Федосеев В.В. и др. Экономико-математические методы и прикладные модели

Подождите немного. Документ загружается.

Балансовые модели

251

заключается в том, что стоимость конечной продукции, оце-

ненной по полным затратам труда, равна совокупным за-

тратам живого труда. Сопоставляя потребительский эффект

различных взаимозаменяемых продуктов с полными трудо-

выми затратами на их выпуск, можно судить о сравнительной

эффективности их производства. С помощью показателей

полной трудоемкости более полно и точно, чем при использо-

вании существующих стоимостных показателей, выявляется

структура затрат на выпуск различных видов продукции и

прежде всего соотношение между затратами живого и овеще-

ствленного труда.

На основе коэффициентов прямой и полной трудоемкости

могут быть разработаны межотраслевые и межпродуктовые

балансы затрат труда и использования трудовых ресурсов.

Схематически эти балансы строятся по общему типу матрич-

ных моделей, однако все показатели в них (межотраслевые

связи, конечный продукт, условно чистая продукция и др.)

выражены в трудовых измерителях.

L. Пример 2. Пусть в дополнение к исходным данным при-

мера 1 из § 6.3 заданы затраты живого труда (трудовые ре-

сурсы) в трех отраслях: L\ = 1160,

L<i

= 460, L3

875 в не-

которых единицах измерения трудовых затрат. Требуется

определить коэффициенты прямой и полной трудоемкости

и составить межотраслевой баланс затрат труда.

Воспользовавшись формулой (6.17) и результатами

примера 1, находим коэффициенты прямой трудоемкости:

1160

т* , 460

875

U = = 1,5; U = = 0,9; t

= = 1,2.

775,3

510,1

729,6

По формуле (6.20'), в которой в качестве матрицы В

берется матрица коэффициента полных материальных за-

трат, найденная в примере 1, находим коэффициенты пол-

ной трудоемкости:

Г = (1,5; 0,9; 1,2)-

2,041 0,612 1,020

0,816 2,245 0,408

0,867 0,510

1,684,

= (4,84; 3,55; 3,92).

252

Глава 6

Умножая первую, вторую и третью строки первого и

второго квадрантов межотраслевого материального баланса,

построенного в примере 1, на соответствующие коэффициенты

прямой трудоемкости, получаем схему межотраслевого балан-

са труда (в трудовых измерителях) (табл. 6.3).

Таблица 6.3. Межотраслевой баланс затрат труда

Произво-

дящие

отрасли

Потребляющие отрасли

Межотраслевые

затраты

овеществленного труда

348,9

139,6

279,1

76,5

229,5

61,2

437,7

0,0

175,1

Затраты

труда на

конечную

продукцию

300,0

90,0

360,0

Затраты тру-

да в отраслях

(трудовые

ресурсы)

1163,0

459,1

875,5

Незначительные расхождения между данными таблицы

и исходными данными вызваны погрешностями округления

при вычислениях. Л

Развитие основной модели межотраслевого баланса дос-

тигается также путем включения в нее показателей фондо-

емкости продукции. В простейшем случае модель дополня-

ется отдельной строкой, в которой указаны в стоимостном

выражении объемы производственных фондов Ф

}

, занятые в

каждой /-й отрасли. На основании этих данных и объемов

валовой продукции всех отраслей определяются коэффици-

енты прямой фондоемкости продукции у'-й отрасли:

fi=-J-l ;

1Я

(6.23)

Коэффициент прямой фондоемкости показывает величину

производственных фондов, непосредственно занятых в про-

изводстве данной отрасли, в расчете на единицу ее валовой

продукции. В отличие от этого показателя коэффициент пол-

ной фондоемкости Fj отражает объем фондов, необходимых

во всех отраслях для выпуска единицы конечной продукции

j-й

отрасли. Если ац — коэффициент прямых материальных

затрат, то для коэффициента полной фондоемкости справед-

ливо равенство, аналогичное равенству (6.18) для коэффициен-

та полной трудоемкости:

Балансовые модели

253

; i =

24)

Если ввести в рассмотрение вектор-строку коэффициентов

прямой фондоемкости / = (f\, /г»---» fn)

вектор-строку коэф-

фициентов полной фондоемкости F = (.Fi, F2,..., F

), то систему

уравнений (6.24) можно переписать в матричной форме:

F = FA + U (6.25)

откуда с помощью преобразований, аналогичных применяе-

мым выше для коэффициентов трудоемкости, можно полу-

чить матричное соотношение

F = /В, (6.26)

где В = (Е - А)'

— матрица коэффициентов полных материаль-

ных затрат.

