Федосеев В.В. и др. Экономико-математические методы и прикладные модели

Подождите немного. Документ загружается.

Балансовые модели

241

зывается неотрицательным: X > 0. Встает вопрос, при каких

условиях экономическая система способна обеспечить поло-

жительный конечный выпуск по всем отраслям. Ответ на

этот вопрос связан с понятием продуктивности матрицы ко-

эффициентов прямых материальных затрат.

Будем называть неотрицательную матрицу А продуктивной,

если существует такой неотрицательный вектор X > 0, что

Х>АХ.

(6.11)

Очевидно, что условие (6.11) означает существование по-

ложительного вектора конечной продукции У > 0 для модели

межотраслевого баланса (6.6).

Для того чтобы матрица коэффициентов прямых материаль-

ных затрат А была продуктивной, необходимо и достаточно

чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:

1) матрица (Е -А) неотрицательно обратима, т.е. существу-

ет обратная матрица (Е - А)

>0;

2) матричный ряд Е + А + А

+ А

+ ...= V A

сходится,

fe=o

причем его сумма равна обратной матрице (Е - А)

-1

;

3) наибольшее по модулю собственное значение X матрицы

А,

то есть решение характеристического уравнения

\ХЕ - А\ = О,

строго меньше единицы;

4) все главные миноры матрицы (Е - А), т.е. определите-

ли матриц, образованные элементами первых строк и пер-

вых столбцов этой матрицы, порядка от 1 до п, положительны.

Более простым, но только достаточным признаком про-

дуктивности матрицы А является ограничение на величину

ее нормы, т.е. на величину наибольшей из сумм элементов

матрицы А в каждом столбце. Если норма матрицы А строго

меньше единицы, то эта матрица продуктивна; повторим,

что данное условие является только достаточным, и матрица

А может оказаться продуктивной и в случае, когда ее норма

больше единицы.

242

Глава 6

Наибольший по модулю корень характеристического урав-

нения, приведенного в условии 3) продуктивности матрицы А

(обозначим его через к*), может служить оценкой общего

уровня коэффициентов прямых материальных затрат, а сле-

довательно, величина 1-Х* характеризует остаток после за-

трат, т.е. продуктивность. Чем больше 1 - Я.*, тем больше

возможности достижения других целей, кроме текущего про-

изводственного потребления. Другими словами, чем выше

общий уровень коэффициентов матрицы А, тем больше наи-

большее по модулю собственное значение X* и ниже уровень

продуктивности, и наоборот, чем ниже общий уровень коэф-

фициентов матрицы А, тем меньше наибольшее по модулю

собственное значение и выше продуктивность.

Перейдем к анализу матрицы коэффициентов полных

материальных затрат, т.е. матрицы В = (Е - А)"

. Согласно

определению 2 из предыдущего параграфа коэффициент

этой матрицы показывает, сколько всего нужно произвести

продукции i-й отрасли, чтобы получить единицу конечной

продукции у'-й отрасли.

Дадим другое определение коэффициента полных мате-

риальных затрат исходя из того, что кроме прямых затрат

существуют косвенные затраты той или иной продукции при

производстве продукции данной отрасли. Рассмотрим в каче-

стве примера формирование затрат электроэнергии на выпуск

стального проката, при этом ограничимся технологической

цепочкой «руда-чугун-сталь-прокат». Затраты электроэнергии

при получении проката из стали будут называться прямыми

затратами, те же затраты при получении стали из чугуна будут

называться косвенными затратами 1-го порядка, а затраты

электроэнергии при получении чугуна из руды будут назы-

ваться косвенными затратами электроэнергии на выпуск

стального проката 2-го порядка и т. д. В связисо сказанным

выше имеет место следующее определение.

