 %.
•
Перемещение узла В составляет по сравнению с размерами элемен-
тов стержневой системы очень малую величину.
По отношению к размеру абсолютно жёсткой балки эта величина рав-
на
00082,0
500
41,0
δ
1
===
а
ВВ
, т. е. 0,08 % << 1 %.