Федосеев В.В. и др. Экономико-математические методы и прикладные модели

Подождите немного. Документ загружается.

Модели прогнозирования экономических процессов 211

обозначить через К, то формула для доверительного интерва-

ла примет вид

n+L

± s

(5.19)

Значения величины К для оценки доверительных интер-

валов прогноза относительно линейного тренда табулированы.

Фрагмент такой таблицы для уровня значимости а = 0,20 пред-

ставлен для иллюстрации в табл. 5.4.

Таблица 5.4

Число уровней

в ряду (п)

1,932

1,692

1,581

1,536

Период упреждения

2 3 4

2,106 2,300 2,510

1,774 1,865 1,964

1,629 1,682 1,738

1,572 1,611 1,653

2,733

2,069

1,799

1,697

2,965

2,180

1,863

1,745

Иногда для расчета доверительных интервалов прогноза

относительно линейного тренда применяют приведенную

выше формулу в несколько преобразованном виде:

-\2

и„

Уп

".*К

+Ь

(5.20)

ЕС-О

Здесь t — порядковый номер уровня ряда (t = 1,2, ..., п);

ti = п + L — время, для которого делается прогноз; t —

время, соответствующее середине периода наблюдений для

исходного ряда, например, t = (п + 1):2; суммирование

ведется по всем наблюдениям.

Эту формулу можно упростить, если, как часто делается

на практике, перенести начало отсчета времени на середину

периода наблюдений (F= 0):

n+L

±t

sJl

U^-

(5.21)

Формула для расчета доверительных интервалов прогноза

относительно тренда, имеющего вид полинома второго или

третьего порядка, выглядит следующим образом:

212

Глава 5

V, - y.,

L ±tA

^-*

* ____^. ,5.22,

Аналогично вычисляются доверительные интервалы для

экспоненциальной кривой роста, а также для кривых роста,

имеющих асимптоту (модифицированная экспонента, кривая

Гомперца, логистическая кривая), если значение асимптоты

известно.

Таким образом, формулы расчета доверительного интер-

вала для трендовых моделей разного класса различны, но

каждая из них отражает динамический аспект прогнозиро-

вания, т.е. увеличение неопределенности прогнозируемого

процесса с ростом периода упреждения проявляется в посто-

янном расширении доверительного интервала.

Несмотря на громоздкость некоторых формул, расчет точеч-

ных и интервальных прогнозов на основе трендовых моделей

в форме кривых роста технически является достаточно простой

процедурой. Однако не следует обольщаться технической

простотой процедуры экстраполяции и пытаться заглянуть

слишком далеко, это неизбежно приведет к грубым ошибкам.

Оптимальная длина периода упреждения определяется отдель-

но для каждого экономического явления с учетом статисти-

ческой колеблемости изучаемых данных на основе содержа-

тельного суждения о стабильности явления. Эта длина, как

правило, не превышает для рядов годовых наблюдений одной

трети объема данных, а для квартальных и месячных рядов —

двух лет.

При выравнивании временных рядов с использованием

кривых роста приходится решать вопрос о том, какой длины

должен быть ряд, выбираемый для прогнозирования. Оче-

видно, что если период ряда экономической динамики слиш-

ком короткий, можно не обнаружить тенденцию его развития.

С другой стороны, очень длительный временной ряд может

охватывать периоды с различными трендами и его описание

с помощью одной кривой роста не даст положительных ре-

зультатов. Поэтому рекомендуется поступать следующим

образом. Если нет никаких соображений качественного по-

рядка, следует брать возможно больший промежуток времени.

Модели прогнозирования экономических процессов 213

Если развитие обнаруживает циклический характер, следует

брать период от середины первого до середины последнего

периода цикла. Если ряд охватывает периоды с разными

трендами, лучше сократить ряд, отбросив наиболее ранние

уровни, которые относятся к периоду с иной тенденцией

развития.

При экстраполяционном прогнозировании экономической

динамики с использованием трендовых моделей весьма ва-

жным является заключительный этап — верификация

прогноза. Верификация любых дескриптивных моделей, к

которым относятся трендовые модели, сводится к сопостав-

лению расчетных результатов по модели с соответствующи-

ми данными действительности — массовыми фактами и за-

кономерностями экономического развития. Верификация

прогнозной модели представляет собой совокупность крите-

риев,

способов и процедур, позволяющих на основе многосто-

роннего анализа оценивать качество получаемого прогноза.

Однако чаще всего на этапе верификации в большей степени

осуществляется оценка метода прогнозирования, с помощью

которого был получен результат, чем оценка качества самого

результата. Это связано с тем, что до сих пор не найдено эф-

фективного подхода к оценке качества прогноза до его реа-

лизации.