Определение 3. Коэффициентом полных материальных

затрат сц называется сумма прямых затрат и косвенных за-

трат продукции i-й отрасли для производства единицы про-

дукции у'-й отрасли через все промежуточные продукты на

всех предшествующих стадиях производства. Если коэффи-

Балансовые модели

243

циент косвенных материальных затрат ft-ro порядка обозна-

чить через a\f\ то имеет место формула

= а

+ а§ + af +...+«#> +..., (6.12)

а если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов пол-

ных материальных затрат С = (c

j) и матрицы коэффициен-

тов косвенных материальных затрат различных порядков

(k)

= (а

у), то поэлементную формулу (6.12) можно запи-

сать в более общем матричном виде:

С = А

(1)

+ А

(2)

+...+А

(й)

+... (6.13)

Исходя из содержательного смысла коэффициентов кос-

венных материальных затрат можно записать ряд матричных

соотношений:

(1)

= АА

; А

(2)

= АА

а)

= АА

= А

;

А<*> = AA

(

*-« = АА* = А*

с использованием которых матричная формула (6.13) может

быть переписана в следующем виде:

С = А

+ А

+...+А*

+...= £

А*.

(6.14)

Если матрица коэффициентов прямых материальных затрат

А является продуктивной, то из условия 2) продуктивности

существует матрица В = (£ - А)

-1

, являющаяся суммой схо-

дящегося матричного ряда:

со

В^(Е-А)-

= £ + А + А

+А

+...=

£А*.

(6.15)

fc=0

Из сопоставления соотношений (6.14) и (6.15) устанав-

ливается следующая связь между двумя матрицами коэффи-

циентов полных материальных затрат:

В = Е + С,

или, в поэлементной записи:

244

Глава 6

Icy, если i * у,

II + c

-, если i = у.

Данная связь определяет экономический смысл различия

между коэффициентами матриц В и С: в отличие от коэф-

фициентов матрицы С, учитывающих только затраты на

производство продукции, коэффициенты матрицы В включа-

ют в себя кроме затрат также саму единицу конечной про-

дукции, которая выходит за сферу производства.

Перейдем теперь к вычислительным аспектам решения

задач на основе модели межотраслевого баланса. Основной

объем расчетов по этой модели связан с вычислением мат-

рицы коэффициентов полных материальных затрат В. Если

матрица коэффициентов прямых материальных затрат А за-

дана и является продуктивной, то матрицу В можно находить

либо по формулам обращения матриц, рассматриваемым в кур-

се матричной алгебры (некоторые из этих формул рассмотрены

в гл. 2), либо приближенным способом, используя разложение

в матричный ряд (6.15).

Рассмотрим первый способ нахождения матрицы

В.

Находят матрицу (Е - А), а затем, применяя один из пря-

мых методов обращения невырожденных матриц, вычисляют

матрицу (Е - А)"

. Одним из наиболее употребительных ме-

тодов обращения матриц является метод Жордана. Часто

применяется также метод, основанный на применении фор-

мулы матричной алгебры

(Е-А)~

=¥—Ч,

(6.16)

где в числителе матрица, присоединенная к матрице (Е -А),

элементы которой представляют собой алгебраические допол-

нения для элементов транспонированной матрицы (Е -A)', a

в знаменателе — определитель матрицы (Е -А). Алгебраиче-

ские дополнения в свою очередь для элемента с индексами i

и у получаются умножением множителя (-l)

' на минор,

получаемый после вычеркивания из матрицы i-й строки и

у'-го столбца.

Балансовые модели

245

При втором способе вычисления матрицы коэф-

фициентов полных материальных затрат используется фор-

мула (6.15). Обязательным условием корректности этих

расчетов является условие продуктивности матрицы А, и при

расчетах ограничиваются учетом косвенных материальных

затрат до некоторого порядка включительно, например до 2-го,

3-го порядков. В этом способе используется процедура умно-

жения квадратных матриц с их последующим сложением, и

коэффициенты полных материальных затрат получаются с

известным приближением (с недостатком).

Пример 1. Для трехотраслевой экономической системы

заданы матрица коэффициентов прямых материальных

затрат и вектор конечной продукции:

А =

'0,3 ОД 0,4

0,2 0,5 0,0

^0,3 0,1 0,2j

2 0 0^

10 0

КЗ о 0у

Найти коэффициенты полных материальных затрат и

вектор валовой продукции, заполнить схему межотраслевого

материального баланса.

Определим матрицу коэффициентов полных материаль-

ных затрат по второму (приближенному) способу, учитывая

косвенные материальные затраты до 2-го порядка включи-

тельно. Запишем матрицу коэффициентов косвенных затрат

1-го порядка:

А« = А

43 0,1 0,4

0,2 0,5 0,0

0,3 0,1 0,2.