Для более глубокого анализа необходимо дифференциро-

вать фонды на основные и оборотные, а в пределах основ-

ных — на здания, сооружения, производственное оборудование,

транспортные средства и т.д.

Пусть в целом все производственные фонды разделены

на т групп. Тогда характеристика занятых в народном хо-

зяйстве фондов задается матрицей показателей Фщ, отра-

жающих объем фондов ft-ой группы, занятых в /-й отрасли:

<*jy)

Коэффициенты прямой фондоемкости также образуют

матрицу размерности тхп, элементы которой определяют

величину производственных фондов fe-й группы, непосредст-

венно используемых при производстве единицы продукции

j-й

отрасли:

Tkj

_ •

(Фп

#21

V#ml

*12 •

#22 •

&т2 •

- Ф

••

тп)

254 Глава 6

Для каждой у'-й отрасли могут быть вычислены коэффи-

циенты полной фондоемкости ~Рщ, отражающие полную

потребность в фондах к-й группы для выпуска единицы ко-

нечной продукции этой отрасли:

kj = X

; к = 1

'* /

= Ъ

Решение систем данных уравнений позволяет представить

коэффициенты полной фондоемкости по каждой из т групп

фондов как функцию коэффициентов прямой фондоемкости:

Z V«

;

т;

i=i

В этих формулах величины ац и Ъц — уже известные ко-

эффициенты прямых и полных материальных затрат.

Коэффициенты фондоемкости в межотраслевом балансе

позволяют увязать планируемый выпуск продукции с имею-

щимися производственными мощностями. Так, потребность

в функционирующих фондах д-й группы для достижения

заданного объема материального производства Xj по всем

отраслям задается формулой:

£fk,x,i k=T^.

6.5. Динамическая межотраслевая балансовая модель

Рассмотренные выше межотраслевые балансовые модели

являются статическими, т. е. такими, в которых все зави-

симости отнесены к одному моменту времени. Эти модели

могут разрабатываться лишь для отдельно взятых периодов,

причем в рамках данных моделей не устанавливается связь

с предшествующими или последующими периодами. Народ-

нохозяйственная динамика отображается, таким образом,

рядом независимо рассчитанных моделей, что очевидно вно-

сит определенные упрощения и сужает возможности анализа.

Балансовые модели

255

К числу таких упрощений прежде всего следует отнести то,

что в статических межотраслевых моделях не анализируются

распределение, использование и производственная эффек-

тивность капитальных вложений. Капиталовложения выне-

сены из сферы производства в сферу конечного использова-

ния вместе с предметами потребления и непроизводственными

затратами, т.е. включены в конечный продукт^

В отличие от статических динамические модели призваны

отразить не состояние, а процесс развития экономики, уста-

новить непосредственную взаимосвязь между предыдущими

и последующими этапами развития и тем самым приблизить

анализ на основе экономико-математической модели к реаль-

ным условиям развития экономической системы.

В рассматриваемой здесь динамической модели, являю-

щейся развитием статической межотраслевой модели, про-

изводственные капитальные вложения выделяются из состава

конечной продукции, исследуются их структура и влияние

на рост объема производства. В основе построения модели в

виде динамической системы уравнений лежит математиче-

ская зависимость между величиной капитальных вложений

и приростом продукции. Решение системы, как и в случае

статической модели, приводит к определению уровней про-

изводства, но в динамическом варианте в отличие от стати-

ческого эти искомые уровни зависят от объемов производства

в предшествующих периодах.

Принципиальная схема первых двух квадрантов динами-

ческого межотраслевого баланса приведена в табл. 6.4.

