Дымков М.П., Шилкина Е.И. Высшая математика: Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Подождите немного. Документ загружается.
111
вается дифференцированием и осуществляется по некоторым фор-
мальным правилам, известным из курса математики средней школы.
Напомним эти правила.
Теорема 8.2. Производная постоянной равна нулю: т.е. если
y C
, то
0
y C
.
Теорема 8.3. Если функции
( )
u f x
и
( )
v g x
имеют производ-
ные в точке
x
, то в этой точке имеют производные сумма, разность,
произведение и частное этих функций (частное при условии, что
( ) 0
g x
), причем :
1)
( )u v u v
производная суммы (разности) равна сумме
(разности) производных;
2)
( )uv u v uv
производная произведения равна произве-
дению производной первого сомножителя на второй плюс произведе-
ние первого сомножителя на производную второго сомножителя;
3)
'
2
u u v uv
v
v
производная частного равна дроби, знаме-
нателем которого является квадрат знаменателя, а числителем служит
разность между произведением производной числителя на знамена-
тель и произведением числителя на производную знаменателя.
Следствие:
( )cu c u
постоянный множитель выносится за
знак производной;
4)
( ... ) ... ... ...
uv w u v w uv w uv w
Теорема 8.4. (производная сложной функции ). Если функция
( )
y g x
имеет производную в точке
0
x
, а функция
( )
z f y
имеет
производную в точке
0 0
( )
y g x
, то сложная функция
( ) ( ( ))
z F x f g x
имеет производную в точке
0
x
и
0 0 0
( ) ( ) ( ).
F x f y g x
Теорема 8.5. (производная обратной функции). Пусть функция
( )
y f x
в некоторой окрестности точки
0
x
является строго моно-
тонной, непрерывной и существует производная
0
( )
f x
, причем
112
0
( ) 0
f x
. Тогда существует обратная функция
1
( ) ( )
x f y g y
,
определенная в некоторой окрестности точки
0 0
( )
y f x
, строго мо-
нотонная, непрерывная и обратная функция имеет производную
0
0
1
( )
( )
g y
f x
(8.8)
8.1.6. Таблица производных основных элементарных функций.
Вычислим теперь производные основных элементарных функций.
1)
, (
y C C
постоянная).
Поскольку
0 0
( ) ( ) 0,
y f x x f x C C
то
0
lim 0
x
y
x
.
Поэтому
0
C
.
2)
y x
Так как
( ) ( ) ,
y f x x f x x x x x
то
0
lim
x
y
x
0
lim 1
x
x
x
.
Поэтому
1
y x
.
3)
log , 0, 0, 1.
a
y x x a a
Поскольку
( ) ( )
y f x x f x
log ( )
a
x x
log
a
x
log
a
x x
x
log 1
a
x
x
,
то
0
lim
x
y
x
0
log (1 )
lim
a
x
x
x
x
0
lim
x
1
log 1
x
a
x
x
=
log
a
0
lim
x
1
1
x
x x
x
x
=
1
log
x
a
e
1
x
1
log
ln
a
e
x a
.
Значит,
(log )
a
y x
1
ln
x a
.
4)
ln
y x
.
Тогда из предыдущего пункта получаем, что
1 1
ln
y
x e x
.
113
Во многих случаях удобно использовать метод
логарифмического дифференцирования, согласно которому
(ln )
y y y
(8.9)
Действительно, пусть
( )
y f x
некоторая функция. Если
0,
y
то
ln ln
y y
и
(ln )
y
y
y
. Если
0
y
, то
ln ln( )
y y
и тогда
1
(ln( )) ( ) .
y y
y y
y y y
Отсюда получаем, что при
0
y
спра-
ведлива формула (8.9). Выражение
y
y
называется логарифмической
производной функции
( ), 0.
y f x y
5)
, 0, , ( ).
y x R x D y
Поскольку
, ln ln ,
y x y x
то
ln ln ,
y x
x
тогда из (8.9) следует, что
1
y x x
x
. Итак,
1
( )
x x
.
В частности, при
1
2
и
1
имеем:
2
1 1 1
, .
2
x
x
x
x
6)
, 0, 1, .
x
y a a a x R
Так как
ln ln ln ,
x
y a x a
то
(ln ) ( ln ) ln .
y x a a
Тогда из (8.9) получаем, что
ln .
x x
y a a a
В частности, при
a e
имеем
x x
y e e
.
7)
sin .
y x
Поскольку
sin( ) sin 2 sin cos( )
2 2
x x
y x x x x
, то
114
0
lim
x
y
x
0
2sin cos
2 2
lim
x
x x
x
x
0
sin
2
lim
2
x
x
x
0
lim cos cos
2
x
x
x x
.
