Федосеев В.В. и др. Экономико-математические методы и прикладные модели

Подождите немного. Документ загружается.

Модели прогнозирования экономических процессов 201

Проверка соответствия распределения случайной ком-

поненты нормальному закону распределения может быть

произведена лишь приближенно с помощью исследования

показателей асимметрии (yi) и эксцесса (у2),так как временные

ряды, как правило, не очень велики. При нормальном рас-

пределении показатели асимметрии и эксцесса некоторой

генеральной совокупности равны нулю. Мы предполагаем, что

отклонения от тренда представляют собой выборку из генераль-

ной совокупности, поэтому можно определить только выбороч-

ные характеристики асимметрии и эксцесса и их ошибки:

Yi =

1 "

б(п - 2)

|(п + 1)(п + 3)'

(5.10)

24n(n - 2)(п - 3)

°"

~ j(n

lf(n

3){n

5)'

В этих формулах у\ — выборочная характеристика асим-

метрии; у

— выборочная характеристика эксцесса; ст^ и

соответствующие среднеквадратические ошибки.

Если одновременно выполняются следующие неравенства:

Y2 +

|Yi|

1,5сг

;

п +1

< l,5a

то гипотеза о нормальном характере распределения случайной

компоненты принимается.

Если выполняется хотя бы одно из неравенств

|YiP 2(T

;

Y2 +

п +1

> 2a

то гипотеза о нормальном характере распределения отверга-

ется, трендовая модель признается неадекватной. Другие

случаи требуют дополнительной проверки с помощью более

сложных критериев.

202

Глава 5

Кроме рассмотренного метода известен ряд других методов

проверки нормальности закона распределения случайной

величины: метод Вестергарда, Д5-критерий и т. д. Рассмот-

рим наиболее простой из них, основанный на iJS-критерии.

Этот критерий численно равен отношению размаха вариа-

ции случайной величины R к стандартному отклонению S.

В нашем случаеR = е

тах

min

S = S$ = ^£е?/л - 1.

Вьь

численное значение RS-критерия сравнивается с табличными

(критическими) нижней и верхней границами данного

отношения, и если это значение не попадает в интервал между

критическими границами, то с заданным уровнем значимости

гипотеза о нормальности распределения отвергается; в про-

тивном случае эта гипотеза принимается. Для иллюстрации

приведем несколько пар значений критических границ RS-

критерия для уровня значимости а = 0,05: при п = 10 ниж-

няя граница равна 2,67, а верхняя равна 3,685; при п = 20 эти

числа составляют соответственно 3,18 и 4,49; при п = 30 они

равны 3,47 и 4,89.

Проверка равенства математического ожидания слу-

чайной компоненты нулю, если она распределена по нор-

мальному закону, осуществляется на основе i-критерия

Стьюдента. Расчетное значение этого критерия задается

формулой

г =

Ц1^п, (5.11)

^Е

где е — среднее арифметическое значение уровней остаточ-

ной последовательности е

(

;

— стандартное (среднеквадратическое) отклонение для

этой последовательности.

Если расчетное значение t меньше табличного значения t

статистики Стьюдента с заданным уровнем значимости а и

числом степеней свободы га-1, то гипотеза о равенстве нулю

математического ожидания случайной последовательности

принимается; в противном случае эта гипотеза отвергается

и модель считается неадекватной.

Модели прогнозирования экономических процессов 203

Проверка независимости значений уровней случайной

компоненты, т.е. проверка отсутствия существенной авто-

корреляции в остаточной последовательности может осуще-

ствляться по ряду критериев, наиболее распространенным

из которых является d-критерий Дарбина—Уотсона. Рас-

четное значение этого критерия определяется по формуле

Х(

< -e*_i)

*zl . (5.12)

Заметим, что расчетное значение критерия Дарбина-Уот-

сона в интервале от 2 до 4 свидетельствует об отрицательной

связи; в этом случае его надо преобразовать по формуле

d' = 4 - d ив дальнейшем использовать значение d'.

Расчетное значение критерия d (или d') сравнивается с

верхним d%

нижним d\ критическими значениями ста-

тистики Дарбина—Уотсона, фрагмент табличных значений

которых для различного числа уровней ряда п и числа опре-

деляемых параметров модели k представлен для наглядности

в табл. 5.2 (уровень значимости 5%).

