Дымков М.П., Шилкина Е.И. Высшая математика: Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Подождите немного. Документ загружается.
141
2
4
( 2) ((2 4)( 2) 2( 4 ))
( 2)
x x x x x
x
3
8
( 2)
x
.
Так как
0
y
при
2
x
, то на интервале
(2
;
) график во-
гнутый; так как
0
y
при
2
x
, то на интервале
(
;
2)
график
выпуклый.
8) Находим асимптоты графика:
( )
lim
x
f x
x
2
lim
( 2)
x
x
x x
2
2
lim
2
x
x
x x
2
2
2
2 2
lim
2
x
x
x
x x
x x
1
lim
2
1
x
x
1
;
lim ( ( ) )
x
b f x kx
2
lim ( )
2
x
x
x
x
2 2
2
lim
2
x
x x x
x
2
lim
2
x
x
x
2
Таким образом, график имеет наклонную асимптоту
2
y x
.
Строим график, который имеет в нашем случае вид (см. рис. 8.5).
Рис. 8.5.
142
Вопросыдляповторенияитренировочныезадания
Вовторойчастипособиядаетсякраткийпереченьвопросов,обяза-
тельныхдляповторенияосновныхтеоретическихположенийпокаж-
дому разделу, которые помогают усвоить необходимый материал.
Приведенные после этоготренировочныезаданиястимулируют за-
креплениенавыковоперированиясоответствующим математическим
аппаратомиболееглубокоепониманиеосновныхпонятийматемати-
ческогоанализа.
1. Многомерноеарифметическоепространство
1.Чтоназываетсясвязаннымвекторомикаконобозначается?
2.Чтоназываетсядлинойилимодулемсвязанноговектора?
3.Какиененулевыевекторыназываютсясонаправленными;противо-
положнонаправленными;эквивалентными?
4.Дайтеопределениесвободноговектораилипростовектора.
5.Какиевекторыназываютсяколлинеарными;ортогональными?
6.Дайтеопределениеn-мерноговектораиегокоординат.
7.Приведитепримерn-мерноговектора,используемоговэкономике.
8.Какиедваn-мерныхвектораназываютсяравными?
9.Чтоназываетсясуммойдвухвекторов
1 2
( , , ..., )
n
a a a
a
и
1 2
( , , ..., )
n
b b b
b
?
10.Чтоназываетсяпроизведениемвектора
1 2
( , , ..., )
n
a a a
a
начислоλ?
11.Перечислите свойства линейных операцийнад n-мерными векто-
рами.
12.Дайте определение n-мерного арифметического векторного про-
странства.
13.Сформулируйте необходимое и достаточное условие коллинеар-
ностиn-мерныхвекторов,заданныхкоординатами.
14. Как вычисляется скалярное произведение n-мерных векторов
1 2
( , , ..., )
n
a a a a
и
1 2
( , , ..., )
n
b b b b
?
15. Запишите формулу для вычисления модуля (длины) n-мерного
вектора
1 2
( , , ..., )
n
a a a a
.
143
16. Запишите формулудля определения угла между n-мерными век-
торами
a
и
b
.
17.Запишитеформулудлянахождениярасстояниямеждуточками
А (х
1
, х
2
, …, х
n
)иВ (у
1
, у
2
, …, у
n
)n-мерногопространства.
18.Перечислитесвойстваскалярногопроизведения.
19.Дайтеопределениеевклидовапространства.
Тренировочноезадание1
1.Принормальной(λ
1
=1)интенсивностивелосипедныйзаводпроиз-
водит в месяц G
1
= (3000; 4000; 6000; 1000) мужских, женских,
детскихигорныхвелосипедов,априинтенсивности0≤λ
1
≤4он
производитλ
1
G
1
велосипедов(дробныечислаокругляютсядоце-
лых).Скольковелосипедовпроизводитзаводвмесяцприинтен-
сивности
1
2; 3; 0,5
? Второй завод при нормальной
2
1
интенсивностипроизводитв месяцG
2
=(4000;5000;6000;0)та-
ких же велосипедов. Сколько и каких велосипедов производят
обазаводапри(λ
1
;λ
2
)=(1;2);(2;3)?
2.Впространстветрехтоваровсценами(3;5;4)укажитенесколько
наборовтоваровстоимостью19;34;53.Пустьценыизменилисьи
сталиравными(4;4;5).Приведитепримерынаборовтоваров,ко-
торые подешевели, подорожали,остались той же стоимости (ре-
шитеэтузадачудлястоимости34).
3. Данывекторы
(1; 1; 3; 2)
a
и
(2; 2;1; 1)
b
. Найдите скалярное
произведениеэтихвекторов,ихдлиныиуголмеждуними.
4. Дан вектор
(3; 0; 1; 3; 2)
a
евклидова пространства. Подберите
ненулевойвектор
b
,ортогональныйвектору
a
.
Решениетренировочногозадания1
1. При λ
1
= 2 первый заводпроизводитλ
1
G
1
= 2 (3000; 4000; 6000;
1000) = = (2 · 3000;2 · 4000; 2 · 6000; 2 · 1000) = (6000; 8000;
12000;2000)мужских,женских,детскихигорныхвелосипедов
соответственно.Аналогично,приλ
1
=3 получимλ
1
G
1
=3(3000;
4000; 6000; 1000) = (6000; 12000; 18000; 3000) велосипедов, а
144
при λ
1
= 0,5 получим λ
1
G
1
= 0,5 (3000; 4000; 6000;1000) =
(1500;2000;3000;500)велосипедов.Здесьиспользуетсяоперация
умноженияn-мерноговектора(n=4)начисло.
Так как для второго завода G
2
= (4000; 5000; 6000; 0), то он
горные велосипеды не производит. Для нахождения суммарного
выпускавелосипедов двумя заводами при заданныхинтенсивно-
стях (λ
1
; λ
2
) надо вычислить сумму четырехмерных векторов
λ
1
G
1
+λ
2
G
2
.Тогдапри(λ
1
;λ
2
)=(1;2)получимλ
1
G
1
+λ
2
G
2
=1
(3000; 4000; 6000; 1000) + 2 (4000; 5000; 6000; 0) = (3000; 4000;
6000;1000) + (8000; 10000;12000; 0) = (11 000;14000;18000;
1000)мужских,женских,детскихигорныхвелосипедовсоответ-
ственно. Если (λ
1
;λ
2
) = (2; 3),тообазавода выпускаютв месяц
2G
1
+3G
2
=2(3000;4000;6000;1000)+3(4000;5000;6000;0)=
(6000;8000;12000;2000)+(12000;15000;18000;0)=(18000;
23000;3000;2000)велосипедовкаждоговида.
2.Подтоваромпонимаетсянекотороеблагоилиуслуга,поступившие
в продажу в определенное время и в определенном месте. Если
считать, что имеетсяn различныхтоваров, причемколичествоi-
го товара обозначается x
i
, тогда некоторый набор товаров
1 2
( , , , )
n
x x x
X
является n-мерным вектором. Считается, что
0, 1,
i
x i n
или
0
x
. Множество всех наборов товаров назы-
вается пространством товаров. Существенным является предпо-
ложениеобезграничнойделимостииумножениитоваров(т.е.то-
варыустроенынаподобиемуки,нонесамолетов).Предполагает-
ся также, что каждыйтовар имеет цену, которая предполагается
строгоположительной.Пустьценаединицытовараестьp
i
,тогда
вектор
1 2
( , , , )
n
p p p
p
есть вектор цен. Так как размерности
набора товара, как вектора, и вектора цен совпадают, то есть
смысл говоритьоскалярномпроизведениивекторов
p
и
x
. Это
число
1 1 2 2
n n
p x p x p x
p x
называется ценой набора или
егостоимостью.Обозначимего
( )
c x
.
