Гонтарь И.Н., Волчихина Н.И. Сопротивление материалов

Подождите немного. Документ загружается.

3 Разграничиваем длину стержня на характерные

участки. Определя-

ем внутренние продольные усилия N

Определяем положение границ характерных участков по длине стерж-

ня A, C, D, E, B, их количество и нумеруем их I, II, III, IV (рисунок 1.3.3).

В пределах каждого участка (рисунок 1.3.4) проводим произвольное

сечение, которое делит стержень на две части. В центре тяжести сечения

изображаем внутреннее усилие N

в предполагаемом произвольном направ-

лении. Полагаем направление положительным, если оно совпадает с поло-

жительным направлением оси Z, а усилие N

растягивающим, имеющим

знак «плюс», если оно направлено от сечения. Составляем равновесие од-

ной из отсечённых частей. В данном примере рассматриваем левые отсе-

чённые части. На рисунке 1.3.4 изображены положительные направления

внутренних усилий N

Записываем уравнения равновесия отсечённых частей стержня

Сечение:

на I участке – R

+ N

= 0;

на II участке – R

+ P

+ N

= 0;

на III участке – R

+ P

+ N

= 0;

на IV участке – R

+ P

+ N

= 0.

= R

; (2)

= R

– P

; (3)

= R

– P

; (4)

= R

– P

. (5)

Из уравнений равновесия определяем зависимость внутреннего уси-

лия N

от внешних сил.

Характер работы участков может изменяться при переходе через границу добав-

лением или уменьшением нагрузки (например, 2Р; 1,5Р; 8Р… и т. д.) от вида нагрузки,

действующей в заданных зонах участка (например, нагрузка сосредоточенными силами,

моментом, распределённой нагрузкой, равномерной или действующей по заданному зако-

ну), а также от размеров поперечного сечения стержня, изменяющегося по длине стержня.

Рисунок 1.3.3 – Распределение и положение границ участков

статически неопределимого стержня

0,5м

0,3м 0,6м

0,5м

I IIII IV

ЕDС

4 Составляем уравнение совместности деформаций.

Из условий закрепления увеличение (уменьшение) общей длины

стержня δ невозможно (см. рисунок 1.3.1), поэтому уравнение совместности

деформаций выражает алгебраическую сумму деформаций участков стерж-

ня и имеет вид

∆l

+ ∆l

+∆l

+ ∆l

= 0. (6)

Выражаем деформации в уравнении (6) через внутренние усилия N

по закону Гука –

l =∆

, поэтому для стержня, изготовленного из одного

материала, Е

можно обозначить через постоянную величину Е.

=+++

. (7)

0,5 м 0,3 м

0,6 м

0,5 м

I IIII IV

ЕDС

Рисунок 1.3.4 – Положение границ участков

и направления внутренних усилий N

стержня

В уравнении (7) сделаем замену усилий N

на соответствующие выра-

жения (2), (3), (4), (5).

(

)

(

)

(

)

αααα

4321

321

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅ EF

lPPPR

lPPR

lPR

. (8)

5 Раскрываем статическую неопределимость стержня, решая уравне-

ния (1) и (8).

Подставляя в (8) все известные величины, находим R

()

(

)

()

5001200060004000

60060004000

3004000

500

222

⋅−−−

⋅

−

⋅

−

⋅

AAA

= 9,862 кН.

Подставляя найденное значение R

в (1) находим R

− R

+ Р

– R

= 0. – 9,862 + 4,0 + 6 + 12 – R

= 0.

Откуда R

= 12,138 кН. Все неизвестные внешние силы найдены.

Статическая неопределимость раскрыта.

6 Вычисляем нормальные внутренние силы N

, подставляя найденное

значение внешней реактивной силы R

в уравнения (2), (3), (4), (5).

= 9,862 кН; в сечениях I участка действует растягивающее усилие;

= 5,862 кН; в сечениях II участка действует растягивающее усилие;

= – 0,138 кН; в сечениях III участка – сжимающее усилие;

= – 12,138 кН; в сечениях IV участка – сжимающее усилие.

и N

в результате вычислений получили знак «–», следовательно,

неправильно было выбрано предварительно направление внутренних сил.

При дальнейшем решении необходимо или поменять направления,

или подставлять N

и N

со знаком «–».

Строим эпюру N

(рисунок 1.3.5).

7 Сделаем проверку вычислений, подставив полученные значения

нормальных сил в уравнение (3) с учётом знаков растягивающих и сжи-

мающих усилий и заданных соотношений α

поперечных сечений стержня.

мм0

5,0138,12

6,0138,0

2,1

3,0862,5

5,0862,91

2222

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅−

⋅

Результат

проверки подтверждает правильность раскрытия статиче-

ской неопределимости.

В действительности конец стержня в точке В не может иметь переме-

щений, так как жёсткая заделка препятствует этому.

При проверке результат может несколько отличаться от нуля, так как ограничи-

ваемся третьим знаком после запятой. В арифметических подсчётах допускается по-

грешность Σ∆l

≤ 5 %.