Таблица 5.2

k=l

rfl

ft=2

ft=3

15 1,08 1,36 0,95 1,54 0,82 1,75

20 1,20 1,41 1,10 1,54 1,00 1,68

30 1,35 1,49 1,28 1,57 1,21 1,65

Если расчетное значение критерия d больше верхнего

табличного значения

d%,

то гипотеза о независимости уров-

ней остаточной последовательности, т.е. об отсутствии в

ней автокорреляции, принимается. Если значение d меньше

нижнего табличного значения d±, то эта гипотеза отвергается

и модель неадекватна. Если значение d находится между

значениями d\ и

d<i,

включая сами эти значения, то считается,

что нет достаточных оснований сделать тот или иной вывод

204

Глава 5

и необходимы дальнейшие исследования, например, по боль-

шему числу наблюдений.

Вывод об адекватности трендовой модели делается, если

все указанные выше четыре проверки свойств остаточной

последовательности дают положительный результат. Для

адекватных моделей имеет смысл ставить задачу оценки их

точности. Точность модели характеризуется величиной

отклонения выхода модели от реального значения модели-

руемой переменной (экономического показателя}. Для по-

казателя, представленного временным рядом, точность опре-

деляется как разность между значением фактического уровня

временного ряда и его оценкой, полученной расчетным

путем с использованием модели, при этом в качестве стати-

стических показателей точности применяются следующие:

среднее квадратическое отклонение

».-J^t(».-*.)'•

5Л8

средняя относительная ошибка аппроксимации

«=1

Vt -y

1£ ^

коэффициент сходимости

100%,

(5.14)

—, (5.15)

коэффициент детерминации П

=1-Ф

(5.16)

и другие показатели; в приведенных формулах п — количе-

ство уровней ряда, к — число определяемых параметров

модели, y

— оценка уровней ряда по модели, у— среднее

арифметическое значение уровней ряда.

Модели прогнозирования экономических процессов 205

На основании указанных показателей можно сделать

выбор из нескольких адекватных трендовых моделей эконо-

мической динамики наиболее точной, хотя может встре-

титься случай, когда по некоторому показателю более точна

одна модель, а по другому — другая.

Данные показатели точности моделей рассчитываются

на основе всех уровней временного ряда и поэтому отражают

лишь точность аппроксимации. Для оценки прогнозных

свойств модели целесообразно использовать так называемый

ретроспективный прогноз — подход, основанный на выде-

лении участка из ряда последних уровней исходного вре-

менного ряда в количестве, допустим,

П2

уровней в качестве

проверочного, а саму трендовую модель в этом случае следует

строить по первым точкам, количество которых будет равно

П\

—

п - «2- Тогда для расчета показателей точности модели

по ретроспективному прогнозу применяются те же формулы,

но суммирование в них будет вестись не по всем наблюде-

ниям, а лишь по последним п% наблюдениям. Например,

формула для среднего квадратического отклонения будет

иметь вид:

где y

— значения уровней ряда по модели, построенной для

первых п\ уровней.

Оценивание прогнозных свойств модели на ретроспектив-

ном участке весьма полезно, особенно при сопоставлении

различных моделей прогнозирования из числа адекватных.

Однако надо помнить, что оценки ретропрогноза — лишь

приближенная мера точности прогноза и модели в целом,

так как прогноз на период упреждения делается по модели,

построенной по всем уровням ряда.

Пример 1. Для временного ряда, представленного в пер-

вых двух графах табл. 5.3, построена трендовая модель в ви-

де полинома первой степени (линейная модель):

= 87,8 - 3,4*.

206

Глава 5

Требуется оценить адекватность и точность построенной

модели.

Прежде всего сформируем остаточную последовательность

(ряд остатков), для чего из фактических значений уровней ря-

да вычтем соответствующие расчетные значения по модели:

остаточная последовательность приведена в гр. 4 табл. 5.3.

Таблица

5.3

Факти-

ческое

636

Рас-

четное

У,

84,4

81,0

77,6

74,1

70,7

67,3

63,8

60,4

57,0

636,3

Откло-

нение

Е<

0,6

0,0

0,4

-2,1

-1,7

2,7

0,2

0,6

-1,0

-0,3

Точки

пиков

Е?