Значит,
(sin ) cos .
x x
8)
cos
y x
.
Так как
cos sin( ),
2
x x
то применяя правило нахождения
производной сложной функции, получаем:
(cos ) (sin( ))
2
x x
=
cos( )( )
2 2
x x
cos( )( 1) sin .
2
x x
Итак,
(cos ) sin .
x x
9)
tg .
y x
Так как
sin
tg
cos
x
x
x
, то применяя правило нахождения произ-
водной частного, получаем:
2
(sin ) cos sin (cos )
(tg )
(cos )
x x x x
x
x
2
2
cos sin ( sin )
cos
x x x
x
2 2
2
cos sin
cos
x x
x
2
1
.
cos
x
Итак,
(tg )
x
2
1
cos
x
.
10)
ctg .
y x
Аналогично предыдущему, получаем, что
(ctg )
x
2
1
sin
x
.
115
11)
arcsin , ( 1,1), ( , ).
2 2
y x x y
В этом случае можно применить правило нахождения производ-
ной обратной функции:
sin ,
x y
2 2
1 1 1 1
cos
1 sin 1
x
y
y
x y
y x
.
Значит,
2
1
(arcsin )
1
x
x
.
12)
arccos , ( 1,1), (0, ).
y x x y
Поскольку
arcsin arccos ,
2
x x
то
2
1
(arccos ) ( arcsin ) 0
2
1
x x
x
=
2
1
1
x
.
13)
arctg , ( , ), ( , ).
2 2
y x x y
Так как
tg
x y
, то
2 2
2
1 1 1 1 1
1
(tg )
1 tg 1
cos
x
x
y y
y x
y
.
Значит,
2
1
(arctg ) .
1
x
x
14)
arcctg , ( , ), (0, ).
y x x y
Так как
arctg arcctg ,
2
x x
то
2
1
(arcctg ) ( arctg ) 0
2
1
x x
x
=
2
1
1
x
.
116
Запишем таблицу производных основных элементарных функ-
ций, учитывая правило дифференцирования сложной функции:
1.
,
y c const
0.
y
2.
,
y x
1.
y
3.
,
y u
.
y u
4.
( ),
y u const
1
.
y u u
5.
y u
,
2
u
y
u
.
6.
1
y
u
,
2
u
y
u
.
7.
( 0, 1),
u
y a a a
ln .
u
y a a u
8.
,
u
y e
.
u
y e u
9.
log ,
a
y u
.
ln
u
y
u a
10.
ln ,
y u
.
u
y
u
11.
sin ,
y u
cos
y u u
12.
cos ,
y u
sin .
y u u
13.
tg ,
y u
2
cos
u
y
u
.
14.
ctg ,
y u
2
.
sin
u
y
u
15.
arcsin ,
y u
2
1
u
y
u
.
16.
arccos ,
y u
2
1
u
y
u
17.
arctg ,
y u
2
1 .
u
y
u
18.
arctg ,
y u
2
1 .
u
y
u
117
8.1.7. Производная степенно-показательной функции.
Пусть функции
( )
u x
и
( )
v x
имеют производные в некоторой
точке
x X
, причем на
X
определена функция
( )
( )
v x
y u x
, где
( ) 0
u x
. Тогда функция
y
имеет производную в точке
x
, причем ее
можно найти с помощью логарифмического дифференцирования
(8.9): так как
( )
( ) ( ( ))
v x
y f x u x
(
( ) 0
u x
),
то
ln ln
y
( )
( ( )) ( ) ln( ( ))
v x
u x v x u x
.
Тогда
( ) ( )
ln ( ) ln( ( )) .
( )
v x u x
y v x u x
u x
Учитывая, что
ln
y
=
y
y
, получаем окончательно
( )
( ( ))
v x
y u x
( ) ( )
( ) ln( ( )) .
( )
v x u x
v x u x
u x
(8.10)
Формулу (8.10) не следует заучивать, надо запомнить прием, ис-
пользованный при выводе этой формулы.
8.1.8. Примеры вычисления производных.
Приведем несколько характерных примеров вычисления произ-
водных.
Пример 8.5. Найти производные следующих функций:
1)
2 2
2 2
arcsin
a x
y
a x
; 2)
1
arctg
1
x
y
x
;
3)
ln( )
mx mx
y e e
; 4)
2
2
1
ln
1
x x
y
x x
;
5)
5
2
7
3
3
4
( 1)
( 2) ( 4)
x
y
x x
; 6)
1
x
y
x
.
