Федосеев В.В. и др. Экономико-математические методы и прикладные модели

Подождите немного. Документ загружается.

Некоторые прикладные модели экономических

процессов

321

Вероятность того, что все мастера свободны от ремонта

аппаратуры, равна согласно (8.32):

= —; —; —, —, = 0,013.

1 + 4 + 4

/2! + 4

/3! + 4

/4! + 4

/5!(1 - 4/5)

Вероятность того, что все мастера заняты ремонтом,

находим по (8.35):

41^013

51(1-4/5)

Это означает, что 55,4% времени мастера полностью за-

гружены работой.

Среднее время обслуживания (ремонта) одного аппарата

согласно (8.31):

= 1/|д. = 7/2,5 = 2,8 ч/аппарат

(при условии семичасового рабочего дня).

В среднем время ожидания каждого неисправного аппа-

рата начала ремонта равно по (8.36):

0,554-2,8

ож

5-4

6. Очень важной характеристикой является средняя длина

очереди, которая определяет необходимое место для хранения

аппаратуры, требующей ремонта; находим ее по (8.37):

0,554

•

5(1 - 4/5)

^оч

ТТ.

7TTZ

2>2 аппарата.

Определим среднее число мастеров, свободных от ра-

боты, по (8.38):

.г „„,„5-0 , 5-1

5-2 ,

5-3

5-4

0,01Й

• 1

•

+ 4

M 1! 2! 3! 4!

« 0,95.

Таким образом, в среднем в течение рабочего дня ремонтом

заняты четыре мастера из пяти. .А

322

Глава 8

Перейдем к рассмотрению алгоритмов расчета характери-

стик функционирования замкнутых СМО. Поскольку система

замкнутая, то к постановке задачи следует добавить условие:

поток поступающих требований ограничен, т.е. в системе

обслуживания одновременно не может находиться больше т

требований (т — число обслуживаемых объектов).

За критерий, характеризующий качество функциониро-

вания рассматриваемой системы, выберем отношение средней

длины очереди к наибольшему числу требований, находя-

щихся одновременно в обслуживающей системе — коэффици-

ент простоя обслуживаемого объекта. В качестве другого

критерия возьмем отношение среднего числа незанятых об-

служивающих каналов к их общему числу — коэффициент

простоя обслуживаемого канала.

Первый из названных критериев характеризует потери

времени из-за ожидания начала обслуживания; второй по-

казывает полноту загрузки обслуживающей системы.

Очевидно, что очередь может возникнуть, лишь когда

число каналов меньше наибольшего числа требований, нахо-

дящихся одновременно в обслуживающей системе (л < т).

Приведем последовательность расчетов характеристик

замкнутых СМО и необходимые формулы.

Определим параметр а = Х/ц — показатель загрузки

системы, т.е. математическое ожидание числа требований,

поступающих в систему за время, равное средней длитель-

ности обслуживания (1/ц. = F

Вероятность того, что занято k обслуживающих каналов

при условии, что число требований, находящихся в системе,

не превосходит числа обслуживающих каналов системы:

ь=ии 'м,

аР

о (l*k<m). (8.42)

k !(m - k)!

Вероятность того, что в системе находится k требований

для случая, когда их число больше числа обслуживающих

каналов:

Ру=—

—

(n<k<m). (8.43)

n\{m-k)\

Некоторые прикладные модели экономических

процессов

323

Вероятность того,

что все

обслуживающие каналы сво-

бодны, определим, используя очевидное условие:

=1, откуда P

=l-]TiV

k=o

Величину

МОЖНО

получить также путем подстановки

в равенство

/^-Р^ =1

значений Pi,P2,-..,P

которые

k=o

входит сомножителем. Подставляя

их,

получаем следующее

уравнение

для

определения

PQ:

-а*

kl(m-k)l

n\(m-k)\

откуда

^гч

Й Чп "I

kl(m-k)i

a +

nl(m-k)i

. (8.44)

Среднее число требований, ожидающих начала обслу-

живания (средняя длина очереди),

й=л+1

ИЛИ

у (*-n)ml

»*-"n!(m-*)!

