Федосеев В.В. и др. Экономико-математические методы и прикладные модели

Подождите немного. Документ загружается.

Некоторые прикладные модели экономических

процессов

291

?Mi..Z_

t (83)

dZ y

где E

— коэффициент эластичности для i-ro товара (группы

товаров) по доходу Z; y

— спрос на этот товар, являющийся

функцией дохода: y

= f(Z).

Например, если спрос на товар описывается функцией

Торнквиста для товаров первой необходимости, то формула

(8.3) дает следующее выражение для коэффициента эластич-

ности спроса от дохода:

Во многих экономико-математических моделях эластич-

ность функций относят к проценту прироста независимой

переменной. Таким образом, коэффициент эластичности

спроса от дохода показывает, на сколько процентов изменит-

ся спрос на товар при изменении дохода на

Коэффициенты эластичности спроса от дохода различны

по величине для разных товаров, вплоть до отрицательных

значений, когда с ростом доходов потребление уменьшается.

Принято выделять четыре группы товаров в зависимости от

коэффициента эластичности спроса на них от дохода:

• малоценные товары (E

< 0);

• товары с малой эластичностью (0 <Е?<1);

• товары со средней эластичностью (Е? близки к единице);

• товары с высокой эластичностью (.Е,- > 1).

К малоценным товарам, т.е. товарам с отрицательной

эластичностью спроса от дохода, относятся такие, как хлеб,

низкосортные товары. По результатам обследований, коэффи-

циенты эластичности для основных продуктов питания нахо-

дятся в интервале от 0,4 до 0,8, по одежде, тканям, обуви — в

интервале от 1,1 до 1,3 и т.д. По мере увеличения дохода

спрос перемещается с товаров первой и второй групп на това-

ры третьей и четвертой групп, при этом потребление товаров

первой группы по абсолютным размерам сокращается.

292 Глава 8

Перейдем к рассмотрению и анализу функций покупа-

тельского спроса от цен на товары. Из модели поведения по-

требителей (8.1) следует, что спрос на каждый товар в об-

щем случае зависит от цен на все товары (вектора Р), одна-

ко построить функции общего вида yi = щ(Р) очень сложно.

Поэтому в практических исследованиях ограничиваются по-

строением и анализом функций спроса для отдельных

товаров в зависимости от изменения цен на этот же товар

или группу взаимозаменяемых товаров: yi = (p*(Pi).

Для большинства товаров действует зависимость: чем вы-

ше цена, тем ниже спрос, и наоборот. Здесь также возможны

разные типы зависимости и, следовательно, разные формы

кривых. В практических задачах изучения спроса важно раз-

личать действительное увеличение спроса, когда сама кри-

вая сдвигается вверх и вправо (происходит переход с кривой

I на кривую // на рис. 8.6), и увеличение объема приобре-

таемых товаров в результате снижения цен при неизменной

сумме затрат (переход от точки А к точке В по одной и той же

кривой / на рис. 8.6). Как уже отмечено выше, в общем слу-

чае спрос на отдельный

товар при прочих рав-

ных условиях зависит

от уровня цен всех то-

варов. Относительное из-

менение объема спроса

при изменении цены

данного товара или цен

других связанных с ним

товаров характеризует

коэффициент эластич-

ности спроса от цен.

Этот коэффициент эла-

стичности удобно трак-

товать как величину

изменения спроса в процентах при изменении цены на 1%.

Для спроса yi на £-й товар относительно его собственной

цены pt коэффициент эластичности исчисляется по формуле:

Рх

Рис. 8.6

Некоторые прикладные модели экономических

процессов

293

Е£

=%*-&.

(8.4)

dPi y

Значения коэффициентов эластичности спроса от цен прак-

тически всегда отрицательны. Однако по абсолютным значе-

ниям этих коэффициентов товары могут существенно разли-

чаться друг от друга. Их можно разделить на три группы:

• товары с неэластичным спросом в отношении цены

(£#>-1);

• товары со средней эластичностью спроса от цены (ЕЦ

близки к -1);

• товар с высокой эластичностью спроса (Е?

-1).

В товарах эластичного спроса повышение цены на 1%

приводит к снижению спроса более чем на 1% и, наоборот,

понижение цены на 1% приводит к росту покупок больше

чем на

%. Если повышение цены на

1 %

влечет за собой

понижение спроса менее чем на 1%, то говорят, что этот товар

неэластичного спроса.

