Финаев В.И. Аналитические и имитационные модели

Подождите немного. Документ загружается.

- получаем от генератора равномерно распределенных

чисел случайное число

(см. блок 5);

- из значения числа

находим случайную величину

η=Р

(С

-С

i-1

), т.е. значение числа Р

«приводится» к

величине интервала

[С

i-1

, С

] (см. блок 6;

- находим случайную величину

Х, имеющую заданную

плотность распределения вероятностей

f(х), по формуле

(см. блок 7)

−

=−= 1i1[nP][nP]21[nP]

C)СС(PСX

111

Подпрограмма STAT предназначена, как и в алгоритме

метода обратных функций, для набора и обработки

статистических данных о значениях случайной величины

Х.

4.5.3. Использование предельных теорем. Для

имитации случайной величины

Х, имеющей нормальный

закон распределения вероятностей, используют свойство

сходимости независимых величин к нормальному

распределению. Для получения нормального

распределения чисел с параметрами: математическое

ожидание

=0, среднеквадратичное отклонение

удобен искусственный прием, основанный на центральной

предельной теореме теории вероятностей. На рис. 4.22

приведен алгоритм получения случайный величин

Х с

применением свойств центральных предельных теорем.

Согласно центральной предельной теореме при

достаточно большом значении

n величина Z может

считаться нормально распределенной с параметрами

∑

i=1

m= M[z]=0

∑

i=1

σ = σ =

Для имитации случайной величины Х в качестве

исходных чисел возьмем

k равномерно распределенных на

отрезке [1,-1] случайных чисел, получаемых из интервала

[0,1] по правилу

=2Р

-1 (см. блоки 5,6).

I=0, Z=0

I=I+1

WWOD

Начало

N=N+1

CEN(P)

Z=Z+2(P-1

)

STAT

WIWOD

Конец

N<NZ

X=Z×(√3)/(√K)

I<K

Рис. 4.22

Сформируем величину

Z согласно следующей формуле

(см. блоки 3 – 7):

∑

Выполним нормирование величины Z и получим (см.

блок 9)

]

P2[

∑

−=

. (4.11)

Случайная величина Х будет иметь нормальное

распределение с

=0,

=1.

Установлено, что при

k>8 формула (4.11) дает хорошие

результаты.

4.6. Имитация марковского процесса

4.6.1. Моделирование дискретной цепи Маркова.

Рассмотрим дискретную цепь Маркова или марковский

процесс с дискретным временем перехода из одного

состояния в другое. Математическая модель дискретной

цепи Маркова задается матрицей вероятностей переходов

||Р

||, имеющей вид

11 12 1n

21 22 2n

n1 n2 nn

P P ... P

... ... ... ...

P P ... P

, (4.12)

где

- вероятность перехода из состояния z

в состояние

в некоторый дискретный момент времени

kΔt (k=1,2,3,...).

Начальное состояние марковского процесса

определяется матрицей-строкой начальных вероятностей

||Р

||=|Р

(0), Р

(0), ..., Р

(0)|, где Р

(0) - вероятность

нахождения процесса в

-м состоянии при t=0.

Вероятности перехода

не зависят от времени, т.е.

процесс является однородным.

На рис. 4.23 приведен обобщенный алгоритм имитации

дискретной цепи Маркова.

STAT

OPRZ

OPRZ0

WWOD

Начало

T=T+1

WIWOD

Конец

T<TZ

Рис. 4.23

Подпрограммы WWOD и WIWOD реализуют

интерфейсную часть имитационной программы. В

подпрограмме

WWOD осуществляется ввод элементов

массива

Р0[I], в который заносятся вероятности Р

(0), и

массива

Р[I,J], в который заносятся вероятности Р

Определяется начальный такт моделирования

T=0 и

заданное число тактов моделирования

TZ.

Подпрограмма

OРRZ0 предназначена для определения

начального состояния, а подпрограмма

OРRZ – для

определения состояний в процессе моделирования смены

состояний. Подпрограмма

STAT предназначена для набора

статистических данных.

Моделирование марковского процесса основано на

принципе имитации системы случайных событий.

Определяем числовые границы

∑

01121 2 n i

i=1

l =0, l =P(0); l =P(0)+P(0),..., l = P(0)=1

Исходя из значения случайного числа

генерированного датчиком случайных чисел, определяется

номер

r начального состояния z

(0), для которого будет

справедливо условие

≤

r-1 0 r

l<P l

Затем датчик случайных чисел вырабатывает случайное

число

, которое также сравнивается с границами

∑

r0 r1 r1 r2 r1 r2 rn ri

i=1

l = 0, l = P , l = P + P , ..., l = P = 1

Путем сравнения устанавливается очередное состояние

и подобным образом осуществляется моделирование

дальше.

Рассмотрим реализации подпрограмм.

На рис. 4.24 приведен алгоритм подпрограммы

OРRZ0.

На рис. 4.25 приведен алгоритм подпрограммы

OРRZ.

На рис. 4.26 приведен алгоритм подпрограммы

STAT.

В алгоритме подпрограммы

OРRZ0 (см. рис. 4.24) в

блоке 1 вырабатывается число

Р датчиком случайных

чисел.

Затем реализуется цикл по переменной

I для сравнения

числа

Р с элементами массива Р0[I]. Для этого введен

идентификатор

А, который в блоке 2 определен А=0.

СЕN(P)

Начало

I=0, A=0

I=I+1,

A=A+P0[I]

Конец

P≤A

Рис. 4.24

СЕN(P)

Начало

J=0, B=0

J=J+1,

B=B+P[I,J]

Конец

P≤В

Рис. 4.25

K[J]=K[J]+1

Начало

I=J

Конец

Рис. 4.26

При наращивании переменной I идентификатор А будет

принимать последовательно значения:

I=1, А=Р

(0); I=2,

А=Р

(0)+Р

(0); I=3, А=Р

(0)+Р

(0); …; I=n,

А=Р

(0)+Р

(0)+…+Р

(0).

При первом же выполнении условия Р≤A считается, что

найден индекс начального состояния

(0). Таким образом,

выходным параметром подпрограммы

OРRZ0 является

значение индекса

I, при котором выполнено условие

Р≤А=Р

(0)+Р

(0)+…+Р

(0).

В алгоритме подпрограммы

OРRZ (см. рис. 4.25) в

блоке 1 датчиком случайных чисел формируется случайное

число

Р∈[0,1]. Затем реализуется цикл по переменной J для

сравнения числа

Р с элементами массива Р[I,J]. Введен

идентификатор

В. При наращивании переменной J

идентификатор

В будет принимать последовательно

значения:

J=1, А=Р(I,1); J=2, А=Р(I,1)+Р(I,2); …; J=n,

А=Р(I,1)+Р(I,2)+Р(I,3)+…+Р(I,n).

При выполнении условия Р≤B считается, что найдет

индекс состояния

(T) в текущем такте моделирования T.

Выходным параметром подпрограммы

OРRZ является

значение индекса

J, при котором выполнено условие

Р≤В=Р(I,1)+Р(I,2)+Р(I,3)+…+Р(I,J).

В алгоритме подпрограммы

STAT (см. рис. 4.26) в

блоке 1 в счетчиках

K[J] осуществляется подсчет частот

появления событий

. Затем в блоке 2 осуществляется

присвоение значения индекса

J индексу I, т.е. на

следующем такте моделирования в подпрограмме

OРRZ

будет выполнен анализ

j-й сроки матрицы вероятностей

переходов

||Р

||. Алгоритм имитации дискретной цепи

Маркова может быть представлен в более сокращенном

виде, как показано на рис. 4.27. Объединим матрицы

||Р

|| и

||Р

|| в обобщенную матрицу вида

nn2n1n

n22221

P...PP

............

P...PP

...

P =

. (4.13)

В подпрограмме

WWOD осуществляется ввод

элементов массива

Р[I,J], в который заносятся вероятности

, причем

n,oi =

n,1j =

. Определяется начальное

значение индекса

I=0, начальный такт моделирования T=0

и заданное число тактов моделирования

TZ.

Так как в первом такте моделирования (

Т=1) I=0, то в

первом такте будет рассматриваться верхняя строка

обобщенной матрицы

||Р

||, т.е. фактически матрицы ||Р

||.

В блоке 3 формируется случайное число

Р∈[0,1]. Затем

реализуется цикл по переменной

J для сравнения числа Р с

элементами массива

Р[I,J] при I=0 (см. блоки 4 – 6). При

выполнении условия

Р≤В в соответствующий счетчик K[J]

добавляется единица (см. блок 7). В блоке 8 индексу

присваиваются значения индекса

J. Процесс

моделирования продолжается до тех пор, пока не будет

выполнено условие окончания моделирования

T<TZ.

СЕN(P)

Начало

J=0, B=0

J=J+1,

B=B+P[I,J]

Конец

≤

T=T+1

K[J]=K[J]+1

I=J

T<TZ

WWOD

WIWOD

Рис. 4.27

В счетчиках K[J] после окончания моделирования будут

подсчитаны частоты пребывания марковского процесса в

состояниях

n,1j =

. В подпрограмме WIWOD

осуществляется вывод значений счетчиков

K[J], а также

вывод эмпирических оценок финальных вероятностей

марковского процесса, определяемых по формуле

n1,j ,

]J[K

4.6.2. Моделирование вложенной цепи Маркова. Для

вложенной цепи Маркова, в отличие от дискретной цепи,

переход из состояния в состояние может произойти в

любой случайный момент времени, т.е. время пребывания

марковского процесса в любом состоянии является

100

величиной случайной. Математическая модель

марковского процесса в этом случае определяется:

- распределением вероятностей начального состояния

процесса

(0) в момент t

;

- матрицей вероятностей переходов

||Р

|| (12);

- матрицей-строкой функций распределения времени

пребывания в состоянии

|A|={A

(t), A

(t), …, A

(t)}, где

(t) - функция распределения времени пребывания

марковского процесса в состоянии

На рис. 4.28 приведен обобщенный алгоритм имитации

вложенной цепи Маркова.

STAT2

OPRTAU

STAT1

OPRZ

OPRZ0

T=T+1

WWOD

Начало

WIWOD

Конец

T<TZ

Рис. 4.28