(8.45)

6. Коэффициент простоя обслуживаемого требования

(объекта)

проб

m m

- Y(k-n)P

. (8.46)

№1

"™

fc=7l+l

324

Глава 8

Среднее число требований, находящихся в обслуживаю-

щей системе, обслуживаемых и ожидающих обслуживания:

£***

feP

k-1 k=n+l

(8.47)

или

М =

т\

-a

fern!

£i(*

- l)!(m - ft)! "

n\(m - ft)!

8. Среднее число свободных обслуживающих каналов

а*Р

. (8.48)

(n-k)m\

у.

п-1 п-1

5>-fe)P

Y ...

A=I

k=0

k\(m-k)\

9. Коэффициент простоя обслуживающего канала

ft=0

пр.кан

'О

1 П-1

(8.49)

fc=0

Рассмотрим пример расчета характеристик замкнутой СМО.

L. Пример 6. Рабочий обслуживает группу автоматов, состоя-

щую из 3 станков. Поток поступающих требований на обслу-

живание станков пуассоновский с параметром X, = 2 ст./ч.

Обслуживание одного станка занимает у рабочего в среднем

12 минут, а время обслуживания подчинено экспоненци-

альному закону. Тогда 1/ц = 0,2 ч/ст., т.е. ц = 5 ст./ч, а а =

= Х/ц = 0,4.

Необходимо определить среднее число автоматов, ожи-

дающих обслуживания, коэффициент простоя автомата, ко-

эффициент простоя рабочего. Обслуживающим каналом

здесь является рабочий; так как станки обслуживает один

рабочий, то п = 1. Общее число требований не может пре-

взойти числа станков, т.е. т = 3.

Система может находиться в четырех различных состоя-

ниях: 1) все станки работают; 2) один стоит и обслуживается

рабочим, а два работают; 3) два стоят, один обслуживается,

Некоторые прикладные модели экономических

процессов

325

один ждет обслуживания; 4) три стоят, из них один обслу-

живается, а два ждут очереди.

Для ответа на поставленные вопросы можно воспользо-

ваться формулами (8.42) и (8.43):

о,4Р

1,2Р

;

А =

2 -^Т

!(3

- 1)!

1!(3-2)!

3_1

1!(3-3)!

0,4'Ро = 0,96Р

;

0,4 Р

= 0,384Р

Сведем вычисления в таблицу.

k - п

Pk/Po

1,0000

1,2000

0,9600

0,3840

3,5440

0,2822

0,3386

0,2709

0,1083

1,0000

Таблица

8.2

(k - n)P

0 0

0,3386

0,2709

0,5418

0,2166

0,3249

0,4875

1,2053

В этой таблице первой вычисляется третья графа, т.е.

отношения Pk/Po при k = 0,1,2,3. Затем, суммируя величи-

ны по графе и учитывая, что ^ P

= 1, получаем

3 р

= lln =^" = 3,544,

о *=о

откуда Ро

0,2822. Умножая величины третьей графы на

Ро,

получаем четвертую графу. Величина Ро = 0,2822, рав-

ная вероятности того, что все автоматы работают, может

быть истолкована как вероятность того, что рабочий свобо-

ден. Получается, что в рассматриваемом случае рабочий будет

свободен более 1/4 всего рабочего времени. Однако это не оз-

начает, что «очередь» станков, ожидающих обслуживания,

326

Глава 8

всегда будет отсутствовать. Математическое ожидание числа

автоматов, стоящих в очереди, равно

М = ^(k-l)P

(так как п = 1).

к=г

Суммируя пятую графу, получим М

оч

= 0,4875, следова-

тельно, в среднем из трех станков 0,49 станка будет про-

стаивать в ожидании, пока освободится рабочий.

Суммируя шестую графу, получим математическое ожи-

дание числа простаивающих станков (ремонтируемых и

ожидающих ремонта):

М =

Y;kP

=1,2053,

т.е.

в среднем 1,2 станка не будет выдавать продукцию. Ко-

эффициент простоя станка равен -К

р.об

/Z = 0,1625,

т.е.

каждый станок простаивает примерно 0,16 часть рабо-

чего времени в ожидании, пока рабочий освободится.

