Финаев В.И. Аналитические и имитационные модели

Подождите немного. Документ загружается.

алфавитом. При поступлении параметра х состояние

конечного автомата изменяется в соответствии с

одношаговой функцией переходов, например:

z(t)=ϕ[z(t-1),х(t)] или z(t)=ϕ[z(t),х(t)],

а выходной параметр y(t) определяется функцией выходов,

которая может иметь следующие виды задания:

y(t)=ψ[z(t),х(t)]; y(t)=ψ[z(t-1),z(t) х(t)]; y(t)=ψ[z(t-1), х(t)].

Функции переходов и выходов могут быть заданы

теоретико-множественным способом, табличным способом

и в виде графов. Рассмотрим пример задания конечного

автомата.

Пусть Х={х

,х

}, Z={z

}, Y={y

Функция переходов для данного автомата задана в виде

табл. 2.1, а функция выходов вида y(t)=ψ[z(t),х(t)] – в виде

табл. 2.2.

Таблица 2.1

Функция переходов

Таблица 2.2

Функция выходов

При задании функции переходов на пересечении i–й

строки и

j–го столбца указывается состояние z

, в которое

переходит автомат при подаче входного параметра х

такте времени t, при условии, что в такте времени t-1

автомат находился в состоянии z

На рис. 2.4 приведено графическое задание функции

переходов рассматриваемого автомата.

Рис. 2.4

Автомат в процессе своей работы реализует

отображение множества слов (последовательность

параметров) входного алфавита Х на множество слов

выходного алфавита Y. Если на вход конечного автомата,

установленного в начальное состояние z

, подать

последовательность букв входного алфавита х(t

), х(t

х(t

),…, то на выходе автомата будут последовательно

появляться буквы выходного алфавита y(t

), y(t

),…

В зависимости от способа заданий функций переходов и

выходов, автоматы подразделяются на автоматы первого и

второго рода. Для автомата первого рода, называемого

автоматом Мили, функция переходов имеет вид

z(t)=ϕ[z(t),х(t)], а функция выходов - y(t)=ψ[z(t),х(t)].

Для автомата второго рода функция переходов имеет

вид: z(t)=ϕ[z(t),х(t)], а функция выходов - y(t)=ψ[z(t-

1),х(t)]

Автомат второго рода, функция выходов которого

определяется его состоянием - y(t)=ψ[z(t)], называется

автоматом Мура.

По числу состояний различают конечные автоматы с

памятью и без памяти. Автоматы с памятью имеют более

одного состояния, а автоматы без памяти обладают лишь

одним состоянием. Автоматы без памяти называют

комбинационными или логическими схемами. Функция

выходов такого автомата - y(t)=ψ[х(t)].

Если множества Х и Y состоят из двух параметров, то

функции переходов и выходов называются булевыми

функциями.

Рассмотрим примеры моделирования систем в виде

конечных автоматов.

Пример 1. Автомат для продажи билетов в автобусах

принимает монеты достоинством в 1,2 и 5 рублей и выдает

билеты стоимостью 5 рублей. Рассмотрим конечный

автомат Мили с множеством состояний Z=(0,1,2,3),

входным алфавитом Х=(1,2,5) и выходным алфавитом

Y=(0,1), где 0 соответствует ситуации «билет не выдается»,

а 1 – ситуации «билет выдается».

Функция переходов ϕ(t) определяется соотношением

Z(t)=(z(t-1)+х(t))mod5,

а функция выходов ψ(t) – соотношением

(

)

(

)

()()

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

0, z t -1 + x t < 4,

1, z t -1 + x t > 4.

Пример 2. Хранилище склада материально-

технического снабжения состоит из стеллажей,

предназначенных для хранения материальных ценностей.

Изделия i-й номенклатуры хранятся в i-м стеллаже

(i=1,2,…,n). Содержание стеллажей изменяется в моменты

времени поступления на склад новых изделий

потребителям. Такое хранилище можно представить в виде

конечного автомата Мура. В качестве состояний выберем

n-мерный вектор Z=(Z

,…,Z

), где Z

- число изделий на

i-м стеллаже.

