Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений

Подождите немного. Документ загружается.

Гл.

Временные ряды

прогнозирование

293

MAD

I Фактические значения

Прогнозные значения

| 5^

Е, |

равное отношению суммы величин всех ошибок без учета их знака к общему числу

наблюдений, и среднеквадратическая ошибка (mean square error

—

MCE):

MSE

I(Et)^

которая представляет собой отношение суммы квадратов ошибок к общему числу

наблюдений. Последняя из указанных мер резко возрастает при наличии высоких

ошибок.

В процессе анализа временного ряда мы стараемся определить все имеющиеся

факторы и построить модель, которая соответствующим образом отражала бы их.

LJ Пример 9.1. Представленные ниже данные — это количество продукции,

проданной компанией "Lewplan pic" в течение последних 13 кварталов.

Таблица 9.1 Количество продукция, проданной

в течение последних 13 кварталов

Дата

Январь-март 19X6

Апрель-июнь

Июль-сентябрь

Октябрь-декабрь

Январь-март 19X7

Апрель-июнь

Июль-сентябрь

Октябрь-декабрь

Январь-март 19X8

Апрель-июнь

Июль-сентябрь

Октябрь-декабрь

Январь-март 19X9

Кадггчество проданной

продукции,

тыс.

шт.

239

201

182

297

324

278

257

384

401

360

335

462

481

Необходимо проанализировать указанное множество данных и установить,

можно ли обнаружить тенденцию. Если устойчивая тенденция действительно

Ч.

Анализ данных

как

составная часть принятия решений

Количество

продукции,

лродонной

эо каартол,

тыс. uiT.

500

400

300

200

100

.>^-%„

Приблизиталыю ровная сязоннои вариации

указывает насуществовонив аддитивной /июдели

Квартал,

год

2 3 4

19X6

2 3 4

19X7

2 3 4

19X8

Рис. 9.3. Объемы продаж коишшии Lewplan pic

по кварталам • иатуралыюи шражеини

существует, данная модель будет использоваться нами для прогнозирования коли-

чества проданной продукции в следующие кварталы.

Решение

На рис. 9.3 нанесены соответствующие значения. При построении диаграммы

временного ряда полезно последовательно соединить точки отрезками, чтобы

более четко увидеть любую тендешшю.

Как следует из диаграммы, возможен возрастающий тренд, содержащий сезон-

ные колебания. Объемы продаж в зимний период (1 и 4) значительно выше, чем

в летний (2 и 3). Сезонная компонента практически не изменится в течение трех

лет. Тренд показывает, что в целом объем продаж возрос примерно с 230 тыс. шт.

в 19X6 г. до 390 тыс. шт. в 19X8 г., однако увеличения сезонных колебаний не

произошло. Этот факт свидетельствует

пользу модели с аддитивной компонентой

(см.

9.3).

9.3. АНАЛИЗ МОДЕЛИ С АДДИТИВНОЙ КОМПОНЕНТОЙ:

A=T+S+E

Моделью с аддитивной компонентой называется такая модель, в которой вариация

значений переменной во времени наилучшим образом описывается через сложение

отдельных компонент. Предположив, что циклическая вариация не учитывается,

модель фактических значений

переменной Л

можно представить следующим образом:

Фактическое значение = Трендовое значение

•*-

Сезонная вариашм

-*-

Ошибка,

Гл.

Временные

ряды и

прогнозирование

295

т.е.

А =

+ S

+ Е.

В моделях как с аддитивной, так и с мультипликативной компонентой общая

процедура анализа примерно одина1бава:

ПЬг 1. Расчет значений сезонной компоненты.

Шаг 2. Вычитание сезонной компоненты из фактических значений. Этот

процесс называется десезонализацией данных. Расчет трюнда на основе получен-

ных десезонализированных данных.

Шаг 3. Расчет ошибок как разности между фактическими и трендовыми

значениями.

Шаг 4. Расчет среднего отклонения (MAD) или среднеквадратической ошиб-

ки (MSE) для обоснования соответствия модели исходным данньпи или для

выбора из множества моделей наилучшей.

9.3.1.

Расчет сезонной компоненты в аддитивных моделях

LJ Пример 9.2. Вернемся к примеру 9.1 предыдущего параграфа, в котором

рассматриваются квартальные объемы продаж компании Lewplan pic. Мы уже

выяснили, что этим данным отвечает аддитивная модель, т.е. фактически объемы

продаж можно выразить следующим образом:

= Т

+ S

+ Е.

Для того чтобы элиминировать влияние сезонной компоненты, воспользуемся

методом скользящей средней. Просуммировав первые четыре значения, получим

общий объем продаж в 19X6 г. Если поделить эту сумму на четыре, можно найти

средний объем продаж в каждом квартале 19X6 года, т. е.

(239 +

201

+ 182 + 297)/4 = 229,75.

Полученное значение уже не содержит сезонной компоненты, поскольку пред-

ставляет собой среднюю величину за год. У нас появилась оценка значения тренда

для середины года, т.е. для точки, лежащей в середине между кварталами П и 1П.

Если последовательно передвигаться вперед с интервалом в три месяца, можно

рассчитать средние квартальные значения на промежутке: апрель 19X6 — март

19X7 (251), июль 19X6 - июнь 19X7 (270,25) и т.д. Данная процедура позволяет

генерировать скользящие средние по четырем точкам для исходного множества

данных. Получаемое таким образом множество скользящих средних представляет

наилучшую оценку искомого тренда.

Теперь полученные значения тренда можно использовать для нахождения

оценок сезонной компоненты. Мы рассчитываем:

А - T

= S

+ E.

К сожалению, оценки значений тренда, полученные в результате расчета

скользящих средних по четырем точкам, относятся к несколько иным моментам

296

Ч. 2. Анализ данных как составная часть принятия решений

времени, чем фактические данные. Первая оценка, равная 229,75, представляет

собой точку, совпадающую с серединой 19X6 г., т.е. лежит в центре прюмежзггка

фактических значений объемов продаж во II и III кварталах. Вторая оценка,

равная 251, лежит между фактическими значениями в III и IV кварталах. Нам же

требуются десезонализированные средние значения, соответствующие тем же ин-

тервалам времени, что и фактические значения за квартал. Положение десезона-

лизированных средних во времени сдвигается путем дальнейшего расчета средних

для каждой пары значений. Найдем с()еднюю из первой и второй оценок, центрируя

их на июль-сентябрь 19X6 г., т. е.

(229,75 + 250/2 = 240,4.

Это и есть десезонализированная средняя за июль-сентябрь 19X6 г. Эту десезона-

лизированную величину, которая называется центрированной скользящей средней,

можно непосредственно сравнивать с фактическим значением за июль-сентябрь

19X6 г., равным 182. Отметим, что это означает отсутствие оценок тренда за

первые два или последние два кварпгала временного ряда. Результаты этих расчетов

приведены в табл. 9.2.

Таблица 9.2. Расчет по 4 точкам центрированных скользящих

средних авачений тренда для модели А

—

Т •• S + Е

Дата

Январь-март 19X6

Апрель-июнь

Июль-сентябрь

Октябрь-декабрь

Январь-март 19X7

Апрель-июнь

Июль-сентябрь

Октябрь-декабрь

Объем

продаж,

тыс. шт.

2 •

239

201

182

297

324

278

257

384

Итого

за

четыре

квартала

919

1004

1081

1156

1243

1320

1402

Скользящая

средняя

за

четыре

квартала

229,75

251

270,25

289

310,75

330

350,5

Центриро-

ванная

скользящая

средняя

240,4

260,6

279,6

299,9

320,4

340,3

Оценка

сезонной

компоненты

Л -T=S + Е

-58,4

+ 36,4

+ 44,4

-21,9

-63,4

+ 43,8

Гл.

9. Временные ряды и прогнозирование

297

Продолжение

Январь-март 19X8

Апрель-июнь

Июль-сентябрь

Октябрь-декабрь

Январь-март 19X9

401

360

335

462

481

1480

1558

1638

370

389,5

409,5

—

360.2

379,8

399,5

+ 40,8

-19,8

-64.5

Для каждого квартала мы имеем оценки сезонной компоненты, которые вклю-

чают в себя ошибку или остаток. Прежде чем мы сможем использовать сезонную

компоненту, нужно пройти два следующих этапа. Найдем средние значения

сезонных оценок для каждого сезона года. Эта процедура позволит уменьшить

некоторые значения ошибок. Наконец, скорректируем средние значения, увеличи-

вая или уменьшая их на одно и то же число таким образом, чтобы общая их сумма

была равна нулю. Это необходимо, чтобы усреднить значения сезонной компонен-

ты в целом за год. Корректирующий фактор рассчитывается следующим образом:

сумма оценок сезонных компонент делится на 4. В последнем столбце табл. 9.2 эти

оценки записаны под соответствующими квартальными значениями. Сама проце-

дура приведена в табл. 9.3.

Таблица 9.3. Расчет средшос значений сезонной компоненты

Итого

Среднее значение

Оценка сезонной

компоненты

Скорректирован-

ная сезонная ком-

понента*

Год

19X6

19X7

19X8

Номер квартала

+ 44,4

+ 40,8

+ 85,2

85,2+2

+ 42,6

-21,9

-19.8

-41,7

-41,7+2

-20,8

-20,7

-58,4

-63,4

-64,5

-186,3

-186,3+2

-62,1

-62,0

+ 36,4

+ 43,8

+ 80,2

80,2+3

+ 40,1

Сумма =-0,2

Сумма = 0

• в данном случае производилось округление двух значений сезонной компоненты до бт-

жайшего большего числа, а двух значении

—

до ближайшего мсшлиего числа таким оорвэом,

чтобы общая сумма была равна нулю.

298

Ч. 2. Анализ данных как составная

масть пршиопия

решений

Значения сезонной компоненты еще раз подтверждают наши выводы, сделан-

ные в 9.2 на основе диаграммы. Объемы продаж за два зимних квартала превы-

шают среднее трендовое значение приблизительно на 40 тыс. шт., а объемы

продаж за два летних периода ниже средних на 21 и 62 тыс. шт. соответственно.

Аналогичная процедура применима при определении сезонной вариащ1и за

любой промежуток времени. Если, например, в качестве сезонов выступают дни

недели, для элиминирования влияния ежедневной «сезонной компоненты» также

рассчитывают скользящую среднюю, но уже не по четырем, а по семи точкам. Эта

скользящая средняя представляет собой значение тр>енда в середине недели, т.е. в

четверг; таким образом, необходимость в процедуре центрирювания отпадает.

9.3.2.

Десезонализация данных

при

расчете тренда

Шаг

2ЧХХГГОИТ

в десезонализации исходных данных. Она заключается в вычита-

нии соответствующих значений сезонной компоненты из фактических значений

данных за каждый квартал, т.е. А

—

S = Т + Е, что показано ниже.

Та(

Дата

Январь-март 19X6

Апрель-июнь

Июль-сентябрь

Октябрь-декабрь

Январь-март 19X7

Апрель-июнь

Июль-сентябрь

Октябрь-декабрь

Январь-март 19X8

Апрель-июнь

Июль-сентябрь

Октябрь-декабрь

Январь-март 19X9

S л и ц а

9.4 Расчет дес;езонаяна11ровавиых данных

Номер

квартала

2 •

Объем

продаж,

тыс. шт.

239

201

182

297

324

278

257

384

401

360

335

462

481

Сезонная

компонента

(+42,6)

(-20,7)

(-62,0)

(+40,1)

(+42,6)

(-20.7)

(-62,0)

(+40,1)

(+42,6)

(-20,7)

(-62,0)

(+40,1)

(+42,6)

Десезонализированный

объем продаж,

тыс. шт.

Л - 5 = Г+ £

196,4

221,7

244.0

256.9

281,4

298.7

319,0

343,9

358,6

380.7

397.1

421.9

438,4

Новые оценки значений тренда, копорые еще содержат ошибку, можно использо-

вать для построения модели основного тренда. Если нанести эти значения на исход-

Ч'ю диаграмму, можно сделать вывод о существовании явного линейного тревда.

Гл.

9. Временные ряды и прогнозирование

299

Количество

продукции,

проданной

за юартол,

тыс. шт.

500 -

400 -

300

200

100

Фактические

значения

Оценки

J 1 1 1__1 I I I 1__1 I L__J ^

12341234)3341

19X4 IW7 19X8

Квартал,

год

Рис. 9.4. Фактячесше и десеаоналнанровавиые квартальные

объемы продаж коипашш Lewplan pic

Уравнение линии тренда имеет вид:

Т = а + b

—номер квартала,

где в и b характеризуют точку пересечения с осью ординат и наклон линии тренда.

Для определения параметров прямой, наилучшим образом аппроксимирующей

тренд, можно использовать метод наименьших квадратов. Таким образом, как мы

знаем из предыдущей главы о линейной регрессии, уравнения для расчета пара-

метров а и 6 будут иметь вид:

ЕУ

Ь2:Х

где X — порядковый номер квартала, у — значение (Т + Е) в предыдущей

таблице. С помощью калькулятора подсчитаем:

5] х-91. 2^x^ = 819, 5^ у = 4158,7, J] ху = 32747,1, п = 13.

Подставив найденные значения в соответствующие формулы, получим:

b = 19,978. а = 180.046.

2QQ Ч. 2. Анализ данных как составная часть принятия решений

Следовательно, уравнение модели тренда имеет следующий вид:

Треидовое значение объема продаж, тыс.

шт.

~ 180,0 + 20,0 х номер квартала.

9,3.3.

Расчет ошибок

jjjat 3 нашего алгоритма, предшествующий составлению прогнозов, состоит в

расчете ошибок или остатка. Наша модель имеет следующий вид:

= Т + S + Е.

Значение S было найдено в разделе 9.3.1, а значение Т

—

.в разделе 9.3.2.

Вычитая каждое это значение из фактических объемов продаж, получим значения

ошибок.

Таблица

Цата

Январь-март 19X6

Апрель-июнь

Июль-сентябрь

Октябрь-декабрь

Январь-март 19X7

Апрель-июнь

Июль-сентябрь

Октябрь-декабрь

Январь-март 19X8

Апрель-июнь

Июль-сентябрь

Октябрь-декабрь

Январь-март 19X9

9.3.

Расчет ошмбок для модели с аддитивной компонетой

Нонер

квартала

4 '

Объем

продаж,

тыс. шт.

239

201

182

297

324

278

257

384

401

360

335

462

481

Сезонная

компонента

(+42,6)

(-20,7)

(-62.0)

(+40,1)

(+42,6)

(-20,7)

(-62,0)

(+40,1)

(+42,6)

(-20.7)

(-62,0)

(+40,1)

(+42.0)

Треидовое

значение,

тис. шт.

200

220

240

260

280

300

320

340

360

380

400

420

440

Ошибка,

тыс. шт.

А - S-T=E

-3,6

+ 1,7

+4,0

-3,1

+ 1.4 .

-1,3

-1,0

+ 3.9

-1.6

+ 0,7

-3,0

+ 1.9

-1,6

Последний столбец этой таблицы можно использовать в шаге 4 при расчете

среднего абсолютного отклонения (MAD) или средней квадратической ошибки

(MSE):

MADi

SlEel

28,7

-2.2,

Гл.

Временные ряды

прогнозирование

jyj

M^R ^ ^^t^' 78,85 ..

В нашем случае ошибки достаточно малы и составляют от t до 2%. Тенденция

выявленная по фактическим данным, достаточно устойчива и позволяет получить

хорошие краткосрочные прогнозы.

9.3.4. Прогнозирование по аддитивной модели

Прогнозные значения по модели с аддитивной компонентой рассчитываются как

F = Т + S (тыс. шт. за квартал),

где трендовое значение Т = 180 + 20 х номер квартала, а сезонная компонента S

составляет +42,6 в январе-марте, - 20,7 в апреле-июне, 62,0 в июле-сентябре и

+40,1 в октябре-декабре.

Порядковый номер квартала, охватывающего ближайшие три месяца с апреля

по июль 19X9 г., равен 14, таким образом прогнозное трендовое значение составит:

Т,4 = 180 + 20

14 = 460 (тыс. шт. за квартал) .

Соответствующая сезонная компонента равна - 20,7 тыс. шт. Следовательно,

прогноз на этот квартал определяется как:

F (апрель-июнь 19X9 г.) = 460 - 20,7 = 439,3 тыс. шт.

Не следует забывать: чем более отдаленным является период упреждения, тем

меньшей оказывается обоснованность прогноза. В данном случае мы предполагаем,

что тенденция, обнаруженная по ретроспективным данным, распространяется и на

будущий период. Для сравнительно небольших периодов упреждения такая пред-

посылка может действительно иметь место, однако ее вьшолнение становится

менее вероятным по мере составления прогнозов на более отдаленную перспективу.

9.4. АНАЛИЗ МОДЕЛИ С МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ

КОМПОНЕНТОЙ: А S Т

Sx Е

В некоторых временных рядах значение сезонной компоненты не является кон-

стантой, а представляет собой определенную долю тревдового значения. Таким

образом, значения сезонной компоненты увеличиваются с возрастанием значений

тренда.

П Пример 9.3. Компания CD pic осуществляет реализацию нескольких видов

продукции. Объемы продаж одного из продуктов за последние 13 кварталов

представлены в таблице 9.6.

mo Ч. 2. Анализ данных как составная часть принятия решений

Количество

продукции,

продрнной

JO юортоя,

тыс.

шт.

100 -

90 -

80 -

Усиление сеюнной вариации с возрастанием тренда

указмоет на существование мультипликативной модели

J I I, I ' I • I I I L

Квартал, год

1234123412341

19X4 19X7 19X8

Рис. 9.S. Квартальные объемы продаж компании CD pic

Таблица 9.6. Квартальные объемы продаж компании CD pic

Дата

Январь-март 19X6

Апрель-июнь

Июль-сентябрь

Октябрь-декабрь

Январь-март 19X7

Апрель-июнь

Июль-сентябрь

Октябрь-декабрь

Январь-март 19X8

Апрель-июнь

Июль-сентябрь

Октябрь-декабрь

Январь-март 19X9

Номер

квартала

Количество

проданной

продутой, тыс. шт.