Федосеев В.В. и др. Экономико-математические методы и прикладные модели

Подождите немного. Документ загружается.

Эконометрические модели

271

Величина г. называется коэффициентом детерминации

и показывает долю изменения (вариации) результативного

признака под действием факторного признака. В нашем

случае г. = 0,859; это означает, что фактором душевого

дохода можно объяснить почти 86% изменения расходов на

питание.

Коэффициенты регрессии (в рассматриваемом случае это

коэффициент а{) нельзя использовать для непосредственной

оценки влияния факторов на результативный признак из-за

различия единиц измерения исследуемых показателей. Для

этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета-

коэффициент.

Коэффициент эластичности для рассматриваемой модели

парной регрессии рассчитывается по формуле:

Э*с,=^. (7-5)

Он показывает, на сколько процентов изменяется резуль-

тативный признак у при изменении факторного признака

Xi на один процент.

В нашем примере коэффициент регрессии а\ равен 0,1257,

а средние арифметические х~

и у равны соответственно

6080,6 и 1313,9. Поэтому коэффициент эластичности расходов

на питание в зависимости от душевого дохода будет равен

_ 0,1257-6080,6 .__

yXl

1313,9

Это означает, что при увеличении душевого дохода на

расходы на питание увеличатся на 0,58%.

Бета-коэффициент в нашем случае задается формулой:

aiS

р**=-V

где S

и S

— средние квадратические ошибки выборки ве-

личин х\ и у из табл. 7.1 соответственно.

272

Глава 7

Величина Sy уже была рассчитана ранее и равна 454070,

поэтому величина S

равна 673,8; аналогичные расчеты да-

ют значение величины S

, равное 4242,0. Бета-коэффици-

ент показывает, на какую часть величины своего среднего

квадратического отклонения изменится в среднем значение

результативного признака при изменении факторного призна-

ка на величину его среднеквадратического отклонения.

В нашем случае получаем следующее значение бета-ко-

эффициента:

0,1257- 4242,0

^ 673,8

т.е.

увеличение душевого дохода на величину среднеквадра-

тического отклонения этого показателя приведет к увеличению

среднего значения расходов на питание на 0,79 среднеквадра-

тического отклонения этих расходов.

Рассмотрим теперь двухфакторную линейную модель за-

висимости расходов на питание (у) от величины душевого

дохода семей (rej) и размера семей (х

). Как уже отмечено

выше, множественный (многофакторный) корреляционно-

регрессионный анализ решает три задачи: определяет форму

связи результативного признака с факторными, выявляет

тесноту этой связи и устанавливает влияние отдельных

факторов. В нашем случае эта модель имеет вид:

у = а

. (7.7)

Параметры модели а$, а\, и а

находятся путем решения

системы нормальных уравнений:

па

о +(2>i)

i +(1>г)

2 = 1>

•

(Z *i)

o + (Z *i

)

г)

2 = Z

У*\

)

а)"о +E*i

*H +(Z*l)a

2>*2-

Используя данные табл. 7.1, получим систему нормальных

уравнений в виде:

Эконометрические модели

273

9а

+ 54725а! + 27,9а

=11825

54725а

+ 540789321а

+ 194341,8а

= 98049159

27,9а

+ 194341,8oi + 92,1а

= 40391,7.

Решая эту систему (например, методом Гаусса), получим:

ао=18,63;

а^О.0985; а

=224,6, так что модель (7.7) имеет вид:

у = 18,63 + 0,0985*! + 224,6*2

•

Для определения тесноты связи предварительно вычисляются

парные коэффициенты корреляции r

yXii

. Например,

ЙЛ1^

(79)

где черта над символами означает среднюю арифметиче-

скую,

a S

и S

— средние квадратические ошибки соответ-

ствующих выборок из табл. 7.1:

в,- Е»-*>"

га

Аналогичный вид имеют формулы для г

ух

и r

x x

После этого вычисляют коэффициент множественной

корреляции

\r'i.

г* - 2г„. г„. г.

**-

= J

^ .

(

)

который колеблется в пределах от 0 до 1; чем ближе он к 1,

тем в большей степени учтены факторы, влияющие на резуль-

тативней признак.

В нашем примере расчеты дают следующее значение ко-

эффициента множественной корреляции:

yxx

= 0,983, что

выше значения коэффициента корреляции в случае одно-

факторной модели. Таким образом, степень тесноты связи

расходов на питание с факторами душевого дохода и размера

семей является очень высокой.

274

Глава

Величина

называется совокупным коэффициентом

детерминации

показывает долю вариации результативного

признака

под

воздействием изучаемых факторных признаков.

В нашем примере

Л? =

0,966;

это

означает,

что

совместное

влияние душевого дохода

размера семей объясняет почти

97%

изменения расходов

на

питание.

Задача анализа тесноты связи между результативным

одним

из

факторных признаков

при

неизменных значениях

других факторов решается

многофакторных моделях

при

помощи частных коэффициентов корреляции. Так, частный

коэффициент корреляции между результативным признаком

факторным признаком

Xi при

неизменном значении

факторного признака Х2 рассчитывается

по

формуле

где используются парные коэффициенты корреляции, рас-

считываемые

по

формулам, аналогичным (7.9).

Аналогичная формула имеет место

для

частного коэффи-

циента корреляции

Гу

Хз

(

)

между результативным признаком

факторным признаком

при

неизменном значении

факторного признака

Х\.

Для рассматриваемого примера частные коэффициенты

корреляции расходов

на

питание

от

душевого дохода

раз-

мера семей составляют

т(х

)

0,927;

(Xi)

0,849,

т.е.

теснота связи между расходами

на

питание

одним

из

исследуемых факторов

при

неизменном значении другого

является весьма значительной.

Если частные коэффициенты корреляции возвести

квад-

рат,

то

получим частные коэффициенты детерминации,

показывающие долю вариации результативного признака

под действием одного

из

факторов

при

неизменном значении

другого фактора.

нашей задаче

Эконометрические модели

275

г? , , = 0,859; г? , . =

0,721,

следовательно, влиянием душевого дохода при неизменном

размере семьи объясняется почти 86% изменения расходов

на питание, а изменение размера семьи при неизменном ду-

шевом доходе объясняет более 72% изменения расходов на

питание.

Влияние отдельных факторов в многофакторных моде-

лях может быть охарактеризовано с помощью частных ко-

эффициентов эластичности, которые в случае линейной

двухфакторной модели (7.7) рассчитываются по формулам:

Черта над символом, как и ранее, означает среднюю

арифметическую. Частные коэффициенты эластичности по-

казывают, на сколько процентов изменится результативный

признак, если значение одного из факторных признаков из-

менится на 1%, а значение другого факторного признака ос-

танется неизменным.

В рассматриваемом примере а\ = 0,0985; а

= 224,6; у =

= 1313,9; х

= 6080,6; х

—

3,1, следовательно, по формулам

(7.12) получим:

00986^0806 224,6-8,1

»*Л*г)

1313,9

tlx,)

1313,9

Это означает, что при увеличении душевого дохода на

один процент и неизменном размере семьи расходы на пи-

тание увеличатся на 0,456% , а увеличение (условное) на 1%

размера семьи при неизменном душевом доходе приведет к

возрастанию расходов на питание на 0,530%.

Определенные выводы о влиянии отдельных факторов на

результативный признак в случае линейной модели множе-

ственной регрессии можно сделать на основе расчета част-

ных бета-коэффициентов, которые для двухфакторной мо-

дели (6.7) задаются формулами:

276

Глава 7

fltjO~ ^2 х

Pj>*,(*

)

~F^"

;

Pff*i(*,)

•

(

)

Частные бета-коэффициенты показывают, на какую долю

своего среднеквадратического отклонения изменится в сред-

нем результативный признак при изменении одного из фак-

торных признаков на величину его среднеквадратического

отклонения и неизменном значении остальных факторов.