Коэффициент простоя рабочего в данном случае совпадает

PQ,

так как п = 1, поэтому -Кпр.кан =

——

= 0,2822. Л

8.4. Элементы теории игр

задачах моделирования

экономических процессов

При решении экономических задач часто приходится

анализировать ситуации, в которых сталкиваются интересы

двух или более конкурирующих сторон, преследующих раз-

личные цели; это особенно характерно в условиях рыночной

экономики. Такого рода ситуации называются конфликтными.

Математической теорией конфликтных ситуаций является

теория игр. В игре могут сталкиваться интересы двух (игра

парная) или нескольких (игра множественная) противни-

ков;

существуют игры с бесконечным множеством игроков.

Если во множественной игре игроки образуют коалиции, то

игра называется коалиционной; если таких коалиций две,

то игра сводится к парной.

Некоторые прикладные модели экономических

процессов

327

На промышленных предприятиях теория игр может при-

меняться для выбора оптимальных решений, например, при

создании рациональных запасов сырья, материалов, полу-

фабрикатов, когда противоборствуют две тенденции: увели-

чения запасов, гарантирующих бесперебойную работу произ-

водства, и сокращения запасов в целях минимизации затрат

на их хранение. В сельском хозяйстве теория игр может

применяться при решении таких экономических задач, как

выбор для посева одной из возможных культур, урожай ко-

торых зависит от погоды, если известны цена единицы той

или иной культуры и средняя урожайность каждой культу-

ры в зависимости от погоды (например, будет ли лето засуш-

ливым, нормальным или дождливым); в этом случае одним

из игроков выступает сельскохозяйственное предприятие,

стремящееся обеспечить наибольший доход, а другим —

природа.

Решение подобных задач требует полной определенности

в формулировании их условий (правил игры); установления

количества игроков, выявления возможных стратегий игро-

ков,

возможных выигрышей (проигрыш понимается как от-

рицательный выигрыш). Важным элементом в условии иг-

ровых задач является стратегия, т.е. совокупность правил,

которые в зависимости от ситуации в игре определяют одно-

значный выбор действий данного игрока. Если в процессе

игры игрок применяет попеременно несколько стратегий, то

такая стратегия называется смешанной, а ее элементы —

чистыми стратегиями. Количество стратегий у каждого иг-

рока может быть конечным и бесконечным, в зависимости

от этого игры подразделяются на конечные и бесконечные.

Важными являются понятия оптимальной стратегии,

цены игры, среднего выигрыша. Эти понятия находят отра-

жение в определении решения игры: стратегии Р* и Q* пер-

вого и второго игрока соответственно называются их опти-

мальными стратегиями, а число V — ценой игры, если для

любых стратегий Р первого игрока и любых стратегий Q

второго игрока выполняются неравенства

M(P,Q*) <V< M(P*,Q),

(8.50)

328

Глава 8

где M(P,Q) означает математическое ожидание выигрыша

(средней выигрыш) первого игрока, если первым и вторым

игроками избраны соответственно стратегии Р и Q.

Из неравенств (8.50) следует, в частности, что V = M(P*,Q*),

т.е.

цена игры равна математическому ожиданию выигрыша

первого игрока, если оба игрока изберут оптимальные для

себя стратегии.

Одним из основных видов игр являются матричные игры,

которыми называются парные игры с нулевой суммой (один

игрок выигрывает столько, сколько проигрывает другой)

при условии, что каждый игрок имеет конечное число стра-

тегий. В этом случае парная игра формально задается мат-

рицей А =

j),

элементы которой ац определяют выигрыш

первого игрока (и соответственно проигрыш второго), если

первый игрок выберет i-ю стратегию (i = 1, т), а второй —

7-ю стратегию (7 = 1,п). Матрица А называется матрицей

игры,

или платежной матрицей.

Рассмотрим построение платежной матрицы на примере.

к. Пример 7. На базе торговой фирмы имеется п типов то-

вара ассортиментного минимума. В магазин фирмы должен

быть завезен только один из этих типов товара. Если товар

типа 7 (7 = 1, п) будет пользоваться спросом, то магазин от

его реализации получит прибыль P

Если же этот товар

не будет пользоваться спросом, то издержки на его хране-

ние принесут магазину убыток q

Требуется выбрать тип

товара, который целесообразно завезти в магазин.

