Гонтарь И.Н., Волчихина Н.И. Сопротивление материалов

51

Таблица 1.4.2 – Физико-механические характеристики материалов стержней

Материал

Предел

текучести

σ

т

, МПа

Предел

прочности

σ

в

, МПа

Модули упруго-

сти

Е, G, МПа

Температур-

ный коэф. λ,

град

–1

1 2 3 4 5 6

Ст3 210 380

Ст4 240 420

Ст5 260 500

10 210 340

20 250 420

30 300 500

40 340 580

50 380 640

Сталь

40Х 650 730

Е = 2 · 10

5

G = 0,8 · 10

5

12,5 · 10

– 6

СЧ 15 –

σ

вр

= 120

σ

вс

= 500

СЧ 25 –

σ

вр

= 240

σ

вс

= 1000

Чугун

КЧ 30–6 σ

тр

= 190 σ

вр

= 300

Е = 1,5 · 10

5

G = 0,6 · 10

5

11,0 · 10

– 6

БрА5 160 380

БрАЖ9–4 220 600

Бронза

БрКМц3 -1 100 350

Е = 1 · 10

5

G = 0,37 · 10

5

16,0 · 10

– 6

Л 68 110 320

Латунь

ЛС 59–1 140 400

Е = 1 · 10

5

G = 0,36 · 10

5

20,0 · 10

– 6

Д16 290 440

Алюм.

сплавы

АЛ19 90 200

Е = 0,7 · 10

5

G = 0,26 · 10

5

24,0 · 10

– 6

52

Рисунок 1.4.1 − Схемы стержневых систем

K

II

7

а

b

I

с

K

Р

2

b

II

I

a

c

Р

q

1

I

a

II

b

c

K

Р

q

6

I

а

с

II

b

a

K

Р

q

Р

9

с

а

b

I

II

K

4

a

I

II

b

c

K

Р

q

10

a

I

II

b

c

K

Р

q

5

b

II

I

a

c

K

Р

q

3

а

b

I II

с

K

Р

q

8

II

а

b

I

с

a

K

Р

53

Рисунок 1.4.1 (продолжение)

12

c

III

a

b

K

Р

q

а

11

I

c

b

II

K

2а

Р

16

а

с

II

с

K

с

Р

q

I

17

II

с

а

b

K

Р

q

II

19

а

I

а

с

b

K

Р

14

II

с

b

I

с

b

K

Р

q

13

K

b

II

I

a

c

Р

q

18

b

I

а

II

с

K

Р

q

Р

20

b

II

b

а

I

с

K

q

15

q

b

Р

I

a

c

K

54

Рисунок 1.4.1 (продолжение)

21

q

II

с

b

I

а

K

Р

q

26

a

I II

b c

K

Р

23

Р

c

II

a

b

I

К

q

28

с

а

b

I II

K

Р

q

24

q

29

Р

а

с

II

I

а

K

b

I

II

K

a

b

с

Р

q

30

b

II

с

b

II

a

K

Рq

K

25

I

b

I

с

а

Р

22

a

III

b

c

K

Р

q

27

K

II

b

a

I

с

P

55

7 Определить напряжения, возникшие в стержнях конструкции, при

отклонении (до сборки) размера по длине одного из стержней от проектного

размера на ∆ мм. Определить допускаемые напряжения для каждого стерж-

ня. В расчётах принять допускаемый коэффициент запаса прочности для

пластичных материалов [n

T

] = 1,5; для хрупких – [n

В

] = 2,5.

8 Определить вертикальное или горизонтальное перемещение шарни-

ра «

В».

9 Провести анализ работы каждого стержня.

Определить долю действующего напряжения в процентах по отноше-

нию к допускаемому напряжению

[]

%,100

σ

%δ

I

∆

I

⋅=

[]

%.100

σ

%δ

II

∆

II

⋅=

Определить разрыв между пределом текучести и действующим на-

пряжением для пластичных материалов; в случае использования хрупкого

материала между действующим напряжением и пределом прочности.

Пример выполнения

Стержневая система состоит из абсолютно жёсткой балки, шарнирно

соединённой с двумя стержнями I и II. Стержень II изготовлен короче про-

ектного на ∆ = 0,5 мм (см. рисунок 1.4.1).

Требуется:

−

раскрыть статическую неопределимость;

−

определить монтажные напряжения в поперечных сечениях

стержней, возникающие при отклонении (до сборки) действительного раз-

мера стального стержня II от проектного на ∆ = 0,5 мм;

−

определить перемещение шарнира, соединяющего концы стержней

I и II с балкой.

Исходные данные по варианту № 31 приняты из таблиц 1.4.1, 1.4.2

и по рисунку 1.4.1.

