Федосеев В.В. и др. Экономико-математические методы и прикладные модели

Подождите немного. Документ загружается.

Применение оптимальных экономико-математических

351

моделей

для

решения производственных задач

£ h

lai

kiaj

< Q

, а = 1,4; j =

. (9.8)

A=l(=l

Планируемая совокупность вариантов мероприятий

всех направлений применительно

определенным видам

изделия ограничивается

их

общим количеством, которое пре-

дусмотрено

внедрению

производство (см. табл.

9.1) в

плано-

вом периоде

учетом научно-технических достижений:

lTx

kiai

£r

, i

l,l

; k

l,m. (9.9)

Множество различных наименований изделий,

которым

могут быть применены

те или

иные варианты мероприятий

по

экономии расхода проката черных металлов, ограничивается

общим количеством запланированных

выпуску наименова-

ний этих изделий

данном плановом периоде:

Ц*«

^ХЛ.

« = 1,4; j

l,r

(9.10)

На

неизвестные переменные модели накладываются

ограничения, указывающие целесообразность применения

у'-го

варианта мероприятия a-направления

к i-му

изделию

&-го

завода отрасли:

\l,

если данный вариант

ОТМ

используется;

•^kiaj

~ i

(9.11)

10,

если данный вариант

ОТМ

не используется,

i =

l,l

; k

l,m; a =

1,4;

l,r

В приведенной модели задачи ограничения

(9.9) и

(9.10)

являются производными.

Они

характеризуют возможности

изменения размеров матрицы исходных данных

различные

плановые периоды

зависимости

от

множества вариантов

ОТМ, диктуемых внедрением достижений научно-техниче-

ского прогресса,и номенклатурой выпускаемых изделий

производстве отрасли.

352

Глава 9

В результате решения рассматриваемой задачи могут

быть получены:

а) данные для обоснованных заказов на объемы внедряемых

вариантов ОТМ в разрезе каждого завода отрасли. Например,

если определена интенсивность использования различных

мероприятий к изделиям (Х^оу), то оптимальные объемы

внедряемых вариантов мероприятий для каждого завода

вычисляются из выражения:

Qkaj

= ThtajXkiajNki, k

l,m; a = 1,4; j

l,r

; (9.12)

k=i

б) данные об ожидаемой экономии материала заданной

номенклатуры (проката черных металлов) по каждому заводу

(Э

) и отрасли в целом (Э):

Э* = £Ё£

«<Л

*И; (9-13)

Э=^Э

, fe = l,m;

в) обоснованная величина планируемого процента снижения

расхода проката черных металлов в результате внедрения

ОТМ как по каждому заводу

(е&),

так и по отрасли в целом (е):

= _?* ЮО, k

Цп. (9.14)

4 r

a=l/=lf=lfc=l

Экономико-математическая модель планирования

ОТМ по критерию их максимальной эффективности

Данный вариант модели используется в случае, когда с уче-

том допустимых в плановом периоде объемов внедрения вари-

антов ОТМ в производстве отрасли необходимо определить та-

кую совокупность применения этих вариантов к изделиям

(Xkiaj)>

которая обеспечивает максимальную эффективность:

Применение оптимальных экономико-математических 353

моделей для решения производственных задач

4 r

m I/,

**2<*) = Z2EZ

«^и*и* -> max, (9.15)

где Ckiaj — эффективность применения определенного вари-

анта ОТМ к конкретному изделию, получаемая из выраже-

ния (9.6).

При реализации этого варианта модели также должны

соблюдаться ограничения (9.8) - (9.11).

Отметим, что структура рассматриваемого варианта моде-

ли аналогична первому варианту лишь с той разницей, что

в рассматриваемом варианте в целевой функции вместо по-

казателя экономии расхода металла в результате внедрения

ОТМ (Эыщ) используется показатель эффективности (С^щ)-

В результате оптимизации по аналогии с предыдущим

вариантом модели из выражений (9.12) и (9.13) в разрезе

каждого завода отрасли можно определить оптимальные

объемы ресурсов внедряемых вариантов ОТМ, ожидаемую

экономию металла и обоснованную величину планируемого

снижения расхода проката черных металлов.