Выходной сигнал – (n+1) – мерный вектор Х=(Х

,Х

,…,

,μ), где Х

- число изделий i-й номенклатуры,

поступивший на склад или выданный потребителю. При

поступлении изделий на склад μ=1, а при выдаче изделий

потребителю μ= -1. Выходной сигнал представляет собой

n–мерный вектор Y=(Y

,…,Y

), для которого Y

(t)=Z

(t)

– информация о состоянии стеллажей.

Функция переходов определена соотношением

(t)=Z

(t-1)+μх(t),

а функция выходов определена соотношением

(t)=Z

(t).

На рис. 2.5 приведен алгоритм программы

моделирования конечного автомата, функция выходов

которого имеет задание z(t)=ϕ[z(t-1),х(t)], а функция

переходов - y(t)=ψ[z(t),х(t)]. Функция переходов задается в

подпрограмме WWOD в виде массива FР(i,j), значения

которого определены индексом k состояния z

, в которое

переходит автомат при подаче входного параметра х

такте времени t, при условии, что в такте времени t-1

автомат находился в состоянии z

Все входные параметры

сформированы

Вывод состояния k

j=k

WWOD

Начало

Генерация и вывод параметра (буквы)

X, определяемой индексом i

Конец

Определение состояния k=FP(i,j)

Определение и вывод

выходного параметра w=FW(i,k)

Рис. 2.5

Функция выходов задается в подпрограмме WWOD в

виде массива FW(i,k), значения которого определены

индексом w выходного параметра (буквы) y

, который

будет на выходе автомат при подаче входного параметра х

в такте времени t, при условии, что в этом такте времени t

автомат находится в состоянии z

. В подпрограмме WWOD

происходит инициализация автомата, т.е. определение

В блоке 3 алгоритма происходит изменение индекса

состояния с учетом задержки на один такт.

3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ

3.1. Математические модели случайных

процессов

При проведении научных исследований в производстве

и в быту часто встречаются события, которые многократно

появляются при одних и тех же условиях, но отличающиеся

каждый раз друг от друга. Например, измеряя значение

напряжения в сети переменного тока с помощью одного и

того же прибора с одинаковой тщательностью, никогда не

получим одинаковых данных. Наблюдается случайное

рассеивание. Для оценки величины рассеивания вводится

вероятность, как мера измерения.

Закономерность рассеивания, выраженная функцией

распределения вероятностей, носит общий характер.

Если входные параметры объекта, смена состояний

объекта или его выходные параметры описываются

случайными распределениями вероятностей, то эти

объекты относятся к классу стохастических. При

моделировании поведения данных объектов применяется

аппарат теории вероятностей, а для идентификации

параметров моделей применяется аппарат математической

статистики. Рассмотрим виды моделей, которые могут быть

применены для описания стохастических объектов.

3.1.1. Распределение случайных событий. Массовые

явления или процессы характеризуются многократным

повторением при постоянных условиях некоторых опытов

(операций и прочее). Абстрагируясь от специальных

свойств этих опытов, в теории вероятностей вводится

понятие испытания (опыта). Испытанием называется

осуществление определенного комплекса условий, который

может быть воспроизведен сколь угодно большое число

раз. Явления, происходящие при реализации этого

комплекса условий (в результате испытания), называются

событиями [8].

Положительное число в отрезке [0,1], представляющее

собой количественную меру возможности реализации

случайного события в испытании, называется его

вероятностью. Вероятность появления события А

обозначают символом Р(А), причем 0≤Р(А)≤1. Вероятность

понимается как идеальная мера возможности появления

события.

Случайная величина рассматривается как функция,

аргументом которой служит элементарное случайное

событие. Дискретной случайной величиной называется

такая, которая может принимать конечное или бесконечное

счетное множество значений, например возможны

значения x

, x

, …, x

, … Для каждого события x

определены вероятности P(x

). Распределение вероятностей

дискретной случайной величины, представленное на

рис. 3.1, рассматривают как точечное распределение

вероятностей.

P(x

)

P(x

)

P(x

)

….