Рассмотрим влияние на спрос на какой-либо товар изме-

нения цен на другие товары. Коэффициент, показывающий,

на сколько процентов изменится спрос на данный товар при

изменении на 1% цены на другой товар при условии, что

другие цены и доходы покупателей остаются прежними, на-

зывается перекрестным коэффициентом эластичности.

Для спроса yi на £-й товар относительно цены pj на /-Й то-

вар (i

]) перекрестный коэффициент эластичности рассчи-

тывается по формуле:

Ч-%-*-•

(8.6)

dPj Vi

По знаку перекрестных коэффициентов эластичности то-

вары можно разделить на взаимозаменяемые и взаимодопол-

няемые. Если Efj

0, это означает, что i-й товар заменяет в

потреблении товар ;', т.е. на товар i переключается спрос при

увеличении цены на товар /'. Примером взаимозаменяемых

товаров могут служить многие продукты питания.

294

Глава 8

Если Efj

О, это служит признаком того, что i-й товар в

процессе потребления дополняет товар

т.е. увеличение цены

на товар у приводит к уменьшению спроса на товар i. В ка-

честве примера можно привести такие взаимодополняемые

товары, как автомобили и бензин.

В качестве иллюстрации в табл. 8.1 приведены значе-

ния прямых и перекрестных коэффициентов эластичности

потребления от цен для одной из категорий семей. На ос-

новании этих данных по значениям прямых коэффициен-

тов эластичности (по диагонали таблицы) можно сделать

вывод, что продукты питания в целом мало эластичны по

отношению к цене; одежда, ткани и обувь имеют среднюю

эластичность; две последние группы товаров — товары с

высокой эластичностью спроса по отношению к цене.

Таблица 8.1. Прямые

перекрестные коэффициенты эластичности

Группы

товаров

Продукты

питания

Одежда,

ткани,обувь

Мебель,

хозтовары

Культтовары

Продукты

питания

-0,7296

-0,1991

-0,2458

-0,2494

Одежда,

ткани, обувь

0,0012

-1,000

0,0024

Мебель,

хозтовары

0,0043

0,0071

-1,2368

0,0089

Культ-

товары

0,0045

0,0074

0,0092

-1,2542

На основании значений внедиагональных элементов этой

таблицы можно сделать вывод, что все промышленные товары

(вторая, третья и четвертая группы) — взаимозаменяемы.

То,

что перекрестные коэффициенты эластичности по строке

«Продукты питания» положительные, означает, что повыше-

ние цен на промышленные товары увеличивает спрос на

продукты питания (уменьшение спроса на промышленные

товары освободит средства для продуктов питания). Отрица-

тельные значения перекрестных коэффициентов эластично-

сти по столбцу (графе) «Продукты питания» означает, что

при росте цен на продукты питания спрос на промышленные

товары сокращается (повышение цен на продукты питания

уменьшает размер средств на приобретение других товаров).

Некоторые прикладные модели экономических

процессов

295

Моделирование и прогнозирование

покупательского спроса

Очевидно, что спрос во многом определяет стратегию и

тактику организации производства и сбыта товаров и услуг.

Учет спроса, обоснованное прогнозирование его на кратко-

срочную и долгосрочную перспективу — одна из важнейших

задач служб маркетинга различных организаций и фирм.

Состав и уровень спроса на тот или иной товар зависят

от многих факторов, как экономических, так и естественных.

К экономическим факторам относятся уровень производст-

ва (предложения) товаров и услуг (обозначим этот фактор в

общем виде П), уровень денежных доходов отдельных групп

населения (D), уровень и соотношение цен (Р). К естествен-

ным факторам относятся демографический состав населе-

ния, в первую очередь размер и состав семьи (S), а также

привычки и традиции, уровень культуры, природно-клима-

тические условия и т.д.

Экономические факторы очень мобильны, особенно рас-

пределение населения по уровню денежных доходов. Естест-

венные же факторы меняются сравнительно медленно и в

течение небольшого периода (до 3-5 лет) не оказывают за-

метного влияния на спрос. Исключение составляет демогра-

фический состав населения. Поэтому в текущих и перспек-

тивных прогнозах спроса все естественные факторы, кроме

демографических, целесообразно учитывать сообща, введя

фактор под названием «время» (t).

