Федосеев В.В. и др. Экономико-математические методы и прикладные модели

Подождите немного. Документ загружается.

Некоторые прикладные модели экономических

процессов

301

F(x) =

(х

при х < -b

при

при 0 < x

при x

(8.16)

Случайная величина спроса s имеет следующие числовые

характеристики: математическое ожидание Ms = 0; матема-

тическое ожидание квадрата Ms

= &

/6; дисперсия Ds =

-b

/6 , среднее квадратическое отклонение a(s) = b/S .

Непосредственные вычисления с использованием функции

средних полных издержек в виде (8.11') показывают, что

при х < -Ь

+00 +00

Ф(х) = -k Ux - s)f(s)ds = -kx f f(s)ds +

—OO

—00

+00

sf(s)ds

-kx

kMs = -kx.

(8.17)

Используя выражение для первой производной Ф'(х) в

виде (8.12) и выражение (8.16) для функции распределения

F(x),

можно определить, что при -Ъ < х < О

Ф(х) - (с + fe)

(x +

^ - kx

6Ь

(8.18)

Здесь константа интегрирования С\ определяется путем

приравнивания выражения (8.17) и (8.18) при х = -b: kb =

=/гЬ + С

т.е. С

= 0.

Аналогично при 0< х < b можно получить:

а при х > Ь;

Ф(х) = -(с + k) ^—

сх,

Ф(х) = сх.

(8.19)

(8.20)

302

Глава 8

Выражения (8.17) — (8.20) задают в разных интервалах

искомую функцию средних полных издержек. Заменяя в

ней х на х - а, получим функцию средних полных издержек,

если функция плотности распределения спроса имеет вид,

изображенный на рис. 8.7а. Для иллюстрации график функ-

ции средних полных издержек для такой функции спроса в

случае k >c представлен на рис. 8.8, где оптимальный уро-

вень запаса у = а

+ Ь

2с

Ъ.

В общем виде для данной функции плотности распределе-

ния спроса оптимальный уровень запаса задается формулами:

У =

а -Ь

Ь-

2с

•ь при с > k

при с = k

•

при с < k,

(8.21)

а значение Ф* = Ф(у*) минимума средних полных издержек

имеет вид:

Некоторые прикладные модели экономических

процессов

303

Ф*

I-

3 \c

при с > k

b-k/3

b-с/3 при с = k

(8.22)

У 3\c

при с < k.

Из формул (8.21) и (8.22) для данной модели следует,

что оптимальный уровень запаса при

СФН

и минимум средних

полных издержек при всех с, k линейно зависят от величины

Ъ, т.е. от длины интервала разброса значений величины

спроса на товар.

Напомним, что стратегия оптимального пополнения запа-

сов задается формулами (8.14).

•L Пример 2. Пусть некоторая фирма в соответствии с дого-

вором реализует со склада по заявкам холодильники, причем

ежедневный спрос является случайной величиной, функция

плотности распределения которой представлена графически

на рис 8.7а и колеблется от 20 до 80 холодильников в день.

Средние издержки хранения одного холодильника в день со-

ставляют 8 руб., а штраф за дефицит (недопоставку) одного

холодильника в день равен 17 руб. Требуется определить

стратегию оптимального пополнения запаса холодильников

и минимальные средние полные издержки.

В условиях рассматриваемой задачи

= (80 - 20)/2 = 30

(хол.);

а = (20 + 80)/2 = 50 (хол.); с = 8 руб.; k = 17 руб.

В соответствии с формулой (8.21) оптимальный уровень

запаса (с < k) составляет у*

50 + 30 - д/2 -8/(8 + 17)

•

30 =

= 80 - 4/5

•

30 = 56 (хол.). Тогда величина h

пополнения за-

паса холодильников фирмой, при которой средние полные

издержки будут минимальны, задается в соответствии с фор-

мулой (8.14) правилом:

[0 , если x

_i > 56

[56 - x

_i, если x

_i < 56,

304

Глава 8

где x

-i — запас холодильников на складе фирмы на конец

предыдущего дня. Так, если на конец предыдущего дня на

складе фирмы было 60 холодильников, то пополнять запас

не следует, а если на конец предыдущего дня на складе фир-

мы оставалось 25 холодильников, то следует реализовать

заказ на пополнение запаса холодильников в количестве

56-25 = 31 холодильников.