Применение тех или иных вариантов направлений меро-

приятий может привести к снижению расхода материалов,

однако это не всегда позволяет снизить затраты на их при-

обретение и обработку, а также не высвобождает оборудо-

вания.

Таким образом, важным показателем применяемости ва-

рианта мероприятия к изделию является общая экономия, по-

лучаемая в результате его внедрения. Поэтому данный вари-

ант модели, где в целевой функции используется показатель

эффективности (С&

а;

), который выражает результаты общей

экономии от внедрения ОТМ, имеет качественное значение.

Экономико-математическая модель снижения

расхода материалов на заданную величину

Допустим, что ставится задача снизить в производстве от-

расли в плановом периоде на е% расход материала заданной

номенклатуры в результате внедрения ОТМ. В связи с этим

необходимо определить множество таких вариантов направ-

лений мероприятий (Xkiaj), которые обеспечат предусмот-

354

Глава

ренное снижение расхода материала

на е% при

минимальных

затратах ограниченных ресурсов

j) —

объемов внедряемых

мероприятий

(т). На

основании результатов решения задачи

следует также установить

для

каждого завода обоснованные

заказы

на

ресурсы—объемы вариантов ОТМ, которые будут

применены

изделиям

плановом периоде.

При такой постановке задачи неизвестные переменные

(Xkiaj) должны обеспечить минимум целевой функции,

вы-

ражающей суммарный объем внедрения различных вари-

антов мероприятий

планируемом периоде:

m k

ы*)

ZIXI W^A*

min

916

я = 1у = 1

= l i = l

Для данной целевой функции требуется соблюдение огра-

ничения (9.11)

следующего условия, предусматривающего

достижение заданного процента снижения расхода материала

в плановом периоде:

a m

ZLLJYJYU

klaj

kiaj

^'*"'"

100 > е.

(9.17)

a m

IXIIIXA

o--=l/

= l * = 1 i = l

Полученное решение модели позволяет определить

из

выражений (9.12)

(9.14),

как и для

предыдущих моделей,

обоснованные заказы

на

объемы внедряемых мероприятий

для каждого завода отрасли iQkaj)' ожидаемые экономию

металла

снижение норм расхода материала.

9.3. Реализация экономико-математических моделей

планирования ОТМ по экономии материалов

и анализ результатов

Приведенные

в § 9.2

варианты модели задачи оптималь-

ного планирования мероприятий

по

снижению норм расхо-

да

экономии

на

этой основе материалов определенной

но-

менклатуры являются задачами целочисленного линейного

программирования.

таком виде записываются задачи

на-

Применение оптимальных экономико-математических 355

моделей для решения производственных задач

значения, развития и размещения отраслей народного хо-

зяйства.

В составе прикладного программного обеспечения ПЭВМ

типа IBM PC имеется пакет прикладных программ (ППП)

MILP88 для решения задач линейного программирования и

линейного целочисленного программирования [2, 21, 22]. В

данном пакете для реализации моделей целочисленного про-

граммирования используется алгоритм метода ветвей и границ.

Важный этап решения задачи — систематизация в опре-

деленном порядке исходных данных, на базе которых фор-

мируются значения коэффициентов целевых функций и ог-

раничений модели. Такую систематизацию исходных данных

задачи целесообразно вести в виде «плановой модели ОТМ»,

представленной в форме табл. 9.2.

Эта таблица после заполнения служит основой для по-

строения исходной симплекс-таблицы, необходимой для

решения задачи.

В графоклетках табл. 9.2 указываются позиции для фикса-

ции значений экономии расхода материала (Э^щ) или эффек-

тивности применения мероприятия (Ckiaj), а также неизвест-

ных переменных (Х^щ), получаемых в результате решения

моделей задачи с учетом различных вариантов возможных

запасов ресурсов (векторы Ql, Q2, Q3).

