Гонтарь И.Н., Волчихина Н.И. Сопротивление материалов
Подождите немного. Документ загружается.
31
Пример выполнения
Стержень постоянного поперечного сечения защемлён обоими конца-
ми и нагружен продольными силами Р
i
(рисунок 1.2.1.1).
Цель:
− раскрыть статическую неопределимость;
− построить эпюры N
i
и ∆ L
i
.
Задачу решаем в алгебраическом виде.
Исходные данные по номеру варианта _______ из таблицы 1.2.1;
схема № ___ по рисунку 1.2.1( ___ ).
Внешние осевые силы: Р
1
= 2Р, Р
2
= Р , Р
3
= Р.
Расстояния между точками приложения сил: L
1
= L
2
= L
3
= L
4
= L.
Модуль упругости материала стержня Е.
Площадь поперечного сечения стержня F.
1.
Вычерчиваем расчётную схему (рисунок 1.2.1.2).
Рисунок 1.2.1.1 – Заданная схема стержня постоянного поперечного сечения,
нагруженного осевыми силами
P
3
P
2
P
1
L
1
L
2
L
4
L
3
Рисунок 1.2.1.2 − Расчётная схема стержня, нагруженного
осевыми активными и реактивными силами
Z
L
3
P
3
P
2
P
1
L
1
L
2
L
4
R
А
А
В
R
В
I II III IV
32
Так как стержень статически неопределимый, необходимо предвари-
тельно в местах закрепления определить значение реактивных сил, позво-
ляющих раскрыть неопределимость. Для этого на схеме в местах закрепле-
ния показываем неизвестные реакции
R
A
и R
B
с произвольными направле-
ниями. Определяем границы характерных участков
AC, CD, DE, EB.
2 Составляем уравнения равновесия всех активных и реактивных сил
(уравнения статики).
ΣZ = 0.
R
A
– Р
1
+ Р
2
+ Р
3
+ R
B
= 0. (1)
Относительно осей X и Y уравнения не могут быть составлены, так
как отсутствуют силы, действующие в направлении этих осей (перпен-
дикулярных к оси Z).
Получено одно уравнение (n
ур
) с двумя неизвестными (n
н
).
3
Определяем степень статической неопределимости.
Степень статической неопределимости (n
ССН
) определяется как раз-
ность между количеством неизвестных и количеством уравнений
n
ССН
= n
н
– n
ур
; n
ССН
=2 – 1 =1.
Степень статической неопределимости n
ССН
равна единице, следова-
тельно, система «стержень–опоры» один раз статически неопределима.
4
Составляем уравнение совместности деформаций.
Решение выполняем с использованием «основной» (рисунок 1.2.1.3)
и эквивалентной системы (рисунок 1.2.1.4).
Рисунок 1.2.1.3 − Основная система
Z
4L
R
А
А
В
Рисунок 1.2.1.4 − Эквивалентная схема стержня,
нагруженного осевыми активными и реактивными силами
Z
L
3
P
3
P
2
P
1
L
1
L
2
L
4
R
А
А
В
Х
С
D Е
33
«Основная» система получается из заданной путём освобождения от
лишней связи. Принимаем за лишнюю связь защемление в опоре
В.
Нагружаем «основную» систему заданными силами и накладываем
следующее условие эквивалентности её заданной системе: перемещение се-
чения
В в заданной и «основной» системах должно быть одинаковым, т. е.
∆
B
= 0.
В сечении
В приложим фиктивную неизвестную силу Х, величина ко-
торой будет удовлетворять условию эквивалентности (см. рисунок 1.2.1.4).
Перемещение ∆
В
в сечении В выразим через приложенные нагрузки,
применяя принцип независимости действия сил:
∆
В
= ∆
В
(X) +
∑
∆
n
iB
P
1
)(
= 0, (2)
где ∆
В
(Х) – перемещение сечения В от неизвестной силы Х; ∆
В
(Р
i
) – пере-
мещение сечения
В от каждой из известных сил Р
1
, Р
2
, Р
3
; уравнение (2 ) −
уравнение совместности деформаций.
Нагрузки, вызывающие сжатие, считаем отрицательными, а направле-
ние их действия противоположным направлению оси Z.