0,36

0,00

0,16

4,41

2,89

7,29

0,04

0,36

1,00

15,51

Е( E,_j

-0,6

0,4

-2,5

0,4

4,4

-2,5

0,4

-1,6

/ \2

(Е,

"Б,.!)

0,36

0,16

6,25

0,16

19,36

6,25

0,16

2,56

35,26

1Ч

г/(*

хЮО

0,71

0,00

0,49

2,69

2,46

3,86

0,31

0,98

1,79

13,29

Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на

основе критерия пиков (поворотных точек). Точки пиков от-

мечены в гр. 5 табл. 5.3; их количество равно шести (р = 6).

Правая часть неравенства (5.9) равняется в данном случае

двум, т.е. это неравенство выполняется. Следовательно,

можно сделать вывод, что свойство случайности ряда остат-

ков подтверждается.

Результаты предыдущей проверки дают возможность про-

вести проверку соответствия остаточной последовательности

нормальному закону распределения. Воспользуемся -КЗ-

критерием. В нашем случае размах вариации R = е

тах

- £„„„ =

= 2,7 -

(-2,1)

= 4,8 , а среднее квадратическое отклонение

Sy - Je, :\n - l) = 715,51:8 = 1,39 . Следовательно, критерий

RS = 4,8:1,39 = 3,45, и это значение попадает в интервал

между нижней и верхней границами табличных значений

данного критерия (эти границы для га = 10 и уровня значи-

Модели прогнозирования экономических процессов 207

мости а = 0,05 составляют соответственно 2,7 и 3,7). Это по-

зволяет сделать вывод, что свойство нормальности распреде-

ления выполняется.

Переходя к проверке равенства (близости) нулю матема-

тического ожидания ряда остатков, заметим, что по резуль-

татам вычислений в табл. 5.3 это математическое ожида-

ние равно (-0,3): 9 * -0,03 и, следовательно, можно подтвер-

дить выполнение данного свойства, не прибегая к статистике

Стьюдента.

Для проверки независимости уровней ряда остатков (отсут-

ствия автокорреляции) вычислим значение критерия Дар-

бина—Уотсона. Расчеты по формуле (5.12), представленные

в гр. 6, 7, 8 табл. 5.3, дают следующее значение этого крите-

рия: d = 35,26 : 15,51 = 2,27. Эта величина превышает 2,

что свидетельствует об отрицательной автокорреляции,

поэтому критерий Дарбина—Уотсона необходимо преобра-

зовать: d = 4 - d = 4 - 2,27

=1,73.

Данное значение сравни-

ваем с двумя критическими табличными значениями

критерия, которые для линейной модели в нашем случае

можно принять равными d\ =1,08 и

= 1,36. Так как рас-

четное значение попадает в интервал от <2з до 2, то дела-

ется вывод о независимости уровней остаточной последова-

тельности.

Из сказанного выше следует, что остаточная последова-

тельность удовлетворяет всем свойствам случайной компо-

ненты временного рада, следовательно, построенная линейная

модель является адекватной.

Для характеристики точности модели воспользуемся по-

казателем средней относительной ошибки аппроксимации,

который рассчитывается по формуле (5.14):

отн

13,29 : 9 =

= 1,48 (%). Полученное значение средней относительной

ошибки говорит о достаточно высоком уровне точности по-

строенной модели (ошибка менее 5% свидетельствует об

удовлетворительном уровне точности; ошибка в 10 и более

процентов считается очень большой). ж

208

Глава 5

5.3. Прогнозирование экономической динамики

на основе трендовых моделей

Прогнозирование экономических показателей на основе

трендовых моделей, как и большинство других методов эко-

номического прогнозирования, основано на идее экстраполя-

ции. Как уже сказано выше, под экстраполяцией обычно

понимают распространение закономерностей, связей и соот-

ношений, действующих в изучаемом периоде, за его пределы.

В более широком смысле слова ее рассматривают как полу-

чение представлений о будущем на основе информации, от-

носящейся к прошлому и настоящему. В процессе построения

прогнозных моделей в их структуру иногда закладываются

элементы будущего предполагаемого состояния объекта или

явления, но в целом эти модели отражают закономерности,

наблюдаемые в прошлом и настоящем, поэтому достоверный

прогноз возможен лишь относительно таких объектов и яв-

лений, которые в значительной степени детерминируются

прошлым и настоящим.