P(x

)

Рис. 3.1

При непрерывном распределении случайной величины

вероятности распределены сплошной полосой по всей оси

или по некоторым ее участкам с определенной плотностью.

Распределение вероятностей носит название

теоретического распределения случайной величины.

Интегральная функция распределения вероятностей

определяет вероятность того, что случайная величина X

меньше значения x

∞

∫

P(X < x) = f(x)dx = P(x)

. (3.1)

Пример задания интегральной функции распределения

вероятностей приведен на рис. 3.2.

F(x)

Рис. 3.2

Дифференциальная функция распределения

вероятностей (плотность распределения вероятностей)

определяет вероятность того, что случайная величина X

меньше значения x

∫

P(x < X < x ) = P(x ) - P(x ) = f(x)dxx)

1221

. (3.2)

Пример задания дифференциальной функции

распределения вероятностей приведен на рис. 3.3.

Совокупность случайных величин X(Θ) аргумента Θ,

образует случайный процесс. Течение случайного процесса

описывают некоторой функцией X(Θ), где Θ - аргумент

функции со значениями из множества

Θ. Функцию X(Θ),

наблюдаемую в некотором опыте, соблюдая определенный

комплекс условий, называют выборочной функцией или

реализацией случайного процесса.

f(x)

Рис. 3.3

Если множество Θ произвольно, то вместо термина

«случайный процесс» применяют термин «случайная

функция». Название «случайный процесс» применимо в тех

случаях, когда параметр Θ интерпретируется как время.

Если аргумент случайной функции является

пространственной переменной, то функцию называют

случайным полем.

Определение. Моделью случайного процесса называют

случайную функцию X(Θ), заданную на множестве Θ,

принимающую действительные значения и описываемую

семейством распределений [9]:

, ,...,

, ,..., )

ΘΘ Θ

12 n

F(xxx

, Θ

∈Θ, i=1,2,...,n, n=1,2,...,

которое удовлетворяет условиям согласованности

, ,...,

, ,..., , ,..., )

ΘΘ Θ

∞+∞=

12 n

F(xxx

, ,...,

, ,..., )

ΘΘ Θ

12 n

F(xxx

, ,...,

, ,..., )

ΘΘ Θ

12 n

F(xxx

, ,...,

, ,..., )

ΘΘ Θ

i1 i2 in

F(xxx

где i

, i

,…, i

, - любая перестановка индексов 1, 2,..., n.

Набор функций

, ,...,

, ,..., )

ΘΘ Θ

12 n

F(xxx

называется

конечномерными распределениями случайной функции

или интегральной функции распределения вероятностей

многомерной случайной величины. При n=1 получим

одномерное распределение (3.1). Модель многомерного

распределения необходима для моделирования

многопараметрической случайной величины.

При решении многих задач моделирования приходится

оперировать с несколькими случайными функциями. Для

того чтобы над ними производить математические

операции, недостаточно, чтобы каждая из этих случайных

функций была задана в отдельности. Последовательность

функций X

(Θ), X

(Θ),…, X

(Θ) возможно заменить

векторной функцией ξ(Θ), компонентами которой служат

случайные функции X

(Θ), (i=1,2,…,n).

Явные выражения для конечномерных функций

распределения случайного процесса бывают сложными и

неудобными для применения. Поэтому в ряде случаев

предпочитают задавать конечномерные распределения их

плотностями (дифференциальной функцией распределения

вероятностей многомерной случайной величины) или

характеристическими функциями.

Если

, ,...,

, ,..., )

ΘΘ Θ

12 n

f(xxx

- плотность функций

распределения

, ,...,

, ,..., )

ΘΘ Θ

12 n

F(xxx

, то

, ,...,

, ,..., )

ΘΘ Θ

12 n

F(xxx

, ,...,

, ,..., ) , ,...,

ΘΘ Θ

∞∞ ∞

∫∫ ∫

12 n

xx x

12 n 1 2 n

-- -

... f (y y y dy dy dy

Связь интегральной функции распределения

вероятностей одномерной случайной величины и ее

дифференциальной функцией распределения вероятностей

показана формулой

)

∞

∫

F(x f(y)dy