Таблица 6.4. Принципиальная схема динамического баланса

Произво-

дящие

отрасли

Потребляющие отрасли

Межотраслевые

потоки текущих

затрат

2Х

п\

«22

п2

2п

пп

Межотраслевые

потоки капиталь-

ных вложений

АФ„

АФ

ЛФ„1

ДФ

АФ

АФ„

ЛФ

1п

ЛФ

2п

ЛФ

„

Конечный

продукт

у;

Валовой

продукт

Хг

256

Глава 6

Модель содержит две матрицы межотраслевых потоков.

Матрица текущих производственных затрат с элементами Хц

совпадает с соответствующей матрицей статического баланса.

Элементы второй матрицы АФц показывают, какое количество

продукции i-й отрасли направлено в текущем периоде в у'-ю

отрасль в качестве производственных капитальных вложе-

ний в ее основные фонды. Материально это выражается в при-

росте в потребляющих отраслях производственного оборудо-

вания, сооружений, производственных площадей, транспортных

средств и др.

В статическом балансе потоки капиталовложений не

дифференцируются по отраслям-потребителям и отражаются

общей величиной в составе конечной продукции Y

каждой

i-й отрасли. В динамической схеме конечный продукт Y

включает продукцию i-й отрасли, идущую в личное и обще-

ственное потребление, накопление непроизводственной сферы,

прирост оборотных фондов, незавершенного строительства,

на экспорт. Таким образом, сумма потоков капиталовложений

и конечного продукта динамической модели равна конечной

продукции статического баланса:

поэтому уравнение распределения продукции вида (6.2) в

динамическом балансе преобразуется в следующее:

п п

*У

АФ

+ Y

i''

i = 1

' <

/=1 7=1

Межотраслевые потоки текущих затрат можно выразить,

как в статической модели, через валовую продукцию отраслей

с помощью коэффициентов прямых материальных затрат:

а„Х

В отличие от потоков текущих затрат межотраслевые по-

токи капитальных вложений связаны не со всей величиной

выпуска продукции, а обусловливают прирост продукции;

Балансовые модели

257

причем в рассматриваемой модели предполагается, что при-

рост продукции текущего периода обусловлен вложениями,

произведенными в этом же периоде. Если текущий период

обозначить через t, то прирост продукции AXj равен разно-

сти абсолютных уровней производства в период t и в пред-

шествующий (t - 1)-й период:

Полагая, что прирост продукции пропорционален приросту

производственных фондов, можно записать:

ЛФ

=фуАХ

; i,j = \~n. (6.28)

Рассмотрим в равенстве (6.28) коэффициенты пропорцио-

нальности щ. Поскольку

ДФу

то экономический смысл этих коэффициентов заключается

в том, что они показывают, какое количество продукции i-й

отрасли должно быть вложено в у'-ю отрасль для увеличения

производственной мощности у-й отрасли на единицу про-

дукции. Предполагается, что производственные мощности ис-

пользуются полностью и прирост продукции равен приросту

мощности. Коэффициенты щ называются коэффициентами

вложений.или коэффициентами приростной фондоемкости.

С помощью коэффициентов прямых материальных затрат

и коэффициентов вложений ф,

;

систему уравнений (6.27) мож-

но представить в следующем виде:

п п

—__

i = Z

УН**]

i = 1

Система (6.29) представляет собой систему линейных

разностных уравнений первого порядка. Ее можно привести

к обычной системе линейных уравнений, если учесть, что все

объемы валовой и конечной продукции относятся к некото-

258

Глава 6

рому периоду t, а прирост валовой продукции определен в

сравнении с (* - 1)-м периодом:

7=1

(О

Отсюда можно записать следующие соотношения:

XP=f

i}+

?ij

)Xf-f

xf-»

'V;

I =

*Я (6.30)

/=1 7=1

Пусть нам известны уровни валовой продукции всех от-

раслей в предыдущем периоде (величины X: ) и конечный

продукт отраслей в t-ш периоде. Тогда очевидно, что соот-

ношения (6.30) представляют собой систему п линейных

уравнений с п неизвестными уровнями производства t-то пе-

риода. Таким образом, решение динамической системы ли-

нейных уравнений позволяет определить выпуск продукции

в последующем периоде в зависимости от уровня, достигну-

того в предыдущем периоде. Связь между периодами уста-

навливается через коэффициенты вложений ф;

, характери-

зующие фондоемкость единицы прироста продукции.