118
Решение.
1)
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
2 ( ) 2 ( )
( )
( )
(arcsin )
( ) ( )
1 ( )
( )
x a x x a x
a x
a x
a x
a x
a x
a x a x a x
a x a x
2
2 2
2 2 2 2
4 2
.
( ) 4
a x a
a x
a x a x
2)
2
2
1
1
1
(1 ) (1 )
1
2
1
1
(1 )
1
( arctg )
1
1
1 1 1
1
1
2
1
1
1 1
1
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x x x
x
x
x x
x
=
2
1 1
1
2 1
2(1 )
1
x
x
x
x
;
( ) ( ) ( )
3) (ln( ))
( ) )
( ) ( )
.
mx mx mx mx
mx mx
mx mx mx mx
mx mx
mx mx mx mx
mx mx mx mx mx mx
e e e e
e e
e e e e
e mx e mx
e m e m m e e
e e e e e e
4) Здесь, предварительно упростим выражение для
y
, а затем бу-
дем его дифференцировать. Имеем:
2
2
1
ln
1
x x
y
x x
2 2
2 2
( 1 )
ln
( 1 )( 1 )
x x
x x x x
2 2
2 2
( 1 )
ln
1
x x
x x
2
2ln( 1 )
x x
.
Теперь дифференцируем:
2
2 ln( 1 )
y x x
=
2
2
2( 1 )
1
x x
x x
119
2
2
2
2 2
2
1
2 1
2
2 1
1
1 1
x
x x
x
x
x x x x
2
2
1
x
.
5) Вначале найдем логарифм от функции
y
:
5 3 7
ln ln( 1) ln( 2) ln( 4).
2 4 3
y x x x
Дифференцируя это равенство, находим:
5 1 3 1 7 1
.
2 1 4 2 3 4
y
y x x x
Тогда
5 3 7
2( 1) 4( 2) 3( 4)
y y
x x x
5
2
7
3
34
( 1) 5 3 7
2( 1) 4( 2) 3( 4)
( 2) ( 4)
x
x x x
x x
=
5
2
7
3
3
4
( 1)
( 2) ( 4)
x
x x
2 2 2
30( 6 8) 9( 5 4) 28( 3 2)
12( 1)( 2)( 4)
x x x x x x
x x x
3
2
2
10
7
34
(7 51 148)( 1)
12( 2) ( 4)
x x x
x x
.
6.
1
x
y
x
.
Вначале найдем логарифм от функции
y
:
1 1 1 ln
ln ln ln
x
y x
x x x x
. Дифференцируя это равенство,
получим:
2
(ln ) ln ( )
y x x x x
y
x
или
2
1
ln
x x
x
y y
x
.
Отсюда:
2
1 ln 1
.
x
x
y
x
x
120
Наибольшие затруднения встречаются при дифференцировании
сложной функции, поэтому следует запомнить, что дифференцирова-
ние производится в порядке, обратном тому, который существует при
вычислении частного значения функции
y
для определенного значе-
ния аргумента
x
.
Пример 8.6. Найти производную функции
2
sin 5 .
y x
Решение. Для вычисления
y
аргумент
x
: 1) умножается на 5;
2) отыскивается синус; 3) результат возводится во вторую сте-
пень. Следовательно, дифференцирование производится в обратном
порядке, т.е. сначала дифференцируем степень, затем синус и, нако-
нец, произведение на постоянную :
2(sin 5 )(sin 5 ) 2sin 5 cos 5 (5 ) 2sin 5 cos5 5 5sin1
0
y x x x x x x x x
.
Пример 8.7. Продифференцировать функцию
3 2
ln tg( 1)
y x
.
Решение. Замечаем, что при вычислении частного значения
функции
y
при фиксированном
x
последним действием является
возведение в степень, причем, аргумент этого действия – логарифм.
Значит, производную степени надо будет умножить на производную
аргумента:
2 2 2
3ln tg( 1)(ln tg( 1))
y x x
.
Теперь дифференцируем логарифм, его аргументом служит
2
tg( 1)
x
:
2 2 2
2
1
3ln tg( 1) (tg( 1))
tg( 1)
y x x
x
.
Далее дифференцируем тангенс, аргумент которого есть
2
( 1)
x
:
2 2 2
2 2 2
1 1
3ln tg( 1) ( 1)
tg( 1) cos ( 1)
y x x
x x
.
Окончательно получим, что
2 2
2 2 2
1 1
3ln tg( 1) 2
tg( 1) cos ( 1)
y x x
x x
.