Дымков М.П., Шилкина Е.И. Высшая математика: Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Подождите немного. Документ загружается.



151

4.Какаяматрицаназываетсяквадратной?

5.Чтоназываетсяпорядкомквадратнойматрицы?

6.Какаяматрицаназываетсянулевой;единичной;диагональной?

7.Какиематрицыназываютсяравными?

8.Приведитепримерматричнойзаписиэкономическихданных.

9.Чтоназываетсясуммойдвухматриц?

10.Можнолискладыватьматрицыразныхразмеров?

11.ЧтоназываетсяпроизведениемчислаαнаматрицуА?

12.КакаяматрицаназываетсяпротивоположнойматрицеА?

13.Чтоназываетсяразностьюдвухматриц?

14.Операциисложенияматрициумноженияматрицыначислоназы-

ваютлинейнымиоперациями.Запомнитесвойстваэтихопераций:











1) ; 2) ; 3) ;

А + В = В + А А + В + С = А + В + С А + О = А











     

4) ; 5) ; 

6)  .

      

     

       

   

А В А В А А А

А А А

15.ВкакомслучаематрицуАможноумножитьнаматрицуВ?

16.ЧтоназываетсяпроизведениемматрицыАнаматрицуВ?

17.КаковыдолжныбытьразмерыматрицА,ВиС,чтобысущество-

валопроизведение(АВ)С?

18.ВкакомслучаесуществуютпроизведенияАВиВА?

19.ВозможнолиравенствоАВ=0,гдеАиВ–ненулевыематрицы?

20.Каковысвойстваумноженияматриц?

21. ВкакомслучаесуществуетпроизведениеАА?

22.Что называется целой положительной степенью квадратной мат-

рицыА?

23.ЧтоназываетсянулевойстепеньюквадратнойматрицыА?

24.ЧтоназываетсяпервойстепеньюквадратнойматрицыА?

25.Какаяматрицаназываетсятранспонированнойкданной?

26.Запомнитесвойстваоперациитранспонирования:





     

1) = ; 2)  ;  3) ;  4) ,

 



  

     

    

А А А А А В А В АВ В А

еслиАВсуществует.

27.ЧтоназываетсярангомматрицыА?

28.Какаяматрицаназываетсяортогональной?



152

Тренировочноезадание3.1



1. Даныматрицы: 

3 1

0 2 ,

4 5

 

 



 

 

1 2 1

1 0 2

 



 



 



2 3

5 8 ,

1 3



 

 



 

 



3 5

1 2 .

1 4

 

 

 

 



 



МожнолисложитьматрицуА:сматрицейВ;сматрицей С?

Найти:А+С;2А–3С+D.

2. НайтиматрицуХ,если:

4 1 1 0

3 2

3 4 2 4

 

   

 

   



   

.

3. Цехделаеттрансформаторыдвухвидов.Наодинтрансформатор

первого вида нужно 5 кг железа и 3 кг проволоки; а на один

трансформатор второговида– 3 кг железа и2кг проволоки. От

реализацииодноготрансформаторацехполучаетприбыль6$и5

$соответственно.Цехрасполагает4,8тжелезаи3тпроволоки.

Скольковидовпродукциипроизводитцех?Скольковидовресур-

сов используется? Составьте матрицу норм расхода, векторы

удельнойприбылиизапасовресурсов.Определите,допустимыли

планы

500 600

600 600

   

   

   

.

4. Даныматрицы:

1 2 4 1

1 0 2

, 5 6 7 , 2

3 9 5

0 3 1 3



   



 

   

  

 

   



 

   



   

A B C

.

НайтитеизпроизведенийАВ,ВА,АС,СА,СВ,ВС,которыесу-

ществуют.

5. Известночто

5 9 5 1

x mxn x

 

A B C

.Найтиm иn.

6. Показать,чтоматрица

2 1

3 1



 



 

 

являетсякорнем многочлена

( ) 3 5

f x x x

  

.

7. Найтиматрицу,транспонированнуюкматрице

1 2

3 4

5 6

 

 



 

 

.



153

Решениетренировочногозадания3.1



1.МатрицуАнельзясложитьсматрицейВ,таккакматрицаАимеет

размеры3х2;матрицаВ–размеры2х3,аскладыватьможнотоль-

коматрицыодинаковыхразмеров.МатрицыАиСимеютодина-

ковыеразмеры,следовательно,ихможноскладывать.