'0,3 0,1 0,4

0,2 0,5 0,0

0,3 0,1 0,2

'0,23 0,12 0,20

0,16 0,27 0,08

0,17

одо оде;

матрицу коэффициентов косвенных затрат 2-го порядка:

'0,3 ОД 0,4^1 f0,23 0,12 0,20)

0,2 0,5 0,0

,0,3 ОД 0,2,

(2)

= АА

(1)

0,16 0,27 0,08

0,17 0,10 0.16J

246

Глава 6

'0,153 0,103 0,132^1

0,126 0,159 0,080

0,119 0,083 0,100,

Таким образом, матрица коэффициентов полных мате-

риальных затрат приближенно равна

В*Е

+А

fl,683 0,323 0,732

0,486 1,929 0,160

0,589 0,283

1,460,

Определим матрицу коэффициентов полных материаль-

ных затрат с помощью формул обращения невырожденных

матриц (первый способ).

а) Находим матрицу (Е -А):

(Е-А) =

(1 0 0]

0 10

1о

о 1)

0,3 0,1 0,4

0,2 0,5 0,0

0,3 0,1 0,2

0,7 -0,1 -0,4

-0,2 0,5 -0,0

-0,3 -ОД

o,s;

б) Вычисляем определитель этой матрицы:

0,196.

Е-А

0,7 -ОД -0,4

-0,2 0,5 -0,0

-0,3 -ОД 0,8

в) Транспонируем матрицу (Е -А):

(Е - А)'

-0,3

( 0,7 -0,2

-ОД 0,5 -ОД

-0,4 0,0 0,8,

г) Находим алгебраические дополнения для элементов

матрицы (Е - А)':

Балансовые модели

247

A„=(-D

= (-D

= (-1)

= (-D

0,5 -0,1

0,0 0,8

-0,1 0,5

-0,4 0,0

0,40; А

= (-1)

= 0,20; А

= (-1)

0,7 -0,3

' = 0,44; А

= (-1)

-0,4 0,8

-0,2 -0,8

0,5 -0,]

0,7 -0,2

-0,1 0,Е

= 0,17; А

= (-1)

-0,1 -0,1

-0,4 0,8

-0,2 -0,3

0,0 0,8

0,7 -0,2

-0,4 0,0

0,7 -0,3

-0,1 -0,1

= 0,12;

= 0,16;

= 0,08;

= 0,10;

= 0,33.

Таким образом, присоединенная к матрице (Е - А) мат-

рица имеет вид:

{Е-и 4) =

'0,40 0,12 0,20^

0,16 0,44 0,08

0.17 0.10 0.33;

•

д) Используя формулу (6.16), находим матрицу коэффи-

циентов полных материальных затрат:

'2,041 0,612

1,020

В = (Е - А)

-1

0,816 2,245 0,408

1,0,867

0,510

1,684>

Как отмечено выше, элементы матрицы В, рассчитанные

по точным формулам обращения матриц, больше соответст-

вующих элементов матрицы, рассчитанной по второму при-

ближенному способу без учета косвенных материальных за-

трат порядка выше 2-го.

Найдем величины валовой продукции трех отраслей

(вектор X), используя формулу (6,8'):

1,020^1

f200\

(776,3^

X = BY = 0,816 2,245 0,408 . 100 = 510,1

,0,867 0,510

1.684J

UooJ

1,729,6,

248

Глава 6

Для определения элементов первого квадранта матери-

ального межотраслевого баланса воспользуемся формулой,

вытекающей из формулы (6.4): зс^ = a

jXj. Из этой формулы

следует, что для получения первого столбца первого квад-

ранта нужно элементы первого столбца заданной матрицы А

умножить на величину Х\ =

775,3;

элементы второго столбца

матрицы А умножить на Х2 =

510,1;

элементы третьего

столбца матрицы А умножить на Х^ = 729,6.

Составляющие третьего квадранта (условно чистая про-

дукция) находятся с учетом формулы (6.1) как разность между

объемами валовой продукции и суммами элементов соответ-

ствующих столбцов найденного первого квадранта.

Четвертый квадрант в нашем примере состоит из одного

показателя и служит, в частности, для контроля правильности

расчета: сумма элементов второго квадранта должна в стои-

мостном материальном балансе совпадать с суммой элемен-

тов третьего квадранта. Результаты расчета представлены в

табл. 6.2.

Таблица 6.2. Межотраслевой баланс производства

и распределения продукции

Производящие

отрасли

Условно чистая

продукция

Валовая

продукция

232,6

155,1

232,6

155,0

775,3

Потребляющие отрасли

51,0

255,0

51,0

153,1

510,1

291,8

0,0

145,9

291,9

729,6

Конечная

продукция

200,0

100,0

300,0

600,0

Валовая

продукция

775,3

510,1

729,6

2015,0

6.4. Межотраслевые балансовые модели

в анализе экономических показателей

Различные модификации рассмотренной выше модели

межотраслевого баланса производства и распределения про-

дукции в народном хозяйстве позволяют расширить круг

Балансовые модели

249

показателей, охватываемых моделью. Рассмотрим применение

межотраслевого балансового метода для анализа таких важ-

ных экономических показателей, как труд, фонды и цены.

К числу важнейших аналитических возможностей дан-

ного метода относится определение прямых и полных затрат

труда на единицу продукции и разработка на этой основе

балансовых продуктово-трудовых моделей, исходной моде-

лью при этом служит отчетный межпродуктовый баланс в

натуральном выражении. В этом балансе по строкам пред-

ставлено распределение каждого отдельного продукта на

производство других продуктов и конечное потребление

(первый и второй квадранты схемы межотраслевого баланса).

Отдельной строкой дается распределение затрат живого труда

в производстве всех видов продукции; предполагается, что

трудовые затраты выражены в единицах труда одинаковой

степени сложности.

Обозначим затраты живого труда в производстве j-ro про-

дукта через Lj, а объем производства этого продукта (вало-

вой выпуск), как и раньше, через Xj. Тогда прямые затраты

труда на единицу j-ro вида продукции (коэффициент прямой

трудоемкости) можно задать следующей формулой:

*,=-*-;

1Я (6.17)

Введем понятие полных затрат труда как суммы прямых

затрат живого труда и затрат овеществленного труда, пере-

несенных на продукт через израсходованные средства произ-

водства. Если обозначить величину полных затрат труда на

единицу продукции /'-го виДа через Tj, то произведения вида

jTi отражают затраты овеществленного труда, перенесенного

на единицу /-го продукта через i-e средство производства;

при этом предполагается, что коэффициенты прямых мате-

риальных затрат a

j выражены в натуральных единицах. Тогда

полные трудовые затраты на единицу ;-го вида продукции

(коэффициент полной трудоемкости) будут равны

250

Глава 6

Введем в рассмотрение вектор-строку коэффициентов пря-

мой трудоемкости

= (t\, ti,..., t

)

вектор-строку коэффи-

циентов полной трудоемкости Т = (Т\, Гг,..., Т

Тогда с использованием уже рассматриваемой выше мат-

рицы коэффициентов прямых материальных затрат А (в нату-

ральном выражении) систему уравнений (6.18) можно пере-

писать в матричном виде:

Т = ТА +

(6.19)

Произведя очевидные матричные преобразования с исполь-

зованием единичной матрицы Е

Т -ТА=ТЕ

-ТА

= Т(Е

А) =

получим следующее соотношение для вектора коэффициентов

полной трудоемкости:

Т = t(E

-A)-

(6.20)

Матрица (Е

А) нам уже знакома, это матрица

коэф-

фициентов полных материальных затрат, так что последнее

равенство можно переписать в виде

Т = tB (6.20')

Обозначим через

величину совокупных затрат живого

труда по всем видам продукции, которая с учетом формулы

(6.17) будет равна

=tX.

(6.21)

Используя соотношения (6.21) (6.8')

(6.20'), приходим

к следующему равенству:

TY, (6.22)

здесь

— вектор-строки коэффициентов прямой и полной

трудоемкости, а

и У — вектор-столбцы валовой и конечной

продукции соответственно.

Соотношение (6.22) представляет собой основное балан-

совое равенство

теории межотраслевого баланса труда.

В данном случае его конкретное экономическое содержание