Переходя от дискретного анализа к непрерывному, вместо

(6.27) будем иметь:

Выражение (6.28) в пределе дает:

йФ

= 9ii •

dt ' dt

Окончательно для случая непрерывных изменений получим

следующую систему соотношений:

£фу -dY

+ У

; i = hn

31)

7=1

Балансовые модели

259

Соотношения (6.31) представляют собой систему п линей-

ных дифференциальных уравнений первого порядка с посто-

янными коэффициентами. Для ее решения помимо матриц

коэффициентов прямых материальных текущих затрат и ко-

эффициентов капитальных затрат (вложений) необходимо

знать уровни валового выпуска в начальный момент времени

t = 0 и закон изменения величины конечного продукта, т.е.

вид функций Y

'(t). На основе этих данных путем решения

получившейся задачи Коши для системы дифференциаль-

ных уравнений (6.31) можно найти уровни валового выпуска

теоретически для любого момента времени. Практически же

более или менее достоверное описание валовых и конечных

выпусков как функций времени может быть получено лишь

для относительно небольших промежутков времени.

В динамической модели особую роль играют коэффициенты

приростной фондоемкости щ. Они образуют квадратную мат-

рицу re-го порядка

Фи Ф12 •" Ф1п'

Ф21 Ф22 •• Ф2п

^Фп1 Фл2 ••• 4>nJ

каждый столбец которой характеризует для соответствую-

щей ;'-й отрасли величину и структуру фондов, необходимых

для увеличения на единицу ее производственной мощности

(выпуска продукции). Матрица коэффициентов приростной

фондоемкости дает значительный материал для экономиче-

ского анализа и планирования капитальных вложений.

Коэффициенты приростной фондоемкости (ру определенным

образом связаны с валовыми коэффициентами прямой фондо-

емкости продукции fkj, рассмотренными в предыдущем пара-

графе. Коэффициенты fy показывают, сколько всего фондов

данного вида приходится на единицу валового выпуска про-

дукции, а коэффициенты фу отражают прирост фондов на еди-

ницу прироста продукции. Если бы технический прогресс в

отраслях производства отсутствовал, то на единицу прироста

продукции потребовалось бы столько же новых фондов, сколько

(фу) ^

260

Глава 6

их уже занято на единицу выпускаемой продукции, т.е. ко-

эффициенты приростной фондоемкости и валовой прямой

фондоемкости были бы равны между собой. Так как новые

капитальные вложения производятся на новом более высоком

техническом уровне по сравнению с объемом и структурой

действующих фондов, то на практике коэффициенты приро-

стной фондоемкости и коэффициенты прямой фондоемкости

различаются по величине. Однако между этими двумя группа-

ми коэффициентов существует вполне определенная связь, и

это используется при разработке динамических моделей, осо-

бенно в связи с тем, что достоверные данные о фондоемкости

продукции получить легче, чем непосредственно рассчитать

коэффициенты вложений.

Кроме коэффициентов прямой фондоемкости коэффици-

енты вложений связаны с другими показателями, например с

соответствующими коэффициентами текущих затрат, отражаю-

щими износ основных фондов и равными амортизации, при-

ходящейся на единицу продукции.

В рассмотренной динамической модели межотраслевого

баланса предполагается, что прирост продукции текущего

периода обусловлен капиталовложениями, произведенными

в этом же периоде. Для сравнительно коротких периодов это

предположение может оказаться нереальным, так как суще-

ствуют известные, иногда довольно значительные отставания

во времени (так называемые временные лаги) между вложе-

нием средств в производственные фонды и приростом вы-

пуска продукции. Модели, так или иначе учитывающие лаг

капитальных вложений, образуют особую группу динамиче-

ских моделей межотраслевого баланса. Из теоретических

моделей данного типа следует назвать прежде всего линейную

динамическую межотраслевую модель Леоньтева, в которой

капитальные вложения представлены в виде так называемого

инвестиционного блока в форме Леонтьева. Математическим

обобщением этой и ряда других динамических моделей яв-

ляется динамическая модель в матричной форме Неймана,

основанная на математической теории равномерного про-

порционального роста экономики (так называемая магист-

ральная теория).