Финаев В.И. Аналитические и имитационные модели
Подождите немного. Документ загружается.
71
На рис. 4.7 приведен алгоритм теста частот. Рассмотрим
его работу.
WIWOD
10
0
I=0, A=0
CEN(X)
4
3
1
0
WWOD
1
X
≤
A
6
OPRHI
9
Начало
N=N+1
2
I=I+1, A=A+1/m
5
K[I]=K[I]+1
7
Конец
1
N<NZ
8
Рис. 4.7
В подпрограмме WWOD осуществляется ввод исходных
данных для моделирования:
N=0 - начальный такт
72
моделирования; NZ - заданное число тактов моделирования
(число опытов); m – число интервалов разбиения отрезка
[0,1]. В подпрограмме WWOD также осуществляется
обнуление необходимых для работы идентификаторов и
счетчиков.
В блоке 2 происходит наращивание тактов
моделирования. В блоке 3 датчиком случайных чисел
генерируется число Х. Затем это число Х сравнивается с
правыми границами интервалов разбиения отрезка [0,1].
Для этого в блоках 4 - 6 организован цикл по переменной I
и сравнение числа Х с числом А, которое последовательно
принимает значения: 1/m, 2/m, 3/m, …, m/m.
При выполнении условия Х≤A содержимое
соответствующего счетчика увеличивается на единицу (см.
блок 7).
В блоке 8 осуществляются проверки выполнения числа
опытов. Если датчик псевдослучайных, квазиравномерно
распределенных чисел выполнил генерацию заданного
числа опытов NZ, то в блоке 9 происходит вычисление
случайной величины χ
2
.
В подпрограмме WIWOD (см. блок 10) на экран дисплея
выводятся значения случайной величины χ
2
, счетчиков
K[I], в которых подсчитаны частоты n
i
, а также могут быть
выведены гистограммы эмпирических частостей
*
i
P
=n
i
/N=K[I]/NZ, как это показано на рис. 4.8.
На рис. 4.8 приведены гистограммы для заданного числа
опытов NZ =10000. Очевидно, что форма гистограммы
частот должна совпадать с формой гистограммы частостей,
т.к. эмпирические частости определяются по формуле
*
i
P
=K[I]/NZ.
73
K[4] K[3] K[2] K[1] K[6] K[5] K[8] K[7] K[10] K[9]
Гистограмма частот
Случайная величина
χ
χ
2
2
=12,68
960
985
970
1035
1030
1020 1020
950
980
1050
Р
4
* Р
3
* Р
2
* Р
1
*
Р
6
* Р
5
* Р
8
* Р
7
* Р
10
* Р
9
*
Гистограмма частостей
0,96
0,985
0,97
0,1035
0,103
0,102 0,102
0,95
0,098
0,105
Рис. 4.8
Тесты пар частот. Пусть датчик псевдослучайных,
квазиравномерно распределенных чисел генерирует
последовательность чисел Х
1
,Х
2
,...,Х
N
. Рассматриваются
последовательные пары случайных чисел. Квадрат со
сторонами [0,1] на [0,1] делится на m
2
частей, как это
показано на рис. 4.9.
Если пары образовать в виде (Х
1
,Х
2
), (Х
3
,Х
4
)..., то
каждая пара случайно попадает в одно из m
2
делений
квадратной таблицы. Пары
(Х
1
,Х
2
), (Х
3
,Х
4
)... взаимно
независимы и результат их попадания в одно из
m
2
делений
74
квадратной таблицы оценивается эмпирической частотой
n
ij
.
1 2 3 m
m
3
1
2 n
21
…. …. …. ….
1
0
n
11
1
….
n
12
n
13
n
1m
….
….
….
….
n
2m
n
3m
n
mm
n
31
n
m1
n
22
n
23
n
33
n
32
n
m3
n
m2
Рис. 4.9
Если рассматривать теоретическое равномерное
распределение случайной величины на отрезке [0,1] и
образование из чисел таких же пар, то теоретические
вероятности попадания в каждый из m
2
делений
квадратной таблицы одинаковы и равны значению 1/m
2
.