Если придерживаться этой стратегии пополнения запаса

холодильников, то минимальный уровень средних полных

издержек в расчете на один день в соответствии с формулой

(8.22) составит

Ф* = 30

•

8(1 - 2/3^2-8/(8 + 17)) = 240

•

7/15 = 112 руб. J

Принципиальные системы регулирования

товарных запасов

Рассмотренная в предыдущем параграфе классическая

задача управления запасами иллюстрирует общий теорети-

ческий подход к задаче регулирования запасов. В практиче-

ской деятельности организаций и служб маркетинга ис-

пользуются более простые принципиальные системы регули-

рования товарных запасов, основанные на различных стра-

тегиях пополнения запасов, т.е. на определенных правилах

этого пополнения, выраженных в достаточно общей форме.

В качестве параметров в этих системах принимаются вели-

чина имеющихся на складе запасов, допустимые колебания

уровня запасов, размеры заказа на пополнение запасов, его

периодичность и др. Системы различаются между собой в

зависимости от того, какие из параметров выбраны в качест-

ве регулирующих. Принципиальные системы регулирования

запасов, используемые в практике маркетинга, подробно

описаны во многих учебниках и пособиях

. Поэтому дадим

здесь лишь краткий обзор этих систем.

Система с фиксированным размером заказа. Это наибо-

лее распространенная система, в которой размер заказа на

См. например, Мельник М. М. Экономико-математические методы и

модели в планировании и управлении материально-техническим снаб-

жением: Учебник. -М.: Высшая школа, 1990.

Некоторые прикладные модели экономических

процессов

305

пополнение запасов — постоянная величина, а поставка оче-

редной партии 'товара осуществляется при уменьшении налич-

ных запасов до определенного критического уровня, назы-

ваемого точкой заказа. Поэтому регулирующими парамет-

рами системы с фиксированным размером заказа являются:

1) точка заказа, т.е. фиксированный уровень запаса, при

снижении до которого организуется заготовка очередной

партии товара, и 2) размер заказа, т.е. величина партии по-

ставки. Данную систему часто называют «двухбункерной»,

так как запас хранится как бы в двух бункерах: в первом

бункере для удовлетворения спроса в течение периода меж-

ду фактическим пополнением запаса и датой следующего

ближайшего заказа, а во втором — для удовлетворения

спроса в течение периода от момента подачи заказа до по-

ступления очередной партии товара, т.е. во втором бункере

хранится запас на уровне точки заказа.

Система с фиксированной периодичностью заказа. При

этой системе заказы на очередную поставку товарного запа-

са повторяются через равные промежутки времени. В конце

каждого периода проверяется уровень запасов и исходя из

этого определяется размер заказываемой партии; при этом

запас пополняется каждый раз до определенного уровня, не

превышающего максимальный запас. Таким образом, регу-

лирующие параметры этой системы: 1) максимальный уро-

вень запасов, до которого осуществляется их пополнение, и

2) продолжительность периода повторения заказов. Система

с фиксированной периодичностью заказа эффективна, когда

имеется возможность пополнять запас в различных разме-

рах, причем затраты на оформление заказа любого размера

невелики. Одним из достоинств этой системы можно считать

возможность периодической проверки остатков на складе и

отсутствие необходимости вести систематический учет дви-

жения остатков. К недостаткам системы относится то, что

она не исключает возможность нехватки товарных запасов.

Система с двумя фиксированными уровнями запасов и

с фиксированной периодичностью заказа. В этой системе

допустимый уровень запасов регламентируется как сверху,

так и снизу. Кроме максимального верхнего уровня запаса

устанавливается нижний уровень (точка заказа). Если раз-

306 Глава 8

мер запаса снижается до нижнего уровня еще до наступле-

ния фиксированного времени пополнения запаса, то делает-

ся внеочередной заказ. В остальных случаях система функ->

ционирует как система с фиксированной периодичностью

заказа. В данной системе имеется три регулирующих пара-

метра: 1) максимальный уровень запаса, 2) нижний уро-

вень запаса (точка заказа) и 3) длительность периода между

заказами. Первые два параметра постоянны, третий — час-

тично переменный. Рассматриваемая система сложнее преды-

дущей, однако она позволяет исключить возможность нехватки

товарного запаса. Недостатком системы является то, что по-

полнение запасов до максимального уровня не может произво-

диться независимо от фактического расходования запасов.