В рассматриваемой задаче ai=0,0985; a2=224,6; S

=673,8;

=4242,0;

Xi>

=0,79, так что расчеты по формулам (7.13)

дают следующие значения частных бета-коэффициентов:

Р^(*

)

= 673,8

°'

62; Р

^<*>

673,8

°'

Это означает, что при неизменном составе семей увели-

чение на величину среднеквадратического отклонения раз-

мера душевого дохода приведет к увеличению среднего зна-

чения расходов на питание на 0,62 их среднеквадратическо-

го отклонения, а при неизменном душевом доходе увеличе-

ние размера семей на величину его среднеквадратического

отклонения приведет к возрастанию расходов на питание

лишь на 0,26 их среднеквадратического отклонения.

7.3. Оценка качества эконометрических регрессионных

моделей и прогнозирование на их основе

Будем рассматривать, как и в предыдущем параграфе,

линейные эконометрические модели регрессии. Их качество

оценивается стандартным для экономико-математических

моделей образом: по адекватности и точности. Адекват-

ность регрессионных моделей может быть установлена, как

и в случае трендовых моделей, на основе анализа остаточной

последовательности; при этом расчетные значения получа-

ются подстановкой в модель фактических значений всех

включенных в модель факторов. Остаточная последовательность

проверяется на выполнение свойств случайной компоненты

временного экономического ряда: близость нулю математи-

ческого ожидания, случайный характер отклонений, отсутст-

Эконометрические модели

277

вие автокорреляции и нормальность закона распределения.

Эта проверка проводится теми же методами и с использова-

нием тех же статистических критериев, что и для трендовых

моделей (см. § 5.2).

О качестве моделей регрессии можно судить также по

значениям коэффициента корреляции (индекса корреляции)

и коэффициента детерминации для однофакторной модели и

по значениям коэффициента множественной корреляции и

совокупного коэффициента детерминации для моделей мно-

жественной регрессии. Формулы расчета этих коэффициентов

приведены в § 7.2. Чем ближе абсолютные величины ука-

занных коэффициентов к 1, тем теснее связь между изучаемым

признаком и выбранными факторами и, следовательно, с

тем большей уверенностью можно судить об адекватности

построенной модели, включающей в себя наиболее влияющие

факторы.

Для оценки точности регрессионных моделей обычно

используются те же статистические критерии точности, что

и для трендовых моделей, в частности, средняя относительная

ошибка аппроксимации (см. формулу (5.14)). Проверка

значимости модели регрессии проводится с использованием

F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится

как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений

изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии

остаточной последовательности для данной модели. Если

расчетное значение этого критерия со степенями свободы

V\ = n-lw.V2 =

n-m-l,

где п — количество наблюдений

и т — число включенных в модель факторов, больше таб-

личного значения критерия Фишера при заданном уровне

значимости, то модель признается значимой.

При проверке качества регрессионной модели целесооб-

разно оценить также значимость коэффициентов регрессии.

Эта оценка проводится по f-статистике Стьюдента путем

проверки гипотезы о равенстве нулю k-ro коэффициента рег-

рессии (k =

1,2,...,

т). Расчетное значение it-критерия с числом

степеней свободы (п - т - 1) находят путем деления

k-то

ко-

эффициента регрессии на среднеквадратическое отклонение

этого коэффициента, которое в свою очередь вычисляется как

квадратный корень из произведения несмещенной оценки

278

Глава 7

дисперсии остаточной компоненты и й-го диагонального

элемента матрицы, обратной матрице системы нормальных

уравнений относительно параметров модели. Это расчетное

значение сравнивается с табличным значением критерия

Стьюдента при заданном уровне значимости, и если оно

больше табличного значения, коэффициент регрессии счита-

ется значимым. В противном случае соответствующий дан-

ному коэффициенту регрессии фактор следует исключить из

модели, при этом качество модели не ухудшится.

Перейдем к вопросу экономического прогнозирования на

основе модели регрессии, при этом будем предполагать, что

модель, построенная на базе временных рядов изучаемого

показателя и включенных в модель факторов, является аде-

кватной и достаточно точной. При использовании построенной

модели для прогнозирования делается также предположение

о сохранении существовавших ранее взаимосвязей переменных

и на период упреждения.

Для прогнозирования зависимой переменной (результа-

тивного признака) на L шагов вперед необходимо знать

прогнозные значения всех входящих в модель факторов.