В условиях неопределенного покупательского спроса кон-

фликтная ситуация товароснабжения формализуется матрич-

ной игрой. Пусть первый игрок — магазин, второй игрок —

покупательский спрос. Каждый из игроков имеет по п стра-

тегий. Завоз £-го товара — i-я стратегия первого игрока,

спрос на 7-й товар — /-я стратегия второго игрока. Тогда

матрица выигрышей первого игрока имеет вид квадратной

матрицы n-го порядка:

Некоторые прикладные модели экономических

процессов

329

А =

Л -9i

-Ч2 Рг

К-Чп

-Чп

~Ч\

-Чг

10 3

9 5

8 4

12J

Существует ряд методов решения Матричных игр. Если

матрица игры имеет одну из размерностей, равную двум (у

одного из игроков имеется только две стратегии), то реше-

ние игры может быть получено графически. Известно не-

сколько методов приближенного решения матричной игры,

например, метод Брауна.

В качестве примера рассмотрим решение игры, когда

матрица игры имеет так называемую седловую точку.

ты.

Пример 8. Матрица игры имеет вид:'

А =

Минимальный элемент первой строки (первой стратегии

первого игрока) равен 2, второй — 5, третьей — 4; макси-

мальное значение из этих величин равно 5. Максимальный

элемент первого столбца (первой стратегии второго игрока)

равен 10, второго — 10; третьего — 5, четвертого — 14, пя-

того — 12; минимальное значение из них равно 5. Следова-

тельно, данная игра имеет седловую точку (2, 3) и задача

разрешима в чистых стратегиях. Придерживаясь чисто второй

стратегии, первый игрок обеспечивает себе выигрыш,

не меньший 5; второй игрок, применяя чистую третью стра-

тегию, проигрывает не более 5. Обе стратегии i = 2 и ; = 3 яв-

ляются оптимальными для первого и второго игроков, при этом

цена игры V = 5. Л

Во многих игровых задачах в сфере экономики неопреде-

ленность вызвана не сознательным противодействием про-

тивника, а недостаточной осведомленностью об условиях, в

которых действуют стороны. Так, в рассматриваемых выше

примерах были неизвестны заранее погода в некотором

регионе, покупательский спрос на некоторую продукцию.

330

Глава 8

Подобного рода игры называются играми с природой. В этих

случаях строки матрицы игры соответствуют стратегии иг-

рока, а столбцы — состояниям «природы». В ряде случаев

при решении такой игры рассматривают матрицу рисков.

При решении игр с природой используется также ряд

критериев: критерий Сэвиджа, критерий Вальда, критерий

Гурвица и др.

При максиминном критерии Валъда оптимальной счи-

тается та стратегия лица, принимающего решение (ЛПР),

которая обеспечивает максимум минимального выигрыша;

применяя этот критерий, ЛПР в большей степени ориенти-

руется на наихудшие условия (этот критерий иногда назы-

вают критерием «крайнего пессимизма»).

Критерий минимаксного риска Сэвиджа предполагает,

что оптимальной является та стратегия, при которой вели-

чина риска в наихудшем случае минимальна.

При использовании критерия «пессимизм — оптимизм»

Гурвица ЛПР выбирает некоторый так называемый «коэф-

фициент пессимизма» q; при 9 = 1 критерий Гурвица приво-

дит к критерию Вальда («крайнего пессимизма»), а при q = 0 —

к критерию «крайнего оптимизма».

Рассмотрим пример использования указанных критери-

ев в Играх с природой.

L. Пример 9. Диспетчер автобусного парка (ЛПР) в летние

месяцы в конце каждой недели должен принять решение о

целесообразности выделения дополнительных автобусов на

загородный маршрут. ЛПР имеет три варианта решений:

увеличить количество автобусов на 10 (стратегия Pi), увели-

чить это количество на 5 (стратегия Р

)

или

оставить без из-

менения обычное число автобусов на линии (стратегия Рз).

Возможны два состояния погоды: Q\ — плохая погода, Q

—

хорошая погода, причем в момент принятия решения нет

возможности определить ожидаемое состояние погоды. Если

в выходные дни будет хорошая погода и много желающих

выехать за город, а выделено мало автобусов, то парк поне-

сет убытки, связанные с недополученной прибылью. Если

же выделены дополнительные автобусы, а погода окажется