Если какой-либо вариант мероприятий технически непри-

меним к определенному изделию или же его применение не

позволяет сэкономить расход данного материала на это изде-

лие без ухудшения его технико-экономических показателей

работы, то соответствующая переменная

X^iaj

сразу полага-

ется равной нулю. Когда задача решается для отраслевого

уровня, в число анализируемой продукции включаются из-

делия (агрегаты) укрупненной номенклатуры конечного вы-

пуска. Например, экскаваторы, сменное оборудование к экс-

каваторам, запасные части к экскаваторам и т.д. В противном

случае, если вести анализ с включением в табл. 9.2 деталей

и узлов различных типоразмеров в рамках отрасли, то матрица

исходных данных достигает слишком большой размерности.

Поэтому в разрезе деталей и узлов машин целесообразно ре-

шать задачи на уровне заводов или группы заводов отрасли.

Индекс

завода

(Ч

Индексы

вариантов

f/j

имел» (i)

0.1S9

у"

,11

у"

Применений проката улучшенного качеств

экономичных профилен

0,16

1г

•312

ч"

3ц,

,г

•ч

0,142

0,141

•If

0.055

1.182

0,195

х;

Направления оргтехмеролриятий ( а/

Внедрение

заменителей

вместо проката

чернь» металлов

3.0

si?

xff

х?

1,2

1,176

1,253

3ff

xf?

0,135

si!

x?;

«1

Гехнолотичесгие мероприятие

fit

0,131

sff

X,?

si?

x,?

с5г

0,019

с:

0,1

0.029

0,039

1.0

xi?

oJ7

J»,

y37'

Объем произ-

водства

изде-

лий,

шг,

IN»,)

«ч

«1!

Ищ

Таблица 9.2. Плановая модель ОТМ по экономии расхода проката черных металлов а производстве отрасли

__ .. _„, , • 1

Окончание

табл.

9.2

1г

Значение целевой функ-

ции для вектора ресурсов

ад

ч"

л»1

ОН

all

К"

»г

|г

о,)

эй

у 13

8 j 9

ч"

ж,

я"

ч"

11 | 12 | 13 ] 14

о!1

ч"

»«.

«5

эй.

«5.

15 j 16

аВ

«(п

17 ] 18

за

431

«5

зг

«5.

19 20

х5

85.

«5.

Интенсивность применения вариантов (Х$) и экономия металла (т или кг) (3J()

01н

02,i

03,i

01,г

02«

03,

01 „

02„

оз„

01„

02„

03„

ОЬ

<Яг,

03j,

03„

01s

02»

03»

01„

02„

ОЗз,

01»

02»

ОЗ

01*

<й»

оз„

Варианты запасов (объемов) внедряемых мероприятий, t (0

о/

)

N.,

N„!

"щ.

358

Глава 9

Для каждой укрупненной номенклатуры материалов

(прокат черных металлов, алюминиевый прокат, медный и

латунный прокат, трубы стальные катанные, тянутые и тон-

костенные бесшовные) исходная матрица, составляемая в

форме табл. 9.2, будет иметь индивидуальное содержание

согласно общему перечню мероприятий, предусмотренных

для их экономии, и соответствующую размерность. Кроме

того,

размерность матрицы зависит от привлекаемых к ана-

лизу комбинаций вариантов мероприятий, предлагаемых

заводами по установленной форме плана ОТМ. Задачи для

отдельных перечисленных групп металлов решаются само-

стоятельно. Основные исходные данные для решения моде-

лей задачи отражаются в существующих формах плана

ОТМ и ведомостях сводных норм расхода материалов по

изделиям.

Результаты решения предлагаемых вариантов задачи оп-

тимального планирования ОТМ в значительной мере зависят

от степени соответствия плановых коэффициентов экономии

(замены), приведенных в табл. 9.1, их фактическим величи-

нам, которые складываются под влиянием специфики и реаль-

ных условий производства каждого завода отрасли. Иссле-

дование соответствия этих коэффициентов в производстве

отрасли для отдельных вариантов ОТМ — самостоятельная

задача, решаемая аналитическими методами и прямым счетом

по конструкторской и технологической документации.