Эти значения могут быть получены на основе экстраполяци-

онных методов, например, с использованием средних абсо-

лютных приростов факторных признаков; они могут быть

также определены методами экспертных оценок или непо-

средственно заданы исследователем экономического процесса.

Прогнозные значения факторов подставляют в модель и полу-

чают точечные прогнозные оценки изучаемого показателя.

Для определения области возможных значений результа-

тивного показателя при известных значениях факторов, т.е.

доверительного интервала прогноза, необходимо учитывать

два возможных источника ошибок. Ошибки первого рода

вызываются рассеиванием наблюдений относительно линии

регрессии, и их можно учесть, в частности, величиной сред-

неквадратической ошибки аппроксимации изучаемого пока-

зателя с помощью регрессионной модели. Обозначим эту ве-

личину Sy и вычислим ее по формуле, аналогичной (5.15).

Ошибки второго рода обусловлены тем, что в действи-

тельности жестко заданные в модели коэффициенты регрес-

сии являются случайными величинами, распределенными

Эконометрические модели

279

по нормальному закону. Эти ошибки учитываются вводом

поправочного коэффициента при расчете ширины довери-

тельного интервала; формула для его расчета включает таб-

личное значение ^-статистики при заданном уровне значи-

мости и зависит от вида регрессионной модели.

Для линейной однофакторной модели, общий вид которой

имеет структуру, аналогичную (7.1), величина отклонения от

линии регрессии задается выражением (обозначим его В):

R(n,L,a) = SgtJl + 1/n + (x

n+L

- x? £(*, - xf. (7.14)

Здесь п — число наблюдений, L — количество шагов

вперед, а — уровень значимости прогноза, x

— наблюдае-

мое значение факторного признака в момент t, x — среднее

значение наблюдаемого фактора,

n+L

— прогнозное значе-

ние фактора на L шагов вперед.

Таким образом, для рассматриваемой модели формула

расчета нижней и верхней границ доверительного интерва-

ла прогноза имеет вид:

n+L

±R(n,L,OL), (7.15)

где

означает точечную прогнозную оценку изучаемого

результативного показателя по модели на L шагов вперед.

Вопросы и задания

Дайте общее понятие эконометрической модели. Какие

виды эконометрических моделей вы знаете?

Чем вызывается явление мультиколлинеарности в много-

факторных эконометрических моделях? Как это явление

сказывается на качестве моделей и как оно устраняется?

Какие задачи экономического анализа решаются на ос-

нове эконометрических моделей регрессии?

Раскройте экономическую интерпретацию коэффициентов

парной и множественной корреляции, коэффициентов

детерминации, совокупных коэффициентов детерминации.

280

Глава 7

Поясните экономический смысл коэффициента эластич-

ности и бета-коэффициента.

6. На основании каких коэффициентов можно проанализиро-

вать влияние отдельных факторов в линейных моделях

множественной регрессии?

Каким образом может быть оценено качество линейных

моделей регрессии?

8. Раскройте суть получения точечных и интервальных

прогнозных значений результативного показателя на

основе регрессионных моделей.

Упражнения

Данные опроса восьми групп семей о расходах на про-

дукты питания в зависимости от уровня доходов семьи

приведены в таблице (числа относительные в расчете на

100 руб. дохода и расхода):

Доходы семьи (х)

Расходы на продукты

питания (у)

1,4

1,1

3,3

1,4

5,5

2,0

7,6

2,4

9,8

2,8

12,0

3,1

14,7

3,5

18,9

4,0

Требуется:

1) рассчитать коэффициент корреляции и оценить тесноту

связи между доходами семьи и расходами на продукты пи-

тания;

2) построить линейную однофакторную модель зависимости

расходов на питание от дохода семьи;

3) рассчитать коэффициент детерминации, коэффициент

эластичности и бета-коэффициент и пояснить их экономиче-

ский смысл;

4) найти среднюю по модулю относительную ошибку ап-

проксимации и оценить точность построенной регрессионной

модели.

Результаты обследования десяти статистически одно-

родных филиалов фирмы приведены в таблице (цифры

условные):