Существуют две основные формы детерминации: внут-

ренняя и внешняя. Внутренняя детерминация, или самодетер-

минация, более устойчива, ее проще идентифицировать с ис-

пользованием экономико-математических моделей. Внешняя

детерминация определяется большим числом факторов, по-

этому учесть их все практически невозможно. Если некоторые

методы моделирования, например адаптивные, отражают об-

щее совокупное влияние на экономическую систему внеш-

них факторов, т.е. отражают внешнюю детерминацию, то ме-

тоды, базирующиеся на использовании трендовых моделей

экономических процессов, представленных одномерными

временными рядами, отражают внутреннюю детерминацию

объектов и явлений.

При экстраполяционном прогнозировании экономической

динамики на основе временных рядов с использованием трен-

довых моделей выполняются следующие основные этапы:

1) предварительный анализ данных;

2) формирование набора моделей (например, набора кри-

вых роста), называемых функциями-кандидатами;

3) численное оценивание параметров моделей;

Модели прогнозирования экономических процессов 209

4) определение адекватности моделей;

5) оценка точности адекватных моделей;

6) выбор лучшей модели;

7) получение точечного и интервального прогнозов;

8) верификация прогноза.

Порядок реализации первых шести этапов из перечислен-

ных описан в предыдущих параграфах данной главы. Рассмот-

рим более подробно два заключительных этапа.

Прогноз на основании трендовых моделей (кривых роста)

содержит два элемента: точечный и интервальный прогнозы.

Точечный прогноз — это прогноз, которым называется единст-

венное значение прогнозируемого показателя. Это значение оп-

ределяется подстановкой в уравнение выбранной кривой рос-

та величины времени t, соответствующей периоду упреждения:

t = л + 1; t = п + 2 и т. д. Такой прогноз называется точеч-

ным, так как на графике его можно изобразить в виде точки.

Очевидно, что точное совпадение фактических данных в

будущем и прогностических точечных оценок маловероятно.

Поэтому точечный прогноз должен сопровождаться двусто-

ронними границами, т.е. указанием интервала значений, в

котором с достаточной долей уверенности можно ожидать

появления прогнозируемой величины. Установление такого

интервала называется интервальным прогнозом.

Интервальный прогноз на базе трендовых моделей осу-

ществляется путем расчета доверительного интервала —

такого интервала, в котором с определенной вероятностью

можно ожидать появления фактического значения прогнози-

руемого экономического показателя. Расчет доверительных

интервалов при прогнозировании с использованием кривых

роста опирается на выводы и формулы теории регрессий.

Перенесение выводов теории регрессий на временные эконо-

мические ряды не совсем правомерно, так как динамиче-

ские ряды, как выше уже отмечали, отличаются от стати-

стических совокупностей. Поэтому к оцениванию довери-

тельных интервалов для кривых роста следует подходить с

известной долей осторожности.

Методы, разработанные для статистических совокупно-

стей, позволяют определить доверительный интервал, зави-

сящий от стандартной ошибки оценки прогнозируемого по-

210

Глава 5

казателя, от времени упреждения прогноза, от количества

уровней во временном ряду и от уровня значимости (ошибки)

прогноза.

Стандартная (средняя квадратическая) ошибка оценки

прогнозируемого показателя S

определяется по формуле:

- \2

/Z(y«-y>)

п - к

y = \\

,. . (5-17)

л-

где y

— фактическое значение уровня временного ряда для

времени t; y

— расчетная оценка соответствующего показа-

теля по модели (например, по уравнению кривой роста); п —

количество уровней в исходном ряду; k — число парамет-

ров модели.

В случае прямолинейного тренда для расчета доверительно-

го интервала можно использовать аналогичную формулу для

парной регрессии, таким образом доверительный интервал

прогноза Uу в этом случае будет иметь вид

Uу = У

п+

1 ±

1 3(п

2L- 1)

1 + - + -W-Z f~, (5.18)

п\п

-1

где L — период упреждения;

— точечный прогноз по

модели на (п+Ь)-й момент времени; п — количество наблю-

дений во временном ряду; Sg — стандартная ошибка оценки

прогнозируемого показателя, рассчитанная по ранее приве-

денной формуле для числа параметров модели, равного двум;

— табличное значение критерия Стьюдента для уровня

значимости а и для числа степеней свободы, равного п-2.

Если выражение

1 3(п

21 - 1)'

л п(п

-1)