Для проверки согласия по данному тесту пар частот
датчика псевдослучайных, квазиравномерно
распределенных чисел и теоретического равномерного
распределения полученные эмпирические частости 2n
ij
/N,
(i,j=
m,1
),
)
2
N
m
1ji,
ij
n( =
=
∑
сравнивают с теоретическими
вероятностями 1/m
2
. Согласие проверяется по критерию χ
2
,
т.к. случайная величина
75
∑
=
−=
m
1ji,
2
))
2
(2mN
ij
(n)N
2
2m(
2
χ
(4.8)
распределена по закону
χ
2
с (m
2
-m) степенями свободы, где
N/2 - объем выборки пар случайных величин,
генерированных датчиком псевдослучайных,
квазиравномерно распределенных чисел. На рис. 4.10
приведен алгоритм для рассмотренного теста пар частот.
0
1
0
WWOD
1
X
≤
A
6
OPRHI
Начало
N=N+1
2
CEN(X)
3
I=0, A=0
4
I=I+1, A=A+1/m
5
K[I,J]=K[I,J]+1
11
WIWOD
14
Конец
1
N<NZ/2
12
1
0
X
≤
B
10
CEN(X)
7
J=0, B=0
8
J=J+1, B=B+1/m
9
13
Рис. 4.10
В подпрограмме WWOD осуществляется ввод исходных
данных для моделирования:
- N=0 - начальный такт моделирования;
76
- NZ - заданное число тактов моделирования;
- m - число интервалов разбиения отрезка [0,1],
происходит обнуление необходимых для работы
идентификаторов и счетчиков.
В блоке 2 происходит наращивание тактов
моделирования. В блоке 3 датчиком случайных чисел
генерируется число Х. Затем в блоках 4 – 6 определяется
индекс I. В блоке 7 датчиком случайных чисел
генерируется второе число Х (тем самым образована
пара
(Х
1
,Х
2
)). В блоках 8 – 10 определяется индекс J.
В блоке 11 в счетчиках K[I,J] осуществляется подсчет
частот попадания случайных пар (Х
k
,Х
р
) в
соответствующие деления квадратной таблицы. В блоке 12
осуществляются проверки выполнения числа опытов. Если
датчик псевдослучайных, квазиравномерно
распределенных чисел выполнил генерацию заданного
числа опытов NZ/2, то в блоке 13 происходит вычисление
случайной величины
χ
2
. В подпрограмме WIWOD (см.
блок 14) на экран дисплея выводятся значения случайной
величины
χ
2
, счетчиков K[I,J], значения эмпирических
частостей
*
ij
P
=2n
ij
/N=2K[I,J]/NZ. Генерируемая выборка в
данном методе используется неэффективно. Можно пары
образовать в следующем виде (Х
1
,Х
2
),(Х
2
,Х
3
),(Х
3
,Х
4
),... .
Этот метод образования пар более эффективен, т.к.
полнее использует выборку чисел, но из-за зависимостей
пар случайная величина
χ
2
определится по формуле
=−−−
==
∑∑
22
mm
2
mNmN
2
χ
(n ) (n )
ij i
2
NNm
m
i,j 1 i 1
], (4.9)
где
=
=
∑
m
nn
ii
j
j
1
.
77
Случайная величина
χ
2
будет определена
распределением
χ
2
с (m
2
-m) степенями свободы.
На рис. 4.11 приведен алгоритм для рассмотренного
теста пар частот с эффективным использованием выборки.
1
0
WWOD
1
X
≤
A
5
OPRHI
Начало
N=N+1
6
CEN(X)
2
I=0, A=0
3
I=I+1, A=A+1/m
4
K[I,J]=K[I,J]+1
11
WI WOD
15
Конец
1
0
N<NZ/2
13
1
0
X
≤
B
10
CEN(X)
7
J=0, B=0
8
J=J+1, B=B+1/m
9
14
I=J
12
Рис. 4.11
78
В данном алгоритме в блоке 2 генрируется число
Х
1
, а
затем в блоках 3 - 5 определяется индекс
I. В блоке 6
происходит наращивание тактов моделирования. В блоке 7
датчиком случайных чисел генерируется число
Х. В блоках
8 – 10 определяется индекс
J (тем самым образована пара
(Х
1
,Х
2
)). В блоке 11 в счетчиках K[I,J] осуществляется
подсчет частот попадания случайных пар в деления
квадратной таблицы. В блоке 12 индексу
I присваивается
значение индекса
J. При N=2 будет образована пара (Х
2
,Х
3
)
и т.д.