Таким образом, в общем виде спрос определяется в виде

функции перечисленных выше факторов:

у = f(n,D,P, S,t). (8.6)

Поскольку наибольшее влияние на спрос оказывает фак-

тор дохода (известно выражение: «спрос всегда платежеспо-

собен»), многие расчеты спроса и потребления осуществляют-

ся в виде функции от душевого денежного дохода: у = f(D).

Наиболее простой подход к прогнозированию спроса на

небольшой период времени связан с использованием так

называемых структурных моделей спроса. При построении

модели исходят из того, что для каждой экономической

группы населения по статистическим бюджетным данным

296

Глава 8

может быть рассчитана присущая ей структура потребле-

ния. При этом предполагается, что на изучаемом отрезке

времени заметные изменения претерпевает лишь доход, а

цены, размер семьи и прочие факторы принимаются неиз-

менными. Изменение дохода, например его рост, можно рас-

сматривать как перемещение определенного количества семей

из низших доходных групп в высшие. Другими словами, из-

меняются частоты в различных интервалах дохода: они

уменьшаются в нижних и увеличиваются в верхних интер-

валах. Семьи, которые попадают в новый интервал, будут

иметь ту же структуру потребления и спроса, какая сложи-

лась у семей с таким же доходом к настоящему времени.

Таким образом, структурные модели рассматривают

спрос как функцию только распределения потребителей по

уровню дохода. Имея соответствующие структуры спроса,

рассчитанные по данным статистики бюджетов, и частоты

распределения потребителей по уровню дохода, можно рас-

считать общую структуру спроса. Если обозначить структу-

ру спроса в группе семей со средним доходом D

через

r(Di),

а частоты семей с доходом D

через w(Di), то общая

структура спроса R может быть рассчитана по формуле:

£г(^)-ш(Д), (8.7)

i=i

где п — количество интервалов дохода семей.

Структурные модели спроса — один из основных видов

экономико-математических моделей планирования и про-

гнозирования спроса и потребления. В частности, широко

распространены так называемые компаративные (сравни-

тельные) структурные модели, в которых сопоставляются

структуры спроса данного исследуемого объекта и некоторо-

го аналогового объекта. Аналогом обычно считаются регион

или группа населения с оптимальными потребительскими

характеристиками.

Наряду со структурными моделями в планировании и

прогнозировании спроса используются конструктивные мо-

дели спроса. В основе их лежат уравнения бюджета населе-

ния, т.е. такие уравнения, которые выражают очевидное

Некоторые прикладные модели экономических

процессов

297

равенство общего денежного расхода (другими словами, объ-

ема потребления) и суммы произведений количества каждого

потребленного товара на его цену. Если Z — объем потреб-

ления, т — количество разных видов благ, q

— размер по-

требления i-ro блага, p

— цена i-ro блага, то конструктивная

модель спроса может быть записана следующим образом:

Z =

Yi*Pf

Эти модели, называемые также моделями бюджетов потре-

бителей, играют важную роль в планировании потребления.

Одной из таких моделей является, например, всем извест-

ный прожиточный минимум. К таким моделям относятся

также рациональные бюджеты, основанные на научных нор-

мах потребления, прежде всего продуктов питания, перспек-

тивные бюджеты (например, так называемый бюджет дос-

татка) и др.

В практике планирования и прогнозирования icnpoca

кроме структурных и конструктивных моделей применяют-

ся также аналитические модели спроса и потребления, ко-

торые строятся в виде уравнений, характеризующих зависи-

мость потребления товаров и услуг от тех или иных факто-

ров.

В аналитических моделях функциональная зависимость

(8.6) принимает вполне определенный вид. Такие модели

могут быть однофакторными и многофакторными. Аналити-

ческие модели спроса на примере линейных корреляционно-

регрессионных статических моделей рассмотрены в § 7.2.

8.2. Модели управления запасами

Классическая задача управления запасами

Под задачей управления товарными запасами понимается

такая оптимизационная задача, в которой задана информация:

• о поставках товара;

• о спросе на товар;

• об издержках и условиях хранения товарных запасов;

• критерий оптимизации.