9,862

5,862

0,138

12,138

─

64,10

26,94

0,897

78,89

─

Эпюра N, кН

Эпюра σ, МПа

Эпюра δ, мм

0,200

0,197

0,160

0,5м

0,3м

0,6м

0,5м

I IIII IV

ЕD С

Рисунок 1.3.5 – Эпюры N , σ и δ статически неопределимого стержня

8 Вычисляем приведённые нормальные напряжения σ

Выразим их через площадь сечения F

Значения сил N

принимаем по модулю.

862,9

⋅

α⋅

;

071,4

862,5

,FF

⋅

α⋅

;

1380

III

⋅

;

13812

⋅

По приведённым напряжениям видно, что опасный участок − четвер-

тый, так как

> σ

III

9 Из условия прочности и жёсткости определяем приведённый диа-

метр сечения опасного участка, так как на четвертом участке действуют

максимальные напряжения, используя зависимость

FF =

, т. е. для опас-

ного сечения

414

α⋅=α=

FF ,

где d

– приведённый диаметр.

Предварительно вычисляем допускаемое нормальное напряжение.

Используя коэффициент запаса прочности по текучести, получаем:

[]

МПа)3(,173

5,1

260

===

Принимаем [σ] = 170 МПа.

Используя коэффициент запаса прочности по временному сопротив-

лению, получим:

[]

МПа0,200

5,2

500σ

===

Принимаем [σ] = 200 МПа.

Из двух значений допускаемых напряжений окончательно принимаем

наименьшее

[σ] = 170 МПа.

Определяем диаметр d

из условия прочности.

Ус л о в и е прочности стержня

[]

σσ

max

≤=

Так как

⋅π

F , то

[]

απ

max

≤

⋅

Откуда

[]

мм54,9

114,3170

10138,124

απσ

1прочн

⋅⋅

⋅

≥=

dd .

Принимаем d

прочн

= 10 мм.

Определяем диаметр d

из условия жёсткости.

По закону Гука σ = E ε, или ε

= .

Ус л о в и е жёсткости

[] []

εε;ε

≤

⋅

=≤=

тогда

[]

мм9,13

1041012

121384

4522

жёстк1

⋅⋅⋅⋅⋅π

⋅

⋅α⋅π

⋅

≥=

−

dd .

Из найденных по условиям жёсткости и прочности диаметров выби-

раем наибольший d

= 14 мм.

10 Определяем площади F

сечений стержня по участкам.

Принимаем d

жёстк

= 14 мм.

мм86,1531

0,1414,3

=⋅

⋅

=α

222

212

мм56,2212,186,153 =⋅=α= FF

222

313

мм86,153186,153 =⋅=α= FF .

222

414

мм86,153186,153 =⋅=α= FF .

11 Определяем действительные напряжения σ

на участках и строим

их эпюры (см. рисунок 1.3.5).

МПа164Н/мм1,64

86153

108629

⋅

МПа9426Н/мм9426

56221

109685

⋅

МПа8970Н/мм8970

86153

101380

−=−=

⋅−

МПа8978Н/мм8978

86153

1013812

−=−=

⋅−

12 Находим величину продольной деформации ∆l

на каждом участке,

учитывая знак внутреннего усилия N

мм16,0

86,153102

10500862,9

⋅⋅

==∆

;

мм040,0

56,221102

10300862,5

⋅⋅

==∆

l ;

мм003,0

86,153102

10600138,0

−=

⋅⋅

⋅⋅−

==∆

l ;

мм197,0

86,153102

10500138,12

−=

⋅⋅

⋅⋅−

==∆

13 Найдём перемещения сечений A, C, D, E, B:

= 0, так как сечение А имеет жёсткую заделку;

= δ

+ ∆l

= 0 + 0,16 = 0,16 мм;

= δ

+ ∆l

= 0,16 + 0,04 = 0,20 мм;

= δ

+ ∆l

= 0,20 – 0,003 = + 0,197 мм;

= δ

+ ∆l

= +0,197 – 0,197 = 0.

Строим эпюру перемещений сечений A, C, D, E, B (см. рисунок 1.3.5).

Вывод

• Последовательность вычислений перемещений сечений A, C, D, E

и равенство нулю перемещения точки В указывают на правильность рас-

крытия статической неопределимости и правильность решения задачи по

определению напряжений, деформаций и безопасных размеров поперечных

сечений стержня.

• Принятые в результате расчёта размеры диаметров поперечных се-

чений стержня обеспечат его работоспособность, так как удовлетворяют ус-

ловиям прочности и жёсткости.

1.4 Расчёт на прочность статически неопределимой

стержневой системы

Расчёт на прочность статически неопределимой стержневой сис-

темы, загруженной внешними силами с учётом монтажных и темпера-

турных напряжений

При решении задачи используем принцип суперпозиции, который по-

зволяет разделить поставленную задачу на независимые части.

В первой части определяем монтажные напряжения от неточности из-

готовления элементов системы, во второй части − температурные напряже-

ния от изменения температуры в отдельных элементах системы, в третьей

части − напряжения от действия внешней нагрузки.

итоге результаты решений первой, второй и третьей частей можно

суммировать алгебраически.