Даже в тех случаях, когда прогноз не оправдался, нельзя

категорически утверждать, что он был бесполезен, поскольку

пользователь, если он хотя бы частично контролирует ход

событий и может воздействовать на экономический процесс,

может использовать прогнозную информацию желаемым

для себя образом. Так, получив прогноз событий, определяю-

щих нежелательное направление перспективного развития,

пользователь может принять меры, чтобы прогноз не оп-

равдался; такой прогноз называется самодеструктивным.

Если прогноз предсказал ход событий, устраивающий поль-

зователя, то он может использовать свои возможности для

увеличения вероятности правильного прогноза; подобный

прогноз называется саморегулирующим. Таким образом, по-

казателем ценности прогноза является не только его дос-

товерность, но и полезность для пользователей.

214 Глава 5

О точности прогноза принято судить по величине ошиб-

ки прогноза —- разности между фактическим значением ис-

следуемого показателя и его прогнозным значением. Оче-

видно, что определить указанную разность можно лишь в

двух случаях: либо если период упреждения уже окончился

и известно фактическое значение прогнозируемого показате-

ля (известна его реализация), либо если прогнозирование

осуществлялось для некоторого момента времени в про-

шлом, для которого известны фактические данные.

Во втором из названных случаев информация делится на

две части. Часть, охватывающая более ранние данные, слу-

жит для оценивания параметров прогностической кривой

роста, другая, более поздняя, рассматривается как реализа-

ция прогноза. Полученные таким образом ошибки прогноза

в какой-то мере характеризуют точность применяемой мето-

дики прогнозирования.

Проверка точности одного прогноза недостаточна для

оценки качества прогнозирования, так как она может быть

результатом случайного совпадения. Наиболее простой мерой

качества прогнозов при условии, что имеются данные об их

реализации, является отношение числа случаев, когда фак-

тическая реализация охватывалась интервальным прогнозом,

к общему числу прогнозов. Данную меру качества прогнозов

k можно вычислить по формуле

-£-,

где р — число прогнозов, подтвержденных фактическими

данными; q — число прогнозов, не подтвержденных факти-

ческими данными.

Однако в практической работе проблему качества про-

гнозов чаще приходится решать, когда период упреждения

еще не закончился и фактическое значение прогнозируемого

показателя неизвестно. В этом случае более точной счита-

ется модель, дающая более узкие доверительные интервалы

прогноза. На практике не всегда удается сразу построить

достаточно хорошую модель прогнозирования, поэтому опи-

санные в данной главе этапы построения трендовых моде-

лей экономической динамики выполняются неоднократно.

Модели прогнозирования экономических процессов 215

Рассмотрим пример расчета точечного и интервального

прогноза на основе трендовых моделей, используя данные

задачи, решаемой в предыдущем параграфе данной главы.

L. Пример 2. Пусть для временного ряда, представлен-

ного в табл. 5.3, требуется дать прогноз на два шага вперед

(£ = 10и£ = 11)на основе адекватной линейной модели

= 87,8 - 3,4* .

Точечные прогнозы получим, подставляя в уравнение

модели значения £ = 10и* = 11:

= 87,8 - 3,4

•

10 = 53,8;

=87,8-3,4-11 = 50,4.

При расчете доверительных интервалов прогноза учтем,

что в процессе решения упомянутой задачи предыдущего

параграфа было найдено значение средней квадратической

ошибки оценки прогнозируемого показателя Sj = 1,39, а

значения величины К в формуле (5.17) для ряда из девяти

уровней можно получить при уровне значимости а = 0,20

из табл. 5.4 путем линейной интерполяции приведенных

значений для п = 7 и п = 10: для t = 10 (L = 1) К = 1,77;

для t = 11 (L = 2) К = 1,88. Результаты расчета по формуле

(5.17) представлены в табл. 5.5.

Таблица 5.5

Время

(t)

Шаг

(L)

Точечный,

прогноз

{Уп

ь)

Доверительный

интервал прогноза

Нижняя гра-

ница

Верхняя

граница

10 1 53,8 51,3 56,3

11 2 50,4 47,8 53,0

Так как модель, на основе которой осуществлялся про-

гноз,

признана адекватной, то с принятым уровнем значи-

мости 0,20, другими словами, с доверительной вероятностью

0,80 (или 80%) можно утверждать, что при сохранении сло-

жившихся закономерностей развития прогнозируемая вели-

чина попадет в интервал, образованный нижней и верхней

границами. -Л

216

Глава 5

5.4. Адаптивные модели прогнозирования

Как уже выше отмечено, в основе экстраполяционных ме-

тодов прогнозирования лежит предположение о том, что ос-

новные факторы и тенденции, имевшие место в прошлом,

сохраняются в будущем. Сохранение этих тенденций — не-

пременное условие успешного прогнозирования. При этом

необходимо, чтобы учитывались лишь те тенденции, которые

еще не устарели и до сих пор оказывают влияние на изучае-

мый процесс.