При
( )
c
x
= 19 и
p
= (3; 5; 4) уравнение
1 1 2 2 3 3
р х р х р х
=
1 1 2 2 3 3
( )
р х р х р х c
x
принимает вид
1 2 3
3 5 4 19
х х х .
Тогда наборы товаров могут быть:
1; 2;1,5 ,
x
ибо
145
3 1 5 2 4 1,5 19
; или
x
= (1; 3; 0,25), ибо
3 1 5 3 4 0, 25 19,
но не может быть, скажем
1
3
х
,
2
3,
х
2
3
х
, т.к.
1 2
3 5 3 3 5 3 24, 24 19,
х х а
3
х
не
можетбытьотрицательнымчислом.
При
( )
c
x
=34 имеем уравнение
1 2 3
3 5 4 34
х х х
. Отсюда
можноопределитьследующиенаборытоваров:
2; 4; 2
x
или
0; 6; 1 .
x
Впоследнемнаборетоварпервоговиданепри-
обретается.
При
( )
c
x
= 53 имеем уравнение
1 2 3
3 5 4 53
х х х
, откуда
можно найти следующие наборы товаров
10; 4; 0,75
x
или
5; 6; 2,25
x
.
Рассмотрим теперь ситуацию, когдаценыизменились с
(0)
p
=
(3;5;4)на
(1)
p
=(4;4;5).Тогданабортоваров
x
=(2;4;2)стои-
мостью34будетстоить
2 4 4 4 2 5 34
,т.е.егостоимость
неизменилась.Данныйнабор
x
удовлетворяетсистеме:
1 2 3
1 2 3 1 2 3
3 5 4 34 ,
4 4 5 34 , 0 , 0 , 0 .
x x x
x x x x x x
Набор товаров
x
= (0; 6; 1) стоимостью 34 станет стоить
4 0 4 6 5 1 29,
т.е. стоимость этого набора уменьшится.
Здесьвыполняетсясистема
1 2 3
1 2 3 1 2 3
3 5 4 34 ,
4 4 5 34 , 0 , 0 , 0 .
x x x
x x x x x x
Набор товаров
x
= (2; 2; 4,25) стоимостью 34 будет стоить
4 2 4 2 4, 25 5 37,25,
т.е. стоимость этого набора увеличит-
ся.Здесьвыполняетсясистема:
1 2 3
1 2 3 1 2 3
3 5 4 34 ,
4 4 5 34 , 0 , 0 , 0 .
x x x
x x x x x x
146
3. Скалярное произведение n-мерных векторов
1 2
( , , , )
n
a a a
a
и
1 2
( , , , )
n
b b b
b
находимпоформуле:
1 1 2 2
n n
a b a b a b
a b
.
Если
a
= (1; - 1; 3; 2),
b
= (2; 2; 1; - 4), то
1 2 1 2 3 1+
a b
2 1 2 – 2 3 – 2 1.
Длину n-мерного вектора вычисляем по формуле
2 2 2
1 2
n
a a a
a .Тогда
2 2 2 2
1 ( 1) 3 2 1 1 9 4 15
a ;
2 2 2 2
2 2 1 ( 1) 4 4 1 1 10
b
.
Уголмеждуn-мернымивекторами
a
и
b
находимпоформуле:
1 1 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
cos
n n
n n
a b a b a b
a a a b b b
.
Тогдавнашемслучае
1 1 1
cos , arccos
15 10 5 6 5 6
.
4. Так как условие ортогональности векторов
a
и
b
имеет вид
1 1 2 2
0
n n
a b a b a b
,токоординатывектора
1 2
( , , , )
n
b b b
b
удовлетворяют уравнению
1 2 3 4 5
3 0 –1 8 2 0
b b b b b
. Од-
ним из решений этого уравнения является, например,
1 2 3 4 5
1, 5, 3, 0, 0,
b b b b b
т.е. вектор
1; 5; 3; 0; 0 .
b
Понятно, что существует бесчисленное множествовекторов,ор-
тогональныхвектору
a
=(3;0;-1;3;2).
2.Системывекторов
1. В каком случае вектор
b
называется линейной комбинацией m
векторовn-мерногопространства
1 2
, , ,
m
a a a
скоэффициентами
линейнойкомбинации
1 2
, , ,
m
?Приведитепример.
147
2. Какаясистемаm векторовn-мерногопространстваназываетсяли-
нейнозависимой;линейнонезависимой?
3. Запомните следующие простейшие свойства линейной зависимо-
сти(сихдоказательствомможноознакомитьсявучебнике):
а)еслисредивекторовсистемыестьнулевой,тооналинейноза-
висима;
б) если r векторов системы из m векторов
( )
r m
линейно зави-
симы,тоивсясистемалинейнозависима;
в) любая подсистема линейно независимой системы является ли-
нейнонезависимой;
г)длятого,чтобысистема
1 2
, , ,
m
a a a
былалинейнозависимой,
необходимоидостаточно,чтобыхотябыодинизвекторовлиней-
новыражалсячерезостальные;
д)диагональнаясистемавекторовлинейнонезависима;
е) система единичных векторов n-мерного пространства линейно
независима;
ж) любой вектор n-мерного пространства является комбинацией
единичныхвекторовэтогопространства.
4. Дайте определение базиса (максимальной линейно-независимой
подсистемы)даннойсистемывекторов.
5. Могут ли два различных базиса одной и той же системы содер-
жатьразноеколичествовекторов?
6. Чтоназываетсярангомсистемывекторов?
7. Чтоназываетсябазисомn-мерноговекторногопространства?
8. Сформулируйте теорему о разложении любого вектора
a
n-мерного векторного пространства по векторам базиса
1 2
, , ,
n
a a a
иединственноститакогоразложения.
9. Что называется координатами вектора
a
в данном базисе
1 2
, , ,
n
a a a
?
10. Какие две системы n-мерных векторов
1 2
, , ,
m
a a a
и
1 2
, , ,
e
b b b
называютсяэквивалентными?
11. Совпадаютлирангиэквивалентныхсистемвекторов?
12. Какиепреобразования системывекторов называютсяэквивалент-
ными?
13. Запомнитеследующиепреобразованиясистемывекторов,которые
являютсяэквивалентными:
148
а)изменениенумерациивекторов;
б)удалениенулевоговектора;
в)удалениелинейнойкомбинациивекторов;
г)умножениепроизвольноговекторасистемыначисло
0
;
д)прибавлениекодномуизвекторовсистемылинейнойкомбина-
цииостальныхвекторовсистемы.
14. Какаясистема n векторов
1 2
, , ,
n
a a a
n-мерногоевклидова про-
странстваназываетсяортогональной?
15. Образуетлиортогональнаясистемаизnвекторовбазисn-мерного
пространства?
16. Сформулируйтеопределение ортогональногоиортонормирован-
ногобазисаевклидовогопространства.
Тренировочноезадание2
1. Составьте линейную комбинацию векторов
1
a
(3; 1; 0; 2),
2
a
(4;0;2;3),
3
a
(0;1;0;2),
4
a
(10;1;2;5)скоэффициентами
1 2 3 4
2, 1, 1, 4.
Являются ли векторы системы
1 2 3 4
, , ,
a a a a
линейнозависимыми?
2. Являютсялиследующиесистемывекторовлинейнозависимымии
почему?
а)
1
1; 2; 3; 0 ,
a
2
0; 0; 0; 0 ,
a
3
1;5;8;7 ,
a
4
1; 1; 1; 1
a
?
б)
1
a
(2;1;3;4),
2
a
(-4;-2;-6;-8),
3
a
(5;1;7;2)?
в)
1
1; 2; 3; 4 ,
a
2
1; 1; 0;1 ,
a
3
2;3; 3; 5 ,
a
4
10; 11; 31; 25
a
?
г)
1
a
(1;2;-3;-4),
2
a
(0;1;3;-5),
3
a
(0;0;4;7)?
д)
1
a
(1;0;0),
2
a
(0;1;0),
3
a
(0;0;1)?
3. Дана система векторов
1
a
(1; 0),
2
a
(1; 2) двумерного про-
странства.Разложитевектор
a
(3;4)повекторам
1
a
и
2
a
.
4. Приведите пример ортогонального базиса двумерного евклидова
пространства.
149
5. Докажите, чтовекторы
1
a
(1;2;5),
2
a
(0;3;5),
3
a
(0;1;2)
являютсялинейнонезависимыми.
Решениетренировочногозадания2
1. Линейнойкомбинациейвекторов
1 2
, , ,
m
a a a
скоэффициентами
комбинации
1 2
, , ,
m
называется вектор
1 1 2 2
m m
a a a a
.Внашемслучае
1 2 3 4
2 1 1 1
a a a a a
2 3;1; 0;2 4; 0; 2;3 – 0;1;0; 2
– 10;1; 2;5 0;0;0;0 .
0
Векторы
1 2 3 4
, , ,
a a a a
являютсялинейно
зависимыми,таккаксуществуетненулеваялинейнаякомбинация
этихвекторов,равнаянулевомувектору.
2. а)да,таккаксистема
1 2 3
, ,
a a a
содержитнулевойвектор;
б)да,таккаквекторы
1
a
и
2
a
коллинеарны:
2 1
2
a a
,значит,
система векторов
1 2 3
, ,
a a a
содержит линейно зависимую под-
систему
1 2
,
a a
;
в) да, так как
3 1 2
a a a
, то
3 1 2 4
0
a a a a
, вектор
3
a
ли-
нейновыражаетсячерезостальные;
г)нет,даннаясистемавекторов линейнонезависима,таккакяв-
ляетсядиагональной;
д) нет, так как данная система векторов является системой еди-
ничных векторов трехмерного пространства и поэтому линейно
независима.
3. Разложить вектор
a
повекторам
1
a
и
2
a
означаетнайти такие
числа
1
и
2
,длякоторых
1 1 2 2
a a a
.Подставляявместо
1
a
,
2
a
и
3
a
данныевекторы,получим:
1 2
1; 0 1; 2 3; 4
или
1 2 1 2
; 0 2 3; 4 .
Изусловияравенствавекторовполучим
1 2
1 2
3,
0 2 4,
тогда
2 1
2, 1.
Ответ:
1 2
2
a a a
.
150
4. Пусть
1
a
= (2; 0);
2
a
= (0; 3). Так как скалярное произведение
1 2
2;0 0; 3 2 0 0 3 0
a a
, то векторы
1
a
и
2
a
ортого-
нальныипоэтомуявляютсябазисомдвумерногопространства.
5. Предположим,чтовекторывекторов
1
a
,
2
a
,
3
a
линейнозависи-
мые,т.е.существуюттакиечисла
1 2 3
, ,
,невсеравныенулю,
что
1 1 2 2 3 3
a a a 0
. Тогда
1 2 3
1;3;5 0;3;5 0;1; 2 0;0;0
или
1 2 3 1 2 3 1 2 3
0· 0· ; 3 3 ; 5 5 2 0;0;0 .
Из ус-
ловияравенствавекторовполучим
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0 0 0 ,
3 3 0 ,
5 5 2 0 ,
откуда
1
0
–изпервогоуравнения,адвадругихпримутвид
2 3
2 3
3 0 ,
5 2 0 .
Решимэтусистемуметодомподстановки:
3 2
2 2
3 ,
5 2( 3 ) 0 ;
3 2
2
3 ,
0 ,
3
2
0 ,
0 .
Так как получили, что
1 2 3
0,
то векторы
1
a
,
2
a
,
3
a
линейнонезависимы.
3.Матрицыиопределители
3.1.Матрицыиоперациинадними
1.Чтоназываетсяматрицейразмеровmхn?
2.Чтоназываетсяэлементамиматрицы?
3.Какобозначаетсяэлемент,стоящийвi-ойстрокеиj-мстолбцема-
рицыА?