Система с двумя фиксированными уровнями запасов

без постоянной периодичности заказа, или (s, &)-стратегия

управления запасами. Эту систему называют также

(S-s)-

системой, или системой «максимум-минимум». Рассмотрим

(s,

5)-стратегию управления запасами более подробно. Она

устраняет недостаток предыдущей системы и является ее

модификацией. В этой системе — два регулирующих пара-

метра: 1) нижний (критический) уровень запаса s и 2) верх-

ний уровень запаса S.

Если через х обозначить величину запасов до принятия

решения о их пополнении, через р — величину пополнения,

а через у = х + р — величину запасов после пополнения, то

(s,

5)-стратегия управления запасами задается функцией

у(х) J* ПРИ * > *

з)

[<Ь при х < s,

т.е.

пополнения не происходит, если имеющийся уровень за-

пасов больше критического уровня s; если имеющийся уро-

вень меньше или равен s, то принимается решение о попол-

нении запаса обязательно до верхнего уровня S, так что ве-

личина пополнения равна р = S - х.

L. Пример 3. Рассмотрим типовую задачу. Пусть при по-

полнении запасов автомобилей на складе служба маркетинга

магазина «Автомобили» придерживается (s, 5)-стратегии

при s = 50, S = 300. Требуется определить, на какое количе-

Некоторые прикладные модели экономических

процессов

307

ство автомобилей надо оформить заказ, если в момент при-

нятия решения о заказе на складе: а) 40, б) 70, в) 150, г) 10,

д) 290 автомобилей (временем доставки заказанных автомо-

билей пренебречь).

В соответствии с формулой (8.23) величина пополнения р

в каждом из рассматриваемых случаев будет равна: а) 260,

б) 0, в) 0, г) 290, д) 0 автомобилей, т.е. в случаях б), в) и д) заказ

на пополнение запаса автомобилей не оформляется. Л

Саморегулирующиеся системы. Рассмотренные выше

системы регулирования запасов предполагают относитель-

ную неизменность условий их функционирования. На прак-

тике такое постоянство условий встречается редко, что вы-

звано изменениями потребности в товарных запасах, усло-

виями их поставки и т. д. В связи с этим возникает необхо-

димость создания комбинированных систем с возможностью

саморегулирования (адаптации к изменившимся условиям).

Создаются системы с изменяющимися периодичностью и

размером заказов, учитывающие стохастические (недетер-

минированные) условия. В каждой такой системе устанав-

ливается определенная целевая функция, служащая крите-

рием оптимальности функционирования системы, в рамках

соответствующей экономико-математической модели управ-

ления запасами.

В качестве целевой функции в моделях управления за-

пасами чаще всего используется минимум затрат, связан-

ных с заготовкой и хранением запасов, а также потери от

дефицита. Пример подобной целевой функции в общем виде

рассмотрен выше при изучении классической задачи управ-

ления запасами.

Одним из элементов целевой функции при построении

саморегулирующихся систем управления запасами являют-

ся затраты, связанные с организацией заказа и его реализа-

цией, начиная с поиска поставщика и кончая оплатой всех

услуг по доставке товарных запасов на склад. Часть расхо-

дов,

связанных с организацией заказов, не зависит от размера

заказа, но зависит от количества этих организаций в год.

Расходы, связанные с реализацией заказа, зависят от размера

заказанной партии, причем расходы в расчете на единицу

товара уменьшаются при увеличении размера партии.

308

Глава 8

Другой элемент целевой функции — затраты, связанные

с хранением запаса. Часть издержек хранения носит суточ-

ный характер (плата за аренду помещений, за отопление и др.),

другая часть прямо зависит от уровня запасов (расходы на

складскую переработку товарных запасов, потери от порчи,

издержки учета и др.)- При расчетах на основе экономико-

математических моделей управления запасами обычно поль-

зуются удельной величиной издержек хранения, равной из-

держкам на единицу хранимого товара в единицу времени.

При этом предполагают, что издержки хранения за календар-

ный период пропорциональны размеру запасов и длительности

периода между заказами и обратно пропорциональны количе-

ству заказов за этот период.

Наконец, третьим элементом рассматриваемой целевой

функции являются потери из-за дефицита, когда снабженческо-

сбытовая организация несет материальную ответственность

за неудовлетворение потребности потребителей из-за отсут-

ствия запасов.