Следует также отметить, что при определении возможности

применения какого-либо варианта направления мероприятий

к изделию кроме условия, позволяющего сэкономить данный

материал без ухудшения его технико-экономических пока-

зателей работы, необходимо учесть и требования металлур-

гической промышленности. Эти требования заключаются в

том, что внедряемые объемы конкретных вариантов ОТМ

должны быть не ниже их транзитных норм, установленных

ГОСТом. Иначе расходы на перевозку таких объемов вне-

дряемых мероприятий будут слишком дорогостоящими, что

повысит себестоимость выпускаемых изделий заводов. В связи

с этим изделия, к которым применяется тот или иной вариант

мероприятий, должны иметь определенный уровень серий-

ности выпуска и материалоемкости. Если возможны такие

Применение оптимальных экономико-математических 359

моделей для решения производственных задач

ситуации, то в числе ограничений рассмотренных вариантов

математических моделей задач планирования ОТМ нужно

предусмотреть и такое условие:

kiai

kiX

klaj

,k = l,m; а = 1,4;

= 1,г

, (9.18)

где R

j — транзитная норма объема ресурса /-го варианта

мероприятия а-направления. I

Каждая из систем ограничений описанных вариантов

математических моделей задачи планирования ОТМ должна

быть совместимой (непротиворечивой), что является главным

требованием к процессу формирования этих моделей в ко-

личественной форме. Значения коэффициентов у неизвестных

Xkiaj должны подвергаться тщательному экономическому

анализу и обоснованию, а величины правых частей уравне-

ний и неравенств следует выбирать в максимально допусти-

мых пределах так, чтобы область свободы получаемых реше-

ний оказалась достаточно большой.

Методика реализации модели планирования ОТМ

по критерию максимальной экономии материальных

ресурсов

С целью пояснения методики решения задачи оптимизации

планирования ОТМ в табл. 9.3, которая является конкретным

количественным представлением общей табл. 9.2, показан

пример систематизации условных исходных данных варианта

ее модели (9.7) - (9.11) применительно к заводам отрасли

строительного и дорожного машиностроения.

Решение задачи выполнено на ПЭВМ IBM PC с помощью

пакета прикладных программ MILP88. Итоги этого реше-

ния в наглядной форме также приведены в табл. 9.3.

Как и в общей постановке задачи линейного программи-

рования, в указанном пакете при подготовке данных не ис-

пользуется иерархическая структура индексов переменных,

а применяется двухуровневая индексация. Применительно к

табл. 9.3 в ППП MILP88 переменной Хцц соответствует II,

•^1112 — 12,Хцз4 — 18, ...,Хз234 — 156.

360

Глава 9

Для удобства пояснения формирования матриц коэффи-

циентов целевой функции (9.7) и системы неравенств огра-

ничений, получаемых по исходным данным табл. 9.3, пред-

ставим эту целевую функцию в следующем виде:

7 8

ВД

X £ ВД,Ху -> max, (9.19)

где Ni — объем производства £-го вида изделий отрасли;

j — экономия расхода проката черных металлов (кг или т)

в результате применения /-го варианта мероприятий к i-му из-

делию;

Xij — индекс целесообразности применения /-го варианта

ОТМ к i-му изделию.

Тогда ограничения (9.8) и (9.11) также задаются в такой

форме:

^Ь^Хц <Q

j = hS, (9.20)

1=1

где bij — объем применения (кг или т) /-го варианта ОТМ к

i-му изделию;

Qj — объем (возможный запас) /-го ресурса — варианта

применения ОТМ;

fl,

если /-е мероприятие применяется к i-му изделию;

;

[О в противном случае, i = 1,7; / = 1,8. (9.21)

При решении данной задачи коэффициенты целевой

функции (9.19) — значения экономии металла (Ырф, вели-

чины потребного (bijNi) и наличного ресурсов (Qj) вариантов

применения ОТМ должны быть заданы в одних и тех же

единицах измерения (т). В нашем случае для удобства вос-

приятия значения экономии (Эф и объема применения ме-

роприятия (Ъф на единицу изделия в табл. 9.3 даны в кг.

При представлении в памяти ЭВМ они переводятся в тонны.

Матрица коэффициентов Э при неизвестных переменных

целевой функции (9.19) определяется из табл. 9.3 как ска-

лярное произведение объема выпуска изделий (Ni) и вели-

чины экономии расхода металла на единицу соответствую-

щего изделия в результате применения ОТМ (Эф: