Финаев В.И. Аналитические и имитационные модели

Подождите немного. Документ загружается.

Модель системы может быть задана также в виде

характеристической функции конечномерного

распределения последовательности

(Θ),X

(Θ), …, X

(Θ), Θ

≥0 >, i=1,n, n=1,2,...,

которая определяется формулой

, ,...,

ΘΘ Θ

∑

12 n

12 n k k

k=1

(u u ,...,u = Mexp{j X(Θ )u }ϕ

где M - символ математического ожидания, u

,...,u

вещественные числа.

Если существует плотность конечномерного

распределения, то модель в виде характеристической

функции является преобразованием Фурье плотности

распределения. Для одномерной случайной величины

характеристическая функция определится по формуле

)

∞

∫

-j t

F(j f(y)e dy

3.1.2. Корреляционные функции. Исчерпывающую

характеристику модели стохастического объекта в виде

случайной функции в широком смысле дает семейство

конечномерных распределений. Однако решение многих

теоретико-вероятностных задач зависит только от

небольшого числа параметров, характеризующих входящие

в задачу распределения. Наиболее важными числовыми

характеристиками распределений являются их моменты. В

теории случайных функций роль моментов распределений

играют моментные функции. Рассмотрим модели в виде

моментных функций для одномерной случайной величины.

Момент k–го порядка дискретной случайной величины

определяется по формуле

))

∑

i=1

M(X = x p(x

Для непрерывной случайной величины моментная

функция k–го порядка определяется по формуле

∞

∫

M[X ] x f(x)dx

Рассмотрим модели в виде моментных функций для

многомерной случайной величины.

Определение. Модель случайной функции X(Θ

), Θ

∈Θ

в виде моментной функции задается отношением

12 n

j ,j ,...,j 1 2 n

m(Θ ,Θ ,...,Θ )=

,[ ,...,[ }

12 n

=M{[X(Θ )] X(Θ )] X(Θ )]

если математическое ожидание в правой части равенства

имеет смысл при всех Θ

∈Θ, i=1,n. Величина q=j

+...+j

называется порядком моментной функции.

Если известны характеристические функции

конечномерного распределения, то моментные функции с

целочисленными индексами могут быть найдены с

помощью дифференцирования

12 n

Θ ,Θ ,...,Θ 12 n

j ,j ,...,j 1 2 n

jj j

12 n

dj (u ,u ,...,u )

m(Θ ,Θ ,...,Θ )=(-1)

du ,du ,...,du

при u

=…=u

=0.

Кроме моментных функций в качестве моделей часто

рассматривают центральные моменты функции.

Центрированной случайной величиной называется

случайная величина

)X=X-M(X

. Для непрерывной

случайной величины центральная моментная функция k–го

порядка определяется по формуле

∞

∫

M[X ] (x - M[X]) f(x)dx

Для многомерной случайной величины центральные

моменты функции определятся по формуле

12 n

j ,j ,...,j 1 2 n

m(Θ ,Θ ,...,Θ )=

,...,[ }

11 n n

=M{[X(Θ )-M[Θ ]] X(Θ )-M[Θ ]]

которые являются моментными функциями

центрированной случайной функции многих параметров.

Среди моментных функций особое значение имеют

функции первых двух порядков, которые могут иметь

обозначения:

m(Θ)=m

(Θ

)=MX(Θ),

(Θ

,Θ

)=m

(Θ

,Θ

)=M{[X(Θ

)–m(Θ

)][X(Θ

)–m(Θ

)]}.

Функции m(Θ) называются средним значением или

математическим ожиданием, а R

(Θ

,Θ

) - корреляционной

функцией. При Θ

=Θ

=Θ корреляционная функция дает

дисперсию σ(Θ) величины ε(Θ), R

(Θ

,Θ

)=σ

(Θ).

Величину

)Θ,)R(ΘΘ,R(Θ

)Θ,R(Θ

)σ(Θ),σ(Θ

)Θ,R(Θ

)Θ,r(Θ

2121

называют коэффициентом корреляции случайных величин

X(Θ

) и X(Θ

3.2. Классификация моделей случайных

процессов

Случайные процессы делятся на следующие широкие

классы: гауссовы процессы; процессы с независимыми

приращениями; стационарные в широком смысле;

марковские процессы.

3.2.1. Модели на базе гауссовых случайных функций.

Важную роль во многих прикладных вопросах играют

случайные функции, конечномерные распределения

которых являются гауссовыми (нормальными).

Определение многомерного гауссова распределения

следующее.

Определение. Случайный вектор X=(X

,X,...,X

) имеет

гауссово (нормальное) распределение, если

характеристическая функция распределения представима в

виде

ϕ(u)=M{eхр[j(u,x)]}=eхр[j(m,u)-0,5R(u,u)],

где m=(m

,…,m

), u=(u

,…,u

) - векторы, R -

неотрицательно-определенная вещественная симметричная

матрица, R=||r

||, i,j=1,n. Здесь (α,β) обозначает скалярное

произведение векторов α и β, так, что

)

∑

k=1

(m,u = m u

)

∑

i=1

j=1

R(u,u = r u u

3.2.2. Модель процессов с независимыми

приращениями.

Пусть T - конечный отрезок T=[0,a] или

T=[0,∞].

Определение

. Случайный процесс {X(t), t∈T} со

значениями в евклидовом пространстве R

называется

процессом с независимыми приращениями, если для

любых n, таких, что 0<t

<...<t

, случайные векторы X(0),

X(t

)-X(0),...,X(t

)-X(t

n-1

) - взаимно независимы.

Вектор X(0) называется начальным состоянием

(значением) процесса, а его распределение - начальным

распределением процесса. Чтобы задать процесс с

независимыми приращениями в широком смысле,

достаточно задать начальное распределение

(B)=Р{X(0)∈B} и набор распределений Р(t,h,B) -

распределений вектора Р{X(t+h)-X(t)}∈B.

Процесс с независимыми приращениями называется

однородным, если распределения вектора X(t+h)-X(t) не

зависят от t, Р(t,h,B)=Р(h,B).

3.2.3. Модель процессов, стационарных в широком

смысле.

Стационарные процессы - это такие процессы,

теоретико-вероятностные характеристики которых не

изменяются со временем. Пусть T=[0,a] или T=[0,∞).

Определение. Модель случайного процесса (в широком

смысле) {X(t), t∈T} со значениями в R

называется

стационарной, если для любого n и любых t

,...,t

, таких,

что t

+t∈T, (k=1,n), совместное распределение случайных

векторов, описывающих случайный процесс

X(t

+t),...,X(t

+t), не зависит от t.

Имеются задачи, относящиеся к теории стационарных

процессов, решение которых может быть выражено через

моменты первого и второго порядков рассматриваемых

процессов, т.е. многие задачи можно решать, находя

моменты первого и второго порядков. Целесообразно

определить класс процессов, моменты первого и второго

порядков которых обладают свойствами стационарности.

Определение. Случайный процесс X(t), t>0 со

значениями в пространстве R

называют процессом,

стационарным в широком смысле, если M[X(t)]

<∞ и

M[X(t)]=m=сonst, M[X(t)-m][X(s)-m]=R(t-s), (t>s), где R(t)

- непрерывная матричная функция.

Функцию R(t) называют корреляционной (матричной)

функцией процесса X(t). В качестве примера стационарных

в широком смысле процессов можно рассмотреть

колебания со случайными параметрами.

3.3. Модели марковских процессов

Наибольшее распространение в теории систем, как

вероятностная схема описания, получили марковские

процессы, представляющие собой типичную

вероятностную модель «без последействия».

Представим себе систему, которая может находиться в

разных состояниях. Возможные состояния образуют

множество Х, называемое фазовым пространством. Пусть

система эволюционирует во времени. Состояние системы в

момент времени t обозначим через х

. Если х

∈B, где B∈Х,

то будем говорить, что система в момент времени t

находится во множестве B. Предположим, что эволюция

системы носит стохастический характер, т.е. состояние

системы в момент времени t не определяется однозначно

через состояние системы в моменты времени s,

предшествующие t, где s<t, а является случайным и

описывается теоретико-вероятностными законами.

Пусть Р(s,х,t,B) - вероятность события х

∈B (s<t), при

условии, что х

=х. Функцию Р(s,х,t,B) называют

вероятностью перехода рассматриваемой системы. Под

системой без последействия понимают систему, для

которой вероятность попадания в момент времени t во

множество B, при полностью известном движении системы

до момента времени s (s<t), по-прежнему равна Р(s,х,t,B) и,

таким образом, зависит только от состояния системы в

последний момент времени.

Обозначим через Р(s,х,u,y,t,B) условную вероятность

события х

∈B при гипотезах х

=х, х

=y (s<u<t). В

соответствии с общими свойствами условных вероятностей

имеет место равенство

∫

u,dy)t,B)P(s,x,P(s,x,u,y,P(s,x,t,B)

. (3.3)

Для системы без последствия естественно

предположить, что

Р(s,х,u,y,t,B)=Р(u,y,t,B).

Тогда равенство (3.3) примет вид

∫

dy)u,x,B)P(s,t,y,P(u,B)t,x,P(s,

. (3.4)

Соотношение (3.4) называется уравнением

Колмогорова−Чепмена. Это уравнение определяет модель

марковского процесса.

Пусть {Х,B}-некоторое измеримое пространство.

Функцию Р(х,B), х∈Х, B∈B, удовлетворяющую условиям:

а) Р(х,B) при фиксированном х является мерой на B и

Р(х,Х)=1

;

б) при фиксированном B Р(х,B) является B - измеримой

функцией от х будем называть стохастическим ядром.

Пусть I - некоторый конечный или бесконечный

полуинтервал (отрезок). Семейство стохастических ядер

{Р

(х,B)=Р(s,х,t,B), s<t, (s,t)∈I×I}, удовлетворяющих

уравнению Колмогорова-Чепмена (3.4), будем называть

марковским семейством стохастических ядер.

Определение. Моделью марковского процесса в

широком смысле называется совокупность следующих

объектов:

- измеримое пространство {х, B};

- полуинтервал I (отрезок) действительной оси;

- марковское семейство стохастических ядер {Р

(х,B),

s<t

, (s,t)∈I×I}.

Семейство ядер Р

(х,B)=Р(s,х,t,B) называют

вероятностью перехода марковского процесса,

пространство {х,B} - фазовым пространством системы,

точка множества I интерпретируется как моменты времени,

а величина Р

(х,B)=Р(s,х,t,B) - как условная вероятность

того, что система в момент времени t окажется во

множестве B, если в момент времени s она находилась в

точке х фазового пространства (s<t).

Дискретные случайные процессы, обладающие

марковскими свойствами, называются цепями Маркова. В

фазовом пространстве простейшими марковскими

процессами являются процессы со счетным или конечным

числом состояний. В фазовых пространствах выделяются

следующие классы марковского процесса.

Скачкообразные процессы. Система, попадая в

некоторую точку фазового пространства, проводит в ней

случайный положительный отрезок времени, после чего

скачком случайно попадает в другую точку фазового

пространства.

Процессы с дискретным вмешательством случая. Эти

процессы моделируют динамическую систему, траектории

которой в случайные моменты времени терпят разрывы

первого рода со случайными скачками.

Диффузионные процессы. Так называют процессы в

конечномерных линейных пространствах, которые на

малых промежутках времени ведут себя аналогично

процессу броуновского движения.

Марковские процессы в конечномерном

пространстве

, аппроксимируемые на малых промежутках

времени произвольным процессом с независимыми

приращениям.

4. ИМИТАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ

4.1. Понятие статистического моделирования

При определении методов статистического

моделирования применяют название «метод Монте-Карло».

Определение, которое характеризует этот метод достаточно

точно и полно, не существует. Известно, что этот метод

всегда связан со случайными испытаниями. Все расчеты по

методу Монте-Карло заключаются в случайной выборке из

некоторой «генеральной совокупности» в соответствии с

определенными вероятностными законами. Метод Монте-

Карло появился в 1949 году. В этом году вышла в свет

статья «The Monte Carlo method» американских авторов

Metropolis N. и Ulam S. Создателями этого метода считают

математиков Дж. Неймана и С. Улама [10].

В Советском Союзе первые статьи о методе Монте-

Карло были опубликованы в 1955-1956 годах. Однако

следует отметить, что теоретическая основа метода была

известна давно, и некоторые задачи статистики

рассчитывались с помощью случайных выборок, что

соответствовало идее метода Монте-Карло. Но до

появления ЭВМ метод не мог найти широкого применения,

т.к. моделирование случайных величин вручную

представляет собой трудоемкую работу.

Название «Монте-Карло» происходит от города Монте-

Карло в княжестве Монако, знаменитого своим игорным

домом, т.к. рулетка служила простейшим механическим

прибором для получения случайных величин.

Первоначально метод успешно применялся для решения

задач ядерной физики - переноса нейтронов, расчета

критичности ядерных реакторов, задач защиты от

излучений и других. Широкое применение данного метода

при решении различных задач началось с развития

вычислительной техники, особенно при появлении

персональных ЭВМ.

Метод Монте-Карло имеет две отличительные

особенности. Первая заключается в простоте структуры

вычислительного алгоритма - многократного повторения

одного случайного испытания. Так как испытания являются

независимыми опытами, то результаты всех испытаний

усредняются. В связи с этим метод иногда называют

методом статистических испытаний. Вторая особенность

состоит в зависимости точности метода от числа

испытаний N. Метод достаточно эффективен при решении

задач, не требующих высокой точности, например, в

пределах 5-10%. Метод статистического моделирования

позволяет решать как детерминированные, так и

вероятностные задачи [11].

4.2. Датчики случайных чисел

Для имитации случайных событий необходим

некоторый эталон, т.е. то, с чем можно что-то сравнить.

Известно, что наука существует там, где есть измерения.

Отсутствие измерений приводит к схоластике, лженаукам.

В мире существуют эталоны для измерения времени,

расстояния, веса и прочее. Такой же эталон должен

существовать и в ЭВМ для «измерения» вероятности

случайного события. Начало созданию подобного эталона

было положено в шестидесятых – семидесятых годах

прошлого столетия. Создавались специальные устройства –

датчики (генераторы) случайных чисел или случайных

величин, авторы которых получали авторские

свидетельства на эти устройства. Ученые издавали статьи,

книги, посвященные этой проблеме. Однако существовало