Материал стержней I и II – сталь;

предел текучести σ

Т

= 240 МПа;

временное сопротивление σ

В

= 500 МПа;

коэффициент запаса прочности по пределу текучести [n

T

] = 1,5;

коэффициент запаса прочности по пределу прочности [n

В

] = 2,5;

допускаемое напряжение [σ] = 160 МПа;

модуль упругости Е

1

= Е

2

= Е = 2 · 10

5

МПа;

площади поперечных сечений стержней F

1

= F, F

2

= 2F.

56

По таблице 1.4.1: а = 0,5 м = 500 мм; b = 0,4 м = 400 мм; q = 10 Н/мм.

В первой части задачи (рисунок 1.4.1.1) расчёт выполняем только

с учётом монтажного фактора. Остальные факторы отбрасываем

P = 0; q = 0; ∆t

º = 0.

1 Вычерчиваем расчётную схему (рисунок 1.4.1.1.1).

В опорах прикладываем реактивные силы (для простоты и наглядно-

сти опоры не отбрасываем).

Расставляем опорные реакции.

По геометрической схеме заданной системы вычисляем углы α и β по

соотношениям известных размеров системы a и b. Вычисляем длины

стержней через найденные углы и размеры a и b.

Из треугольников

АВС и BDE находим углы α = 45

º и β = 51º и длины

стержней I и II – L

1

= 707,2 мм; L

2

= 643,4 мм.

Рисунок 1.4.1.1.1 – Расчётная схема стержневой системы

с отклонением размера стержня II на ∆ = – 0,5 мм

∆

B

βα

a b

С

А

D

III

a

A

Y

A

Z

Y

α

β

a b

С

А

q

D

III

a

P

B

Рисунок 1.4.1.1 – Заданная стержневая система

Е

57

2 Строим схему сил.

Действующий фактор – дефект стержня II, стержень изготовлен коро-

че на величину

∆ = 0,5 мм (см. рисунок 1.4.1.1.1).

Чтобы объединить концы стержней в шарнире

В необходимо к

стержню II приложить временную силу и с её помощью подтянуть стержень

к балке на месте монтажа.

Стержень I в процессе монтажа окажется в стеснённых условиях.

Предполагаем, что он будет испытывать сжимающие усилия.

В стержневой системе в результате возникших сжимающих и растяги-

вающих усилий в стержнях I и II, в опорах

A, C и D возникнут реактивные силы.

Применяем метод сечений к заданной конструкции для определения

усилий N

1

и N

2

.

Мысленно рассекаем стержневую систему на две части.

Отбрасываем верхнюю часть. Действие отброшенной верхней части

заменяем возникающими в рассечённых стержнях I и II неизвестными внут-

ренними усилиями N

1

и N

2

, уравновешивающими их реактивные силы А

Y

и

A

Z

нижней части системы (рисунок 1.4.1.1.2). Полагаем, что в дефектном

стержне II возникнут, видимо, растягивающие усилия.

3 Составляем уравнения статики для отсечённой части конструкции.

Определяем степень статической неопределимости

ΣZ = 0; – A

Z

+ N

1

cos α + N

2

cos β = 0; (1)

ΣY = 0; A

Y

– N

1

sin α + N

2

sin β = 0; (2)

ΣmomA = 0; – N

1

a sin α +N

2

a sin β = 0. (3)

1

При составлении уравнения моментов принимаем при вращении силы против

часовой стрелки момент положительным, т. е. со знаком «+».

Рисунок 1.4.1.1.2 – Схема внутренних усилий и реактивных сил

в отсечённой части

A

Y

А

B

Z

α

β

Y

N

2

N

1

A

Z

●

II

I

58

Получаем три уравнения с четырьмя неизвестными N

1

, N

2

, A

Y

, A

Z

.

Степень статической неопределимости: ССН = n

н

– n

у

= 4 – 3 = 1. Рас-

сматриваемая система один раз статически неопределима.

Для решения задачи составляем еще одно дополнительное уравне-

ние – уравнение совместности деформаций. Оно получается при рассмотре-

нии перемещений концов стержней по окончании монтажа конструкции.

4 Составляем схему перемещений, изобразив начальное положение

шарнира

В до приложения нагрузок и его новое положение при деформиро-

ванном состоянии конструкции после соединения стержней I и II с балкой

(рисунок 1.4.1.1.3).

Перемещения любых точек конструкции при действии эксплуатацион-

ных регламентированных факторов на конструкцию весьма малы по сравне-

нию с размерами самой конструкции, поэтому на схеме показываем их с от-

клонением от масштаба

в очень преувеличенном виде. По геометрической

Рисунок 1.4.1.1.3 – Схема перемещений шарнира В

и деформаций стержней

C

М

I

α

В

1

К

1

В

К

2

Z

β

II

I

A

α

●

II

∆

β

N

L

1

∆

D

∆

L

2

N

∆

Y

59

схеме рисунка 1.4.1.1.3 видно, что проектная длина стержня II равна отрез-

ку

DB. На схеме рисунка 1.4.1.1.3 видно, что его длина короче на величину

ВМ = ∆ = 0,5 мм. Чтобы смонтировать узел В стержень II в процессе монтажа

был предварительно вытянут на величину его абсолютной деформации

N

L

2

∆

.