Например, при неудовлетворенном спросе снабженческо-

сбытовая организация может нести убытки в виде штрафа

за срыв поставки. Вероятность дефицита — это ожидаемая

относительная частота появления случаев нехватки товарной

продукции в течение более или менее продолжительного

интервала времени. Часто вероятность дефицита определяется

как частное от деления числа дней, когда товар на складе

отсутствует, на общее число рабочих дней, например, в году.

Модель экономически выгодных размеров

заказываемых партий

Рассмотрим работу склада, на котором хранятся товар-

ные запасы, расходуемые на снабжение потребителей. Рабо-

та реального склада сопровождается множеством отклоне-

ний от идеального режима: заказана партия одного объема,

а прибыла партия с другим объемом; по плану партия

должна прибыть через две недели, а она пришла через

десять дней; при норме разгрузки одни сутки разгрузка пар-

тии длилась трое суток и т. д. Учесть все эти отклонения

практически невозможно, поэтому при моделировании рабо-

ты склада обычно делаются следующие предположения:

Некоторые прикладные модели экономических

процессов

309

• скорость расходования запасов со склада — постоянная

величина, которую обозначим М (единиц товарных запа-

сов в единицу времени); в соответствии с этим график

изменения величины запасов в части расходования явля-

ется отрезком прямой;

• объем партии пополнения Q есть постоянная величина,

так что система управления запасами — это система с

фиксированным размером заказа;

• время разгрузки прибывшей партии пополнения запасов

мало,

будем считать его равным нулю;

• время от принятия решения о пополнении до прихода за-

казанной партии есть постоянная величина At, так что

можно считать, что заказанная партия приходит как бы

мгновенно: если нужно, чтобы она пришла точно в опре-

деленный момент, то ее следует заказать в момент вре-

мени на At ранее;

• на складе не происходит систематического накопления

или перерасхода запасов. Если через Т обозначить время

между двумя последовательными поставками, то обяза-

тельно выполнение равенства: Q = МТ. Из сказанного

выше следует, что работа склада происходит одинаковы-

ми циклами длительностью Т, и за время цикла величи-

на запаса изменяется от максимального уровня S до ми-

нимального уровня s;

• наконец, будем считать обязательным выполнение тре-

бования, чтобы отсутствие запасов на складе было недо-

пустимым, т.е. выполняется неравенство s > 0. С точки

зрения уменьшения издержек склада на хранение отсю-

да вытекает, что s = 0 и, следовательно, S = Q.

Окончательно график «идеальной» работы склада в фор-

ме зависимости величины запасов у от времени t будет

иметь вид, представленный на рис. 8.9.

В предыдущем параграфе отмечалось, что эффективность

работы склада оценивается по его затратам на пополнение

запасов и их хранение. Расходы, не зависящие от объема

партии, называют накладными. Сюда входят почтово-теле-

графные расходы, командировочные, некоторая часть транс-

портных расходов и др. Накладные расходы будем обозна-

чать через К. Издержки хранения запасов будем считать

310

Глава 8

пропорциональными величине хранящихся запасов и време-

ни их хранения. Издержки на хранение одной единицы за-

пасов в течение одной единицы времени называются вели-

чиной удельных издержек хранения; мы их будем обозна-

чать через h.

Рис. 8.9

При изменяющейся величине хранящихся запасов из-

держки хранения за некоторое время Т получают путем ум-

ножения величины ЛиТна среднее значение величины за-

пасов в течение этого времени Т. Таким образом, затраты

склада за время Т при размере партии пополнения Q в слу-

чае идеального режима работы склада, представленного на

рис.

8.9, равны

ZT(Q)

= К + h-T-Q/2.

После деления этой функции на постоянную величину Т

с учетом равенства Q — МТ получим выражение для вели-

чины затрат на пополнение и хранение запасов, приходя-

щихся на единицу времени:

Zi(Q) = ZjiQ)/T = К/Т + h-Q/2 = K-M/Q + h-Q/2. (8.24)

Это и будет целевой функцией, минимизация которой

позволит указать оптимальный режим работы склада.

Найдем объем заказываемой партии Q, при котором

минимизируется функция средних затрат склада за единицу

времени, т.е. функция

Z\(Q).

На практике Q часто принима-

ют дискретные значения, в частности, из-за использования

транспортных средств определенной грузоподъемности; в