При краткосрочном прогнозировании, а также при про-

гнозировании в ситуации изменения внешних условий, ко-

гда наиболее важными являются последние реализации ис-

следуемого процесса, наиболее эффективными оказываются

адаптивные методы, учитывающие неравноценность уровней

временного ряда.

Адаптивные модели прогнозирования — это модели дис-

контирования данных, способные быстро приспосабливать

свою структуру и параметры к изменению условий. Инстру-

ментом прогноза в адаптивных моделях, как и в кривых

роста, является математическая модель с единственным фак-

тором «время».

При оценке параметров адаптивных моделей в отличие

от рассматриваемых ранее моделей «кривых роста» наблюде-

ниям (уровням ряда) присваиваются различные веса в за-

висимости от того, насколько сильным признается их влия-

ние на текущий уровень. Это позволяет учитывать изме-

нения в тенденции, а также любые колебания, в которых

прослеживается закономерность. Все адаптивные модели

базируются на двух схемах: скользящего среднего (СС-мо-

дели) и авторегрессии (АР-модели).

Согласно схеме скользящего среднего, оценкой текущего

уровня является взвешенное среднее всех предшествующих

уровней, причем веса при наблюдениях убывают по мере

удаления от последнего уровня, т. е. информационная цен-

ность наблюдений признается тем большей, чем ближе они

к концу интервала наблюдений. Такие модели хорошо отра-

жают изменения, происходящие в тенденции, но в чистом

виде не позволяют отражать колебания.

Модели прогнозирования экономических процессов 217

Реакция на ошибку прогноза и дисконтирование уровней

временного ряда в моделях, базирующихся на схеме СС,

определяется с помощью параметров сглаживания (адаптации),

значения которых могут изменяться от нуля до единицы.

Высокое значение этих параметров (свыше 0,5) означает при-

дание большего веса последним уровням ряда, а низкое

(менее 0,5) — предшествующим наблюдениям. Первый случай

соответствует быстроизменяющимся динамичным процессам,

второй — более стабильным.

В авторегрессионной схеме оценкой текущего уровня

служит взвешенная сумма не всех, а нескольких предшест-

вующих уровней, при этом весовые коэффициенты при наблю-

дениях не ранжированы. Информационная ценность наблю-

дений определяется не их близостью к моделируемому уровню,

а теснотой связи между ними.

Общая схема построения адаптивных моделей может

быть представлена следующим образом. По нескольким пер-

вым уровням ряда оцениваются значения параметров моде-

ли.

По имеющейся модели строится прогноз на один шаг

вперед, причем его отклонение от фактических уровней ряда

расценивается как ошибка прогнозирования, которая учиты-

вается в соответствии с принятой схемой корректировки мо-

дели. Далее по модели со скорректированными параметрами

рассчитывается прогнозная оценка на следующий момент

времени и т.д. Таким образом, модель постоянно «впиты- ^

вает» новую информацию и к концу периода обучения отра-

жает тенденцию развития процесса, существующую в дан-

ный момент.

В практике статистического прогнозирования наиболее

часто используются две базовые СС-модели — Брауна и

Хольта, первая из них является частным случаем второй.

Эти модели представляют процесс развития как линейную

тенденцию с постоянно изменяющимися параметрами.

Модель Брауна (модель экспоненциального сглаживания).

Модель Брауна может отображать развитие не только в виде

линейной тенденции, но также в виде случайного процесса,

не имеющего тенденции, а также в виде изменяющейся па-

раболической тенденции. Соответственно различают модели

Брауна:

218

Глава 5

• нулевого порядка, которая описывает процессы, не имею-

щие тенденции развития. Она имеет один параметр Ао

(оценка текущего уровня). Прогноз развития на k шагов

вперед осуществляется согласно формуле Y(t+k) = AQ.

Такая модель также называется «наивной» («будет, как

было»);

• первого порядка (Y(t+k)= AQ +A

k). Коэффициент Ао —

значение, близкое к последнему уровню, и представляет

как бы закономерную составляющую этого уровня. Коэф-

фициент А\ определяет прирост, сформировавшийся в ос-

новном к концу периода наблюдений, но отражающий

также (правда, в меньшей степени) скорость роста на более

ранних этапах;

• второго порядка, отражающей развитие в виде парабо-

лической тенденции с изменяющимися «скоростью» и

«ускорением». Она имеет три параметра (Аг — оценка

текущего прироста или «ускорение»). Прогноз осуществ-

ляется по формуле: Y(t+k) =

+ A\k + А2А

Порядок модели обычно определяют либо априорно на

основе визуального анализа графика процесса (есть ли тренд

и близок ли он к линейной функции), знаний законов раз-

вития характера изменения исследуемого явления, либо

методом проб, сравнивая статистические характеристики

моделей различного порядка на участке ретроспективного

прогнозирования.

Рассмотрим этапы построения линейной адаптивной

модели Брауна.

Этап 1. По первым пяти точкам временного ряда оце-

ниваются начальные значения Ао и А\ параметров модели с

помощью метода наименьших квадратов для линейной ап-

проксимации:

Yjtf) =

+ A

t (* =

1,2,...,5).

Этап 2. С использованием параметров Ао и Ai по модели

Брауна находим прогноз на один шаг {k = 1):

(t,k)

= Ao(0 + A

(t)k.

Модели прогнозирования экономических процессов 219

Этап 3. Расчетное значение

(t,k)

экономического пока-

зателя сравнивают с фактическим Y{t) и вычисляется вели-

чина их расхождения (ошибки). При k =

имеем:

«К* + 1) = Y(t + 1) - Y

(t,l).

Этап 4. В соответствии с этой величиной корректируются

параметры модели. В модели Брауна модификация осущест-

вляется следующим образом:

Mt) = Mt -1) + A

(t - l) + (l - pW);

(t)

= Atf - 1) + (1 - P)

e(*),

где р — коэффициент дисконтирования данных, изменяю-

щийся в пределах от 0 до 1 (а + Р = 1), характеризующий

обесценение данных за единицу времени и отражающий

степень доверия более поздним наблюдениям. Оптимальное

значение р находится итеративным путем, т. е. многократ-

ным построением модели при разных р и выбором наилуч-

шей, или по формуле:

Р = N - 3/N - 1),

где N — длина временного рада, а — параметр сглаживания

(а = 1 - р);

e(t) — ошибка прогнозирования уровня Y(t), вычис-

ленная в момент времени (t - 1) на один шаг вперед.

Этап 5. По модели со скорректированными параметрами

И А\ находят прогноз на следующий момент времени.

Возврат на пункт 3, если t < N.

Если t = N, то построенную модель можно использовать

для прогнозирования на будущее.

Этап 6. Интервальный прогноз строится как для линей-

ной модели кривой роста.

Пример 3. Построим прогноз по линейной модели Брауна

курса немецкой марки за май 1997 г.

Исходный временной ряд содержит 19 уровней наблю-

дения данного показателя

220

Глава 5

Y(t):

3333 3337 3354 3364 3418 3392 3380 3406 3394 3409

3410 3425 3409 3415 3416 3402 3387 3391 3390.

Воспользуемся схемой адаптивного прогнозирования.

Начальные оценки параметров получим по первым пяти

точкам (табл. 5.6) при помощи МНК по формулам:

![(*- и) fw> -

4)/X(*

19?

У - АЛ • t

ср

1 "-ср

3361,2 - 19,7

•

3 =

3302,1,

где t

— среднее значение фактора «время»; У

ср

— среднее

значение исследуемого показателя (Y

= 16806:5 = 3361,2,

ср

Таблица 5.6. Оценка начальных значений параметров модели

Y(t)

3333

3337

3354

3364

3418

16806

(t-t

)'(t-t

)

4,0

1,0

0,0

1,0

4,0

10,0

У(*)-У.

-28,2

-24,2

-7,2

2,8

56,8

*-*.р

-2

-1

(t-t

)-(Y(t)-Y

)

56,4

24,2

2,8

113,6

197

Возьмем ft = 1, а параметр сглаживания равным 0,4.

В табл. 5.7 приведены расчеты параметров модели Брауна

на каждом шаге. На последнем шаге получена модель

(N + k) = 338^9,8-

1,5ft.

Прогнозные оценки по этой

модели получаются подстановкой в нее значений ft = 1 и

ft = 2, а интервальные — по формуле:

щ*)

= «л

1+l

{{

N+к

07К*

где,

как и в формуле (5.18), Sg — среднее квадратическое

отклонение (СКО) аппроксимации, t

— табличное значение

критерия Стьюдента с заданным уровнем значимости а.