Выразим уравнение (2) через закон Гука
i
ii
i
EF
LP
L =∆
. Деформации по
закону Гука в зависимости от действия каждой силы, геометрических разме-
ров и модуля упругости материала стержня имеют следующее выражение:
()
E
F
LР
Р
В
11
1
=∆
; (3)
()
(
)
E
F
LLР
Р
В
212
2
+
=∆
; (4)
()
(
)
E
F
LLLР
Р
В
3213
3
+
+
=∆ ; (5)
()
(
)
E
F
LLLLX
X
В
4321
+
+
+
=∆
. (6)
Подставляя выражения (3), (4), (5), (6) в формулу (2) и заменяя сило-
вые и геометрические параметры на данные варианта задачи, в результате
преобразований получим:
0
43L2Р2
=
⋅
−
⋅
+
⋅
+
⋅
−=∆
EF
LX
EF
LР
EF
EF
LР
В
. (7)
34
5 Раскрываем статическую неопределимость. Решая совместно урав-
нения (1) и (7), находим
R
A
и R
В
.
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
⋅
−
⋅
+
⋅
+
⋅
−
=+++−
0
4322
;0
321
EF
LX
EF
LP
EF
LP
EF
LP
RPPPR
BA
Из уравнения (7) находим
РX
4
3
= , следовательно, РR
B
4
3
=
.
Из уравнения равновесия (1) находим
РR
А
4
3
=
. Таким образом, ста-
тическая неопределимость раскрыта – все внешние силы стали известными.
6 Определяем внутренние усилия N
i
методом сечения. В общем слу-
чае можно на каком-либо участке плоским сечением разделить стержень
на две части: левую и правую. Рассматривая равновесие одной из них при
действии внутренних N
i
и внешних Р
i
сил можно вычислить значение N
i
.
В данном примере рассматриваются левые отсечённые части.
На I участке N
1
= – R
A
=
PR
A
4
3
−=−
.
На II участке N
2
= – R
A
+ 2Р =
PPP
4
5
2
4
3
=+−
.
На III участке N
3
= – R
A
+ 2Р – Р =
PPPP
4
1
2
4
3
=−+−
.
На IV участке N
4
= – R
A
+ 2Р – Р – Р =
PPPPP
4
3
2
4
3
=−−+−
.
По полученным значениям строим эпюру нормальных усилий (рису-
нок 1.2.1.5).
7 Определяем перемещения граничных сечений
А, C, D, E, B.
Перемещение конца какого-либо участка равно сумме деформаций
предыдущих участков и его абсолютной деформации:
()
∑
⋅
+∆=∆
n
i
ii
-ii
EF
LN
1
1
.
35
Деформация сжатия считается отрицательной.
Перемещение сечения
А ∆
А
= 0.
Перемещение сечения
В ∆
В
= ∆
А
+
E
F
РL
E
F
LN
4
3
11
−=
.
Перемещение сечения
С ∆
С
= ∆
В
+
E
F
РL
E
F
РL
E
F
РL
E
F
LN
4
2
4
5
4
3
22
=+−=
.
Перемещение сечения
D ∆
D
= ∆
С
+
E
F
РL
E
F
РL
E
F
РL
E
F
LN
4
3
44
2
33
=+=
.
Перемещение сечения
E ∆
E
= ∆
D
+
0
4
3
4
3
44
=−=
E
F
РL
E
F
РL
E
F
LN
.
Строим эпюру перемещений по результатам полученных коэффици-
ентов (см. рисунок 1.2.1.5).
Рисунок 1.2.1.5 − Эпюры внутренних усилий
N
i
и перемещений ∆
E
F
PL
4
3
E
F
PL
4
2
Эпю
р
а ∆
Р
4
3
Р
4
5
Р
4
3
Р
4
1
Эпю
р
а
N
i
+
– –
Z
L
3
L
1
L
2
L
4
R
А
А
В
Х
D
С
E
P
3
P
2
P
1
I II III IV
3PL
4
E
F
36
Вывод
Построение эпюры перемещений ∆ является деформационной про-
веркой правильности вычислений. Равенство нулю перемещения концевого
сечения ∆
Е
показывает, что статическая неопределимость раскрыта верно.
1.3 Расчёт статически неопределимого стержня
переменного сечения
Расчёт на прочность и жёсткость статически неопределимого
стержня переменного сечения при центральном растяжении и сжатии
Стержень имеет жёсткое защемление по концам.
Цель: из условий прочности и жёсткости подобрать безопасные диа-
метры жёстко защемлённого стального стержня переменного сечения, на-
груженного сосредоточенными продольными силами (рисунок 1.3).
Данные для выполнения взять из таблиц 1.3.1 и 1.3.2.
Отношения между диаметрами поперечного сечения стержня на уча-
стках и площади поперечного сечения определяются по зависимостям
1
α
d
d
i
i
= ,
где i = 1, 2, 3, 4 и
2
1 ii
FF α= .
В расчётах принять n
Т
= 1,5 (для пластичных материалов);
n
В
= 2,5 (для хрупких материалов).
Рисунок 1.3 – Схема стержня переменного сечения,
жёстко защемлённого по концам
Z
P
3
P
2
P
1
l
3
l
4
l
2
l
1
d
4
d
2
d
1
d
3
37
Таблица 1.3.1 – Варианты исходных данных для Р
i
и α
i
1
Р
1
Р
2
Р
3
α
2
α
3
α
4
Вариант
кН
–
1 10 6 5 0,5 1,3 1,7
2 8 7 5 0,4 0,9 1,2
3 5 11 –8 1,0 1,0 1,2
4 10 –5 5 0,5 1,5 2,0
5 3 3 7 1,5 1,5 1,0
6 6 4 12 1,2 1,0 1,0
7 10 7 –5 1,3 0,8 1,0
8 8 6 6 0,6 0,6 1,5
9 –10 –5 5 0,5 0,8 0,7
10 8 10 5 0,6 1,0 1,0
11 6 –3 11 1,5 1,2 1,0
12 5 –1 –10 0,5 0,5 1,0
13 12 –8 –2 1,0 1,5 1,3
14 2 6 2 1,2 0,5 1,5
15 3 3 –10 1,5 0,5 0,7
16 –7 –2 11 1,0 1,0 1,5
17 5 –12 –5 1,2 1,5 0,5
18 –5 –2 –12 0,8 0,4 1,5
19 10 5 –5 0,5 1,5 2,0
20 3 0 –10 2,0 0,8 0,5
21 5 –12 8 1,5 1,0 0,5
22 4 –3 –12 0,8 0,5 1,2
23 3 0 –10 1,0 1,5 0,8
24 –4 3 12 0,5 0,5 1,2
25 –9 12 –11 1,2 1,0 1,0
26 –10 –5 –5 0,5 0,7 1,3
27 –10 5 –5 0,5 0,9 0,7
28 5 0 12 1,0 0,5 0,5
29 3 0 –15 1,5 0,8 0,5
30 10 –5 –5 0,5 1,5 0,6
1
Р
i
– внешняя осевая сосредоточенная сила; α – отношение диаметра стержня на
рассматриваемом участке к диаметру стержня первого участка; α
i
= d
i
/ d
1
.
38
Таблица 1.3.2 – Варианты данных: длины участков стержня L
i
; материал стержня
и допускаемая относительная деформация [ε
i
]
L
1
L
2
L
3
L
4
[ε
i
]
Вариант
м
Материал стержня
–
1 0,7 0,5 0,3 0,5 Бронза Бр. А5 4·10
–4
2 0,5 0,4 0,5 0,5 Сталь Ст. 3 3·10
–4
3 0,6 0,8 0,4 0,5 Латунь ЛС59-1 2·10
–4
4 0,5 0,3 0,6 0,5 Сталь Ст. 5 4·10
–4
5 0,2 0,3 0,3 0,4 Бронза КМц3-1 3·10
–4
6 0,7 0,2 0,3 0,5 Сталь 20 2·10
–4
7 0,5 0,5 0, 0,4 Латунь Л68 1·10
–4
8 0,4 0,6 0,2 0,3
А
люминиевый сплав АЛ13 3·10
–4
9 0,6 0,3 0,6 0,3
А
люминиевый сплав АЛ13 2·10
–4
10 0,4 0,8 0,6 0,2 Сталь 4 4·10
–4
11 0,8 0,4 0,6 0,6 Сталь 40Х 3·10
–4
12 0,2 0,4 0,6 0,7 Сталь 30 3·10
–4
13 0,7 0,2 0,3 0,5 Бронза КМц3 4·10
–4
14 0,5 0,5 0, 0,4 Алюминиевый сплав Д16 2·10
–4
15 0,4 0,6 0,2 0,3 Латунь Л68 1·10
–4
16 0,6 0,3 0,6 0,3 Сталь Ст. 3 3·10
–4
17 0,4 0,8 0,6 0,2 Алюминиевый сплав АЛ13 2·10
–4
18 0,8 0,4 0,6 0,6 Сталь Ст. 5 4·10
–4
19 0,2 0,4 0,6 0,7 Сталь 30 3·10
–4
20 0,6 0,8 0,4 0,5 Алюминиевый сплав Д16 2·10
–4
21 0,5 0,3 0,6 0,5 Бронза Бр. А5 4·10
–4
22 0,2 0,3 0,3 0,4 Сталь 20 2·10
–4
23 0,7 0,2 0,3 0,5 Латунь ЛС59-1 24·10
–4
24 0,5 0,5 0, 0,4 Сталь Ст. 5 4·10
–4
25 0,4 0,6 0,2 0,3 Бронза КМц3-1 3·10
–4
26 0,6 0,3 0,6 0,3 Сталь 20 2·10
–4
27 0,4 0,8 0,6 0,2 Латунь Л68 4·10
–4
28 0,8 0,4 0,6 0,6 Алюминиевый сплав АЛ13 2·10
–4
29 0,2 0,4 0,6 0,7 Сталь Ст. 5 4·10
–4
30 0,5 0,3 0,6 0,5 Сталь 30 3·10
–4
39
Порядок выполнения
1 Вычертить в масштабе расчётную схему с указанием активных и
реактивных внешних сил.
2 Составить уравнения статики. Определить степень статической не-
определимости (ССН).
3 Определить приведённые внутренние усилия N
i
в пределах каждого
участка.
4 Составить уравнение совместности деформаций.
5 Раскрыть статическую неопределимость стержня, решив совместно
уравнение статики и уравнение совместности деформаций.
6 Вычислить нормальные силы N
i
и построить их эпюру.
7 Выполнить проверку правильности вычислений.
8 Вычислить приведённый диаметр стержня по условию прочности и
жёсткости.
9 Вычислить площадь F
i
поперечного сечения на каждом участке
стержня.
10 Определить действительные напряжения σ
i
и построить их эпюру.
11 Вычислить величину продольной деформации ∆l
i
на каждом участке.
12 Определить перемещения сечений на границах участков вдоль
оси Z и построить эпюру перемещений.
13 Сделать выводы.
Пример выполнения
Стержень переменного поперечного сечения защемлён обоими кон-
цами в точках А и В и нагружен продольными силами. На рисунке 1.3.1 изо-
бражена заданная схема.
Цель: из условия прочности и жёсткости подобрать безопасные диа-
метры жёстко защемлённого стержня переменного сечения, нагруженного
сосредоточенными силами.
Исходные данные приняты по номеру варианта_____ из таблиц 1.3.1
и 1.3.2; схема № ____ по рисунку 1.3.
Z
P
3
P
2
P
1
d
4
d
3
d
2
d
1
l
3
l
4
l
2
l
1
А В
Рисунок 1.3.1 – Заданная схема стержня
40
Дано: Р
1
= 4 кН; α
1
= 1; l
1
= 0,5 м;
Р
2
= 6 кН; α
2
= 1,2; l
2
= 0,3 м;
Р
3
= 12 кН; α
3
= 1 ; l
3
= 0,6 м;
α
4
= 1 ; l
4
= 0,5 м.
σ
Т
= 260 МПа, σ
В
= 500 МПа, Е =2 ·10
5
МПа , [ε] = 4 ·10
–4
.
Принимаем коэффициент запаса прочности по текучести n
Т
= 1,5;
по временному сопротивлению – n
В
= 2,5.
1 Вычерчиваем расчётную схему.
Под действием внешних сил P
i
в местах закрепления стержня возни-
кают реакции. На расчётной схеме (рисунок 1.3.2) показываем замену опор-
ных закреплений стержня в точках А и В реакциями опор R
A
и R
B
.
На схеме указываем предполагаемое направление реакций.
2 Составляем уравнения статики. Определяем степень статической
неопределимости (ССН) стержня.
ΣZ = 0; − R
A
+ Р
1
+ Р
2
+ Р
3
– R
В
= 0. (1)
Получено одно уравнение с двумя неизвестными R
A
и R
В
. Лишнее не-
известное указывает на статическую неопределимость стержня.
Степень статической неопределимости определяется как разность ме-
жду количеством неизвестных n
н
и количеством возможных уравне-
ний n
у
. В данном примере n
н
= 2, n
у
= 1.
ССН = n
н
= n
у
= 2 – 1 = 1, т. е. система один раз статически неопределима
ССН = 1.
Таким образом, к уравнению статики (1) необходимо добавить ещё
одно недостающее уравнение.
Дополнительное уравнение можно составить на основе условий со-
вместности деформаций элементов (участков) системы. Для этого определя-
ем количество и границы участков стержня.
Рисунок 1.3.2 – Расчётная схема статически неопределимого стержня
Z
P
3
P
2
P
1
0,5м
0,3м
0,6м
0,5м
R
B
R
A
В А