Ввиду малости деформаций и перемещений считаем, что шарнир

В

переместится в положение

В

1

по перпендикуляру (ВВ

1

⊥ АВ) к исходному

положению балки, которая в геометрической схеме является радиусом вра-

щения

АВ с центром в точке А. При совмещении с точкой В

1

описываемые

концами стержней I и II дуги при повороте относительно шарниров

C и D

заменим перпендикулярами

В

1

К

1

и В

1

К

2

к первоначальному направлению

положения стержней I и II. Отрезок

ВК

1

=

N

L

1

∆

представляет собой абсо-

лютное укорочение стержня I. Отрезок

BК

2

есть разность между дефектом

∆ стержня II и абсолютным его удлинением

N

L

2

∆ , т. е. BК

2

= ∆ –

N

L

2

∆ .

При составлении схемы перемещений (см. рисунок 1.4.1.1.3) нужно

учитывать соответствие знаков деформаций (растяжение или сжатие)

стержней принятому направлению внутренних усилий

N

1

и N

2

на схеме ри-

сунка 1.4.1.1.2. Так, в рассматриваемом примере на рисунке 1.4.1.1.2 на-

правление усилия

N

1

показано сжимающим и соответственно этому на схе-

ме рисунка 1.4.1.1.3 видно, как укоротился стержень при сборке; усилие

N

2

на рисунке 1.4.1.1.2 показано растягивающим, соответственно на схеме пе-

ремещений стержень II изображен удлинённым на величину

N

L

2

∆

.

5 Составляем уравнение совместности деформации.

Рассматриваем геометрическую связь между перемещением шарнира

В

и деформациями ∆L

1

и

N

L

2

∆ .

Для стержня I по схеме рисунка 1.4.1.1.3 в треугольнике

ВК

1

В

1

ВК

1

=

N

L

1

∆ = ВВ

1

·sin α. (4)

В треугольнике

ВК

2

В

1

BК

2

=

N

L

2

∆

– ∆ = ВВ

1

·sin β. (5)

По схеме рисунка 1.4.1.1.3 видно, что концы стержней имеют общую

величину перемещения

ВВ

1

. Из равенства (4) имеем соотношение переме-

щения конца стержня I с его деформацией

sin

1

α

∆

=

N

L

ВВ

, из равенства (5)

имеем

βsin

2

1

N

L

ВВ

∆−∆

=

, поэтому

β

∆−∆

=

∆

sin

αsin

21

NN

LL

. (6)

60

Получено недостающее деформационное уравнение, в котором упру-

гие деформации по закону Гука могут быть выражены через внутренние

усилия

ii

N

i

FE

LN

L =∆

; Е

1

и Е

2

= Е (одинаковый материал стержней – сталь).

βsinβsin

αsin

2

22

1

11

EF

LN

EF

LN

−

∆

=

⋅

.

Сделав некоторые преобразования (приведём к общему знаменателю,

примем F

1

= F F

2

= 2F), получаем

αsinαsin2βsin2

2211

⋅

−

⋅

∆

=

⋅ LNEFLN

. (7)

6 Раскрываем статическую неопределимость. Решаем совместно сис-

тему из уравнений (3) и (7)

⎩

⎨

⎧

=∆−+β

=β+α−

.0αsin2αsinsin2

0 sin a sin

12211

21

EFLNLN

N aN

Из

уравнения (3)

αsin

sin

αsin

sin

22

1

β

=

β

=

N

a

aN

N

. (8)

Подставляя (8) в (7), получаем:

αsin2αsin

αsin

βsin2

22

1

2

EFLN

LN

∆=+ ;

αsin2)αsinβsin2(

2

1

2

EFLLN ∆=+

;

)αsinsin2(

αsin2

2

1

2

LL

EF

N

+β

∆

=

. (9)

Определена зависимость усилия N

2

от свойств материала Е стержня II,

его площади поперечного сечения F

2

=2F и геометрии стержневой системы

L

1

, L

2

, α и β. Подставляя исходные данные в (9), вычисляем значение уси-

лия в стержне II в зависимости от F .

(Н)0,85

)4,6437071,02,7077771,02(

7071,01025,02

22

25

2

F

N =

⋅+⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅

=

.

Определено усилие N

2

в зависимости от площади F и размерности

N

2

= 85,0 F(Н) (растяжение). Длины стержней приняты в миллиметрах.

Из первого уравнения системы (8) определяем усилие N

1

.

F

N

N 4,93

7071,0

7771,00,85

αsin

βsin

2

1

=

⋅

== (Н) (сжатие).

Гонтарь И.Н., Волчихина Н.И. Сопротивление материалов

Подождите немного. Документ загружается.