298

Глава 8

Рассмотрим задачу управления запасами в так называе-

мой классической постановке. Выберем за единичный ин-

тервал времени один день. Пусть к концу дня t - 1 на скла-

де находится запас товара в объеме x

-i > 0. Склад делает

заказ на пополнение запаса товара в объеме h

. Это пополне-

ние поступает к началу следующего дня t, так что запас товара

в начале следующего дня составляет JC

_j + h

. Пусть s

—

объем товара, запрашиваемый потребителем (или потреби-

телями) в день t (объем заявки).

Если s

< Jt

_i + h

, то склад удовлетворяет заявку потре-

бителя полностью, а остатки товара x

= x

-i + h

- s

пере-

носятся на следующий день t + 1, причем издержки хранения

этого запаса пропорциональны его объему и равны

= c(x

-i + h

- s

Если объем заявки s

> x

-\ + h

, то склад полностью от-

дает свой запас, а за недопоставленный товар несет потери

(например, штрафуется за дефицит), пропорциональные объ-

ему дефицита и равные k(s

- x

-i - h

) = -k(x

-\ + h

- s

Таким образом, полные издержки q>(x

-x, h

) склада

можно записать в виде:

<P(*t-i> h

, s

) = maxfcO*:,-! + h

- s

); -fc(*t-i + h

- s

)}, (8.10)

при этом остаток товара x

= max{0; x

-x + h

- s

Из (8.10) следует:

если x

> 0, то ф(х^) = cx

;

если x

< 0, то

<p(x

)

= -kx

;

если x

= 0, то ф(л;

(

) = 0.

В классической постановке задачи управления запасами

предполагается, что сама величина спроса s

неизвестна, од-

нако известно, что она является независимой случайной ве-

личиной, имеющей заданный закон распределения. Пусть

распределение вероятностей величины s

задается непре-

рывной функцией распределения F(x) с плотностью распре-

деления f(x). Тогда средние полные издержки Ф(Х(_1 + h

)

задаются формулой (М — математическое ожидание):

Некоторые прикладные модели экономических

процессов

299

+00

Ф(*

-1 +h

) = M<p(x

)= J9(3:

,/j

(

)dF(s

-00

Задача ставится таким образом: определить объем заказа

на пополнение h

, минимизирующий средние полные издержки,

т.е.

Ф(Л(_1 + Л,) -» min, где h

> 0.

Рассмотрим решение классической задачи управления

товарными запасами в статической постановке. Обозначим

У - (*t_i

) и опустим ввиду статичности задачи индекс

t в записи объема спроса и пополнения. Рассмотрим сле-

дующую задачу:

+00

Ф(у) = fmax{c(i/ - s); - k(y - s))dF(s) -> min. (8,11)

—oo

Перепишем функцию Ф(у) в более удобном виде:

У +00

Ф(у) = cf(y- s)dF(s) + k J(s - y)dF(s) (8.1Г)

-oo у

и вычислим ее первую производную:

Ф'(у) = cF(y) - ft(l - F(y)) = (с + *)W - k. (8.12)

Заметим, что вторая производная этой функции неотри-

цательна (т.е. функция выпукла вниз):

Ф"(у) = (с

k)F'(y) = (с + k)f(y)> О,

поэтому, приравняв первую производную нулю, получим

уравнение для минимизирующего запаса у*:

F(y*)

-£-. (8.13)

Решение (8.13) задачи (8.11) определяет стратегию опти-

мального пополнения запасов. Величина пополнения запасов

минимизирующая средние полные издержки, задается

следующим правилом:

300

Глава 8

,если x

_i > у ,

[У ~

t-i> если x

_i < у .

(8.14)

Конкретные числовые характеристики системы управле-

ния запасами зависят от вида функции плотности распреде-

ления f(x) случайной величины спроса. В качестве примера

рассмотрим случай симметричного «треугольного» распре-

деления спроса, при котором функция плотности распреде-

ления имеет график, представленный на рис. 8.7а. Очевидно,

этот график получается параллельным переносом вправо

(заменой х на х - а) графика, изображенного на рис 8.76,

функции

№

О при х < -Ъ

+ Ъ

при -

< х < О

при 0 < х < Ъ

при х

Ъ.

(8.15)

№

\/ь

-ь

Рис. 8.7

б)

Вычислим числовые характеристики для функции плот-

ности распределения, заданной в (8.15) (рис 8.76). В этом

случае функция распределения F(x) задается формулой: