Дымков М.П., Шилкина Е.И. Высшая математика: Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Подождите немного. Документ загружается.
181
9. Перечислитесвойствасходящихсяпоследовательностей.
10. Пределомкакойчисловойпоследовательностиявляетсячисло
e
?
11. Покажитена примере,что номер
N
, фигурирующийвопределе-
ниипределапоследовательности,зависит,вообщеговоря,от
.
12. Пустьпоследовательностьсходится.Являетсялисходящейсяпо-
следовательность,котораяполучаетсяизисходной,если:
а)изнееудалитьконечноечислочленов,аоставшиесязановопе-
ренумероватьвпорядкеихследования?
б) к ней добавить конечное число членов, перенумеровав члены
последовательностивпорядкеихследования?
13. Пустьвнекоторойокрестности точки
a
лежитбесконечномного
членовпоследовательности
n
x
.Следуетлиизэтогоусловия,что:
а) lim
n
x a
при
n
?б)
n
x
ограничена?
14. Пусть
lim
n
n
a x
.Докажите,что:
а)
1
lim
n
n
a x
,
2
lim
n
n
a x
;б)
n
x
ограничена.
Могутливсечлены последовательностибытьотрицательными,если
0
a
?Можетлипоследовательностьиметьбесконечномногоравных
нулючленов,если
0
a
?
Тренировочное задание № 6.
1.Вычислитьпределы:
а)
2 1
lim ;
3 2
n
n
n
б)
2
1
lim ;
3 3
n
n
n n
в)
3
2
lim ;
1
n
n n
n
г)
lim ( 2 );
n
n n
д)
3
3
lim ( 1 );
n
n n
е)
2 3
lim ;
3 2
n n
n n
n
ж)
2 1
1
lim ;
2
n
n
n
n
з)
2 1
lim ;
1
n
n
n
n
и)
4 2
lim ( ) ;
n
n n n n
182
Решение тренировочного задания № 6.
1а)
2 1
lim
3 2
n
n
n
.Имеемнеопределенность
,поэтомутеоремуопре-
делечастногоприменитьнельзя.Преобразуемвыражениеподзнаком
предела, разделив числитель и знаменатель на старшую степень
n
,
т.е. на
1
:
n n
2 1
lim
3 2
n
n
n
1
2
2
lim ,
2
3
3
n
n
n
поскольку величины
1
n
и
2
n
при
n
являютсябесконечномалымииихпределравеннулю.
1б)
2
1
lim
3 3
n
n
n n
2
2
2
1
lim
2 3
n
n
n
n n
n
2
1 1
lim
3
2
n
n
n
n
2
1 1
lim ( )
3
lim (2 )
n
n
n
n
n
2
1 1
lim lim
0 0
0;
3
2 0
lim 2 lim
n n
n n
n
n
n
1в)
3
2
lim
1
n
n n
n
=
3
3
2
3
lim
1
n
n n
n
n
n
3
2 3
1
1
lim .
1 1
n
n
n n
Посколькучислитель
3
1
1
n
стремитсяк
1
при
n
,азнаменательестьбесконечномалаяве-
личина,топотеореме1.1переменнаявеличина
3
2
1
n n
n
являетсябес-
конечнобольшой:
3
2
lim
1
n
n n
n
.
1г)
lim ( 2 )
n
n n
. Имеем неопределенность
. Для ее рас-
крытия умножим и разделим выражение под знаком предела на
2
n n
иприменимприемы,применяемыеприрешении1а)-1в):
183
lim ( 2 )
n
n n
=
( 2 )( 2 )
lim
2
n
n n n n
n n
=
2
lim
2
n
n n
n n
2 2
lim 0
2
n
n n
.
1д)
3
3
lim ( 1 )
n
n n
. Умножим и разделим выражение под
знаком предела на неполный квадрат суммы:
3 3
3 2 3 2
( 1) 1 .
n n n n
Тогда, применяя формулу
2 2 3 3
( )( )
a b a ab b a b
, уничтожаем иррациональность в числи-
телеполученноговыраженияи,применяятеорему1.1,получаемот-
вет:
3
3
lim ( 1 )
n
n n
3 3
3 3
3 2 3 2
1
lim
( 1) 1
n
n n
n n n n
3 3
3 2 3 2
1
lim 0.
( 1) 1
n
n n n n
1е)
2 3
lim
3 2
n n
n n
n
2 3
3
lim
3 2
3
n n
n
n n
n
n
2
1
3
lim
2
1
3
n
n
n
2
lim 1
0 1
3
1
1 0
2
1 lim
3
n
n
n
n
.
1ж)
2 1
1
lim
2
n
n
n
n
2 1
2 3
lim
2
n
n
n
n
2 3
(2 1)
3 2
3
lim 1
2
n
n
n
n
n
6 3
lim
6
2
n
n
n
e e
,поскольку
6 3
lim
2
n
n
n
6 3
lim
2
n
n
n
n
n
3
6
lim 6.
2
1
n
n
n
1з)
2 1
lim ( ) .
1
n
n
n
n
Здесь основание степени
2 1
2,
n
n
если
n
,
значит,
2
неестьнеопределенность,абесконечнобольшаявеличи-
на:
2 1
lim ( )
1
n
n
n
n
.
184
1и)
4 2
lim ( ) [0 ]
n
n n n n
4 2 4 2
4 2
( )( )
lim
n
n n n n n n n
n n n
4 4
4 2
( )
lim
n
n n n n
n n n
2
4 2
lim
n
n
n n n
2
2
4 2
2
lim
n
n
n
n n n
n
4
4
1
lim
1
n
n n
n
3
1 1
lim
2
1
1 1
n
n
.
7:Пределинепрерывностьфункции.
1. Дайтеопределениефункцииоднойнезависимойпеременной.
2. Чтоназываетсяграфикомфункции?
3. Какаяфункцияназываетсяобратнойкфункции
f
?
4. КакиеспособызаданияфункцииВамизвестны?
5. Перечислитеосновныеэлементарныефункции.Приведитеприме-
ры.
6. Какаяфункцияназываетсячетной,нечетной,периодической,воз-
растающей, убывающей, монотонной,ограниченной сверху (сни-
зу)?Приведитепримеры.
7. Приведите примеры функциональных зависимостей, используе-
мыхвэкономике.
8. Какаяточка
0
x
называетсяпредельнойточкоймножества
X
?
9. Дайтеопределениепределафункциивточке
0
x
наязыкепоследо-
ватель-ностей(поГейне)инаязыке
" - "
(поКоши).
10. Какобозначаютсяпределыфункциивточке
0
x
справаислева?
11. Дайтеопределениепределафункциинабесконечности.
12. СформулируйтеизвестныеВамтеоремыопределахфункций.
13. Запишитепервыйивторойзамечательныепределы.
14. Дайте определение бесконечно малой и бесконечно большой
функцийиприведитепримеры.
185
15. Какая связь существует между бесконечно малой в точке
0
x
функциейибесконечнобольшойвточке
0
x
функцией?
16. Какиебесконечномалыефункцииназываются:эквивалентными;
одногопорядка; болеевысокого порядка;более низкогопорядка;
несравнимыми?Приведитепримеры.
17. КакиевидынеопределенностейВызнаете?
18. Дайтеопределениенепрерывностифункциивточке
0
x
.
19. Приведите примеры функций, непрерывных в точке
0
x
слева;
справа;непрерывныхвточке
0
x
.
20. Запишитеопределениенепрерывностифункциивточке
0
x
,сфор-
мулированноевтерминахприращений
x
и
y
.
21. Сформулируйтетеоремуобарифметическихдействияхнаднепре-
рывнымифункциями.
22. Сформулируйтетеоремуонепрерывностисложнойфункциионе-
прерывностиобратнойфункции.
23. Сформулируйте теорему о непрерывности элементарных функ-
ций.
24. Какаяточка
0
x
называетсяточкойразрывапервогородафункции
( )
f x
?
25. Какая точка
0
x
называется точкой разрыва второго рода функ-
ции
( )
f x
?
26. Перечислитесвойствафункций,непрерывныхнаотрезке.
27. Сформулируйте отрицания двух определений предела функции в
точке.
Тренировочное задание № 7.
Найтипределыфункций,неприменяяправилоЛопиталя:
а)
2
2
2
2 7 9
lim
2
x
x x
x x
; б)
2
2
1
2 7 9
lim
2
x
x x
x x
;
в)
2
2
2 7 9
lim
2
x
x x
x x
г)
2
2
2
2 7 9
lim
2
x
x x
x x
;
186
д)
0
lim
4 2
x
x
x
; е)
2 2
lim ( 1 1)
x
x x
;
ж)
2
0
1 1
lim ;
1 1
x
x x
x
з)
2
0
1 cos 2
lim ;
x
x
x
и)
0
sin 4
lim
7
x
x
tg x
; к)
0
lim
1 cos
x
xtgx
x
;
л)
6
1 2sin
lim ;
6
x
x
x
м)
0
sin 2
lim ;
1 cos
x
x
x
н)
3 2
lim ( ) ;
1
x
x
x
x
о)
2
1
0
lim(cos ) ;
x
x
x
2.Исследоватьнанепрерывностьфункцию
( )
y f x
иуказатьхарак-
терточекразрыва,еслионисуществуют:
а)
1
( ) ;
4
f x
x
б)
2
( ) 2 4;
f x x x
в)
1
1
( ) ;
1 2
x
f x
г)
sin
( )
x
f x
x
Решение тренировочного задания № 7.
1а)
2
2
2
2 7 9
lim
2
x
x x
x x
.Применяятеоремуопределечастного,получим:
2
2
2
2 7 9
lim
2
x
x x
x x
=
2
2
2
2 2
2
lim(2 7 9)
2 2 7 2 9 13
;
4
lim( 2) 2 2 2
x
x
x x
x x
187
б)
2
2
1
2 7 9
lim
2
x
x x
x x
.Здесьпределзнаменателяравеннулю,поэтому
теоремуопределечастногоприменитьнельзя.Пределчислителято-
жеравеннулю,значитимеетсянеопределенностьвида
0
0
.Длятого,
чтобыраскрытьэтунеопределенность,разложимчислительизнаме-
нательнамножители,пользуясьформулой
2
1 2
( )( ),
ax bx c a x x x x
где
1
x
и
2
x
корниквадратногоуравне-
ния
2
0.
ax bx c
Тогда
2
2
1
2 7 9
lim
2
x
x x
x x
=
0
0
1
9
2( 1)( )
2
lim
( 1)( 2)
x
x x
x x
1
2 9 2 1 9 11
lim ;
2 1 2 3
x
x
x
в)
2
2
2 7 9
lim
2
x
x x
x x
. Здесь числитель и знаменатель при
x
стре-
мятся к бесконечности, поэтому теорему о пределе частного приме-
нить нельзя. Разделив числитель и знаменатель дроби на
2
x
, полу-
чим:
2
2
2 7 9
lim
2
x
x x
x x
=
2
2
7 9
2
2 0 0
lim 2.
7 2
1 0 0
1
x
x
x
x
x
Здесьиспользова-
ли тот факт, что
2 2
7 9 1 2
, , ,
x x
x x
бесконечно малые функции при
.
x
г)
2
2
2
2 7 9
lim
2
x
x x
x x
=
2
2
2 ( 2) 7 ( 2) 9 15
0
( 2) 2 2
=
. Использовали
теоремуо том, что величина , обратная бесконечно малой функции,
являетсябесконечнобольшой.
д)
0
lim
4 2
x
x
x
.Вэтомпределезнаменательдроби–иррациональ-
ноевыражение,причемпределычислителяизнаменателяравныну-
люпри
0.
x
Теоремуопределечастногоприменитьнельзя.Для
188
раскрытиянеопределенности
0
0
уничтожимиррациональностьвзна-
менателе,длячегоумножимчислительизнаменательдробинавы-
ражение,сопряженноезнаменателю:
( 4 2)
x
.Получим
0
lim
4 2
x
x
x
=
0
( 4 2)
lim
( 4 2)( 4 2)
x
x x
x x
0
( 4 2)
lim
4 4
x
x x
x
0
lim( 4 2) 2 2 4
x
x
.
е)
2 2
lim( 1 1)
x
x x
=
=
2 2 2 2
2 2
( 1 1)( 1 1)
lim
1 1
x
x x x x
x x
=
2 2
2 2
( 1) ( 1)
lim
1 1
x
x x
x x
2 2
2
lim 0
1 1
x
x x
.
Посколькузнаменательдробиявляетсябесконечнобольшойвеличи-
нойпри
x
, а числитель
2
есть постоянная величина, то иско-
мыйпределравеннулю.
ж)
2
0
1 1 0
lim
0
1 1
x
x x
x
. Уничтожая иррациональность и в чис-
лителе и в знаменателе, сокращая числитель и знаменатель на
x
,
применяязатемтеоремуопределечастного,получим:
2 2
2
0
( 1 1 )( 1 1 )(1 1 )
lim
(1 1 )(1 1 )( 1 1 )
x
x x x x x
x x x x
2
2
0
(1 1 )(1 1 )
lim
(1 1 )( 1 1 )
x
x x x
x x x
2
0
( 1)(1 1 )
lim
( 1 1 )
x
x x x
x x x
2
0
( 1)(1 1 )
( 1)(1 1)
lim 1;
1 1
1 1
x
x x
x x
з)
2
0
1 cos 2
lim .
x
x
x
Здесьпределычислителяизнаменателяравныну-
лю,значит,теоремуопределечастногоприменитьнельзя.Поскольку
189
подзнакомпределатригонометрическаяфункция, тонадо преобра-
зоватьданноевыражениеипривестиегоквиду
sin
kx
kx
,зная,чтоэтот
предел
0
lim
x
sin
1
kx
kx
. Применяя тригонометрическую формулу
2
1 cos 2 sin
2
x
x
, получим
2
0
1 cos 2
lim
x
x
x
=
2
2
0
2sin
lim
x
x
x
0
sin
2lim
x
x
x
0
sin
lim 2 1 1 2;
x
x
x
и)
0
sin 4
lim
7
x
x
tg x
0
0
0
sin 4 cos 7
lim
sin 7
x
x x
x
0
sin 4
4 cos 7
4
lim
sin 7
7
7
x
x
x x
x
x
x
x
0 0
0
sin 4
lim 4 lim cos 7
1 4 1 4
4
;
sin 7
1 7 7
lim 7
7
x x
x
x
x
x
x
x
к)
0
lim
1 cos
x
xtgx
x
=
0
sin
lim
cos (1 cos )
x
x x
x x
0
2
2sin cos
2 2
lim
cos 2sin
2
x
x x
x
x
x
0
cos
2
lim
sin
2
cos
2
2
x
x
x
x
x
0
0 0
lim cos
2 1
2
2 2;
1 1
sin
2
lim cos lim
2
x
x x
x
x
x
x
190
л)
6
1 2sin 0
lim .
0
6
x
x
x
Здесьнеопределенность
0
0
, для ее раскрытия
сделаемвначалезамену
6
x y
,значит
6
x y
.Если
6
x
,то
0
y
.Отсюдаполучим
6
1 2sin
lim
6
x
x
x
0
1
2( sin( ))
2 6
lim
y
y
y
0
sin sin( )
6 6
2 lim
y
y
y
0
2sin cos( )
2 6 2
2 lim
y
y y
y
0 0
sin
2
2 lim lim cos( )
6 2
2
y y
y
y
y
3
2 1 3;
2
м)
0
sin 2 0
lim
1 cos 0
x
x
x
0
2
sin 2
lim
2sin
2
x
x
x
0
2
sin 2
2
2
lim
sin sin
2 2
2
4
2 2
x
x
x
x
x x
x
x x
0
2
0 0
sin 2
lim 4
2
sin
2
lim( ) lim
2
x
x x
x
x
x
x
x
4
;
0
н)
3 2
lim ( ) .
1
x
x
x
x
Здесь под знаком предела стоит показательная
функция, основание которой стремится к
1
(
lim 1),
1
x
x
x
а показа-
тельстепени – кбесконечности:
lim (3 2)
x
x
. Значит,имеемне-
определенность вида
1
, поэтому надо преобразовать данную функ-