4.4. Имитация случайных событий
Пусть события S
1
, S
2
,..., S
m
образуют полную группу
несовместимых событий, каждое из которых может
произойти с вероятностью
Р
i
, причем
1
m
1i
i
Р =
=
∑
. Это
означает, что в результате одного опыта может произойти
лишь одно из событий
S
1
, S
2
,..., S
m
. Рассмотрим метод и
алгоритм имитации данных случайных событий.
Разбиваем отрезок
[0,1] на m частей длиной Р
1
,Р
2
,...,Р
m
,
при этом точки деления отрезка имеют следующие
координаты:
m
1i
P
m
A ..., ;
2
P
1
P
2
A ;
1
P
1
A 0;
0
A
i
∑
=
=+===
,
как это показано на рис. 4.12.
0
Р
1
1
….
А
1
А
2
А
3
А
m
Р
2
Р
3
Р
m
Рис. 4.12
79
Имитация осуществляется следующим образом. Пусть
теперь
Х - очередное число от датчика псевдослучайных,
квазиравномерно распределенных чисел, который далее
для упрощения будем называть генератором случайных
чисел. Если число генератора А
k-1
≤Х<А
k
, то считаем, что
произошло событие
S
k
. Действительно
Р(S
k
)=Р(A
k-1
<Х<A
k
)=A
k
-A
k-1
=Р
k
.
Алгоритм имитации несовместимых событий S
1
, S
2
,...,
S
m
, образующих полную группу, рассмотрим для случая
m=5
. Схема алгоритма приведена на рис. 4.13.
1
0
WWOD
1
X
≤
A
1
4
Начало
N=N+1
2
CEN(X)
3
Событие S
1
K[1]=K[1]+1
5
Конец
1
0
N<NZ
13
1
0
X
≤
A
2
6
Событие S
2
K[2]=K[2]+1
7
1
0
X
≤
A
1
8
Событие S
3
K[3]=K[3]+1
9
1
0
X
≤
A
1
10
Событие S
4
K[4]=K[4]+1
11
Событие S
5
K[5]=K[5]+1
12
Рис. 4.13
80
На каждом такте моделирования случайное число
Х
сравнивается со значениями А
1
, А
2
, А
3
, А
4
, А
5
в блоках
4, 6, 8, 10 соответственно.
Если случайное число
Х≤А
1
, то произошло событие S
1
и
содержимое счетчика
K[1] увеличивается на единицу. Если
случайное число
Х≤А
2
, то произошло событие S
2
и
содержимое счетчика
K[2] увеличивается на единицу и т.д.
События
S
1
, S
2
,..., S
m
могут образовывать неполную
группу несовместимых событий. Если событие
S
i
происходит с вероятностью
Р
i
, то для этих событий
1
m
1i
i
Р ,1
m
1i
i
Р <
=
≠
=
∑∑
.
Для имитации событий
S
1
, S
2
,..., S
m
, образовывающих
неполную группу, необходимо ввести дополнительное
событие
S
0
, с которым связано непоявление ни одного из
вышеперечисленных событий. Вероятность события
S
0
определится по формуле
∑
=
−=
m
1i
i
Р1P
0
. После введения
события
S
0
имитация неполной группы событий
осуществляется по аналогии с рассмотренной выше
имитацией событий
, образующих полную группу
несовместимых событий.
Рассмотрим ситуацию, когда осуществляется имитация
зависимых событий. Событие
В будет зависеть от события
А, если после наступления события А событие В может
произойти с условной вероятность
Р(В/А).
Метод и алгоритм имитации рассмотрим на примере.
Пусть события
S
1
, S
2
, S
3
, S
4
образуют полную группу
независимых событий. Если происходит событие
S
1
, то с
вероятностью
Р(U
1
/S
1
)=Р(
11
) может произойти событие
U
1
. Если происходит событие S
2
, то с вероятностью
Р(H
1
/S
2
)=Р(
12
) может произойти событие H
1
и с