На рисунке 1.4 изображена стержневая система к расчёту на воздей-

ствие трёх факторов: монтажной неточности, влияния воздействия пере-

менной температуры и действия сосредоточенных и равномерно распреде-

лённых сил.

b c

III

Рисунок 1.4 – Стержневая система с жёсткой балкой

1.4.1 Расчёт статически неопределимой

стержневой системы при отклонениях

монтажных размеров

Расчёт на прочность стержневой системы с учётом неточности из-

готовления по длине одного из стержней. Определение монтажных на-

пряжений

Стержень II изготовлен короче проектного размера на ∆ мм.

Цель: для стержневой системы, состоящей из абсолютно жёсткой

балки, шарнирно связанной с двумя стержнями I и II:

− определить монтажные напряжения в поперечных сечениях стерж-

ней, возникающие при отклонении (до сборки) действительного размера

стального стержня II от проектного на величину ∆ мм;

−

определить перемещение шарнира, соединяющего концы стержней

с балкой.

Данные для расчёта принять из таблиц 1.4.1, 1.4.2 и по рисунку 1.4.1.

Порядок расчёта

1 Вычертить в масштабе расчётную схему.

Составить схему сил.

Составить уравнения статики для отсечённой части. Определить

степень статической неопределимости исследуемой части конструкции.

Вычертить схему перемещений жёсткой балки.

Составить уравнение совместности перемещений.

Раскрыть статическую неопределимость.

Таблица 1.4.1 – Геометрические параметры и материалы стержней системы

Материал стержня

Вариант

а,

с,

кН

/м

∆

° С

∆,

мм

I стержень II стержень

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 0,5 2,5 0,9 2 10 + 45 – 2,5 Сталь Ст3 Чугун СЧ 15

2 0,7 2,3 1,1 2 12 – 30 + 2,0 Чугун СЧ 25 Сталь Ст5

3 0,9 2,1 1,4 2 10 + 15 – 1,5 Сталь 10 Чугун КЧ 30–6

4 1,1 1,9 1,5 2 20 – 20 +2,0 Бронза БрА5 Сталь 30

5 1,3 1,7 1,7 2 20 + 10 – 3,0 Сталь 40

6 0,8 1,0 1,2 2 24 – 15 + 2,0 Сталь Ст3

Бронза

БрАЖ9-4

7 1,2 0,5 1,8 2 20 + 15 – 1,5

Алюм. сплав

АЛ19

8 1,5 1,5 1,9 2 10 – 25 + 1,0

Бронза

БрКМц3-1

9 1,0 1,2 0,5 2 20 – 20 + 2,0 Бронза БрА5

Сталь 50

10 1,7 1,3 2,1 2 30 + 30 – 2,0 Сталь 20 Латунь Л 68

11 1,9 1,1 2,3 3 10 – 10 + 2,5

Латунь

ЛС 59–1

Сталь 40Х

12 2,1 0,9 2,5 2 12 + 20 – 1,0 Сталь Ст4

Алюм. сплав

АЛ19

13 2,3 0,7 2,7 5 10 – 45 + 3,0

Алюм. сплав

АЛ19

Сталь Ст3

14 2,5 0,5 2,5 3 20 + 25 – 1,0 Сталь Ст3 Чугун СЧ 15

15 1,0 1,1 1,9 2 20 – 20 + 2,0 Сталь 20 Латунь Л 68

16 2,7 0,5 1,5 5 24 – 15 + 1,5 Чугун СЧ 25 Сталь Ст5

17 1,0 2,3 1,4 3 20 + 20 – 1,5

Алюм. сплав

АЛ19

Сталь 50

18 2,9 0,5 1,0 3 10 + 10 – 2,0 Сталь 20

19 1,6 0,4 1,2 2 15 – 15 + 1,0 Сталь Ст4

Латунь Л 68

20 2,0 1,5 0,5 2 20 + 20 – 0,5 Бронза БрА5

Алюм. сплав

Д16

21 1,9 1,1 2,3 3 10 – 10 + 2,5 Сталь Ст3 Чугун СЧ 10

22 2,1 0,9 2,5 2 12 + 20 – 1,0 Чугун СЧ 25 Сталь Ст5

23 2,3 0,7 2,7 5 10 – 45 + 3,0 Сталь 10 Чугун КЧ 30-6

24 2,5 0,5 2,5 3 20 + 25 – 1,0 Бронза БрА5 Сталь 30

25 1,0 1,1 1,9 2 20 – 20 + 2,0 Сталь 40

26 2,7 0,5 1,5 5 24 – 15 + 1,5 Сталь Ст3

Бронза

БрАЖ9-4

27 1,0 2,3 1,4 3 20 + 20 – 1,5

Алюм. сплав

АЛ19

28 2,9 0,5 1,0 3 10 + 10 – 2,0

Бронза

БрКМц3-1

29 1,6 0,4 1,2 2 15 – 15 + 1,0 Бронза БрА5

Сталь 40Х

30 2,0 1,5 0,5 2 20 + 20 – 0,5 Сталь 20 Латунь Л 68