Таккакприсложенииматрицскладываютсясоответствующие

элементы,то

3 2 1 3 1 4

0 5 2 8 5 10

4 1 5 3 5 8

 

   

   

    

   

 

   

A C

.

Длянахожденияматрицы2АкаждыйэлементматрицыАум-

ножимначисло2:

2 3 2 1 6 2

2 2 0 2 2 0 4

2 4 2 5 8 10

 

   

   

   

   

 

   

.



 Аналогичнонайдем

6 9

3 15 24

3 9



 

 

   

 

 

 

.

 Тогда

6 2 6 9 3 5 15 2

2 3 0 4 15 24 1 2 16 18

8 10 3 9 1 4 6 3

 

       

       

          

       

   

       

A C D

.



2.Имеем

1 0 4 1

3 2

2 4 3 4

 

   

 

   



   

;

2 0 4 1

4 8 3 4

 

   

 

   



   

;



6 1

1 12



 



 



 

;

6 1

1 12



 

 

 



 

;

2 1 / 3

1/ 3 4



 



 



 

.



154

3. Данный цех производит



 вида продукции (число столбцов

матрицынормрасхода).Используется



видаресурсов(чис-

ло строк матрицы норм расхода). Матрица





А

 составлен-

наяизнормрасхода,называетсяматрицейнормрасходаилитех-

нологической матрицей. В нашем случае

1, 2 , 1, 2

i j 

, тогда

5 3

3 2

 



 

 

.Векторудельнойприбыли





6; 5

C

(вектор-строка);

векторзапасовресурсов

4800

3000

 



 

 

(вектор-столбец).Чтобыоп-

ределить,допустимлиплан производства

 



 

 

, надопод-

считатьрасходресурсовнаэтотпланАХисравнитьсвектором

запасовВ.Посколькудля

500

600

 



 

 



5 3 500 2500 1800 4300 4800

3 2 600 1500 1200 2700 3000



         

   

         



         

,

топлан

500

600

 



 

 

являетсядопустимым.

 Для

600

 



 

 

имеем,что

  

5 3 600 4800 4800

3 2 600 3000 3000

       

  

       

       

.



155

 Таким образом, оба плана допустимы, а на плане производства

600

 



 

 

обаресурсаисчерпаныполностью.



4.ТаккакчислостолбцовматрицыАравночислустрокматрицыВ,

то произведение АВ существует. Используя определение произ-

веденияматриц,находим:



1 ( 1) 0 5 ( 2) 0 1 2 0 6 ( 2) 3 1 4 0 7 ( 2)( 1)

3 ( 1) 9 5 ( 5) 0 3 2 9 6 ( 5) 3 3 4 9 7 ( 5)( 1)

1 0 0 2 0 6 4 0 2 1 4 6

3 45 0 6 54 15 21 63 5 42 45 89

                  

 

 

 

                  

 

        

   

 

   

      

   



  ТаккакчислостолбцовматрицыВнеравночислустрокмат-

рицыА(3



2),топроизведениеВАнесуществует.

  ТаккакчислостолбцовматрицыАравночислустрокматрицы

С,топроизведениеАС существует. Используя определение

произведенияматриц,находим

1 1 0 2 ( 2) 3 5

3 1 9 2 ( 5) 3 6

      

   

 

   

     

   

.

  Число столбцов матрицы С не равно числу строк матрицы А



2), значит, произведение СА не существует. По той же при-

чине

(1 3)



не существует произведение СВ. Произведение ВС

существует,таккакчислостолбцовматрицыВравночислустрок

матрицыС.

1 1 2 2 4 3 15

5 1 6 2 7 3 38

0 1 3 2 ( 1) 3 3

     

   

   

      

   

     

   

.



5. Так как произведение АВсуществует, если число столбцов мат-

рицыАравночислустрокматрицыВ,то 9=m,т.е.m=9.Таккак

по определению произведения матрицы

·

mхn nхр mхр

А В С

, то из

равенства

5 9 9 5 1

·

х хn х



А В С

заключаем,что



.





156

6.ПодставиввданныймногочленвместохматрицуА,получим

2 1 2 1 1 0

( ) 3 5 3 5

3 1 3 1 0 1

2 1 2 1 3 2 3 ( 1) 5 0

3 1 3 1 3 3 3 1 0 5

2 2 ( 1) 3 2 ( 1) ( 1) 1 6 3 5 0

3 2 1 3 3 ( 1) 1 1 9 3 0 5

1 3 6 3

9 2 9

 

     

      

     

     

    

       

   

       

 

       

         

     

   

     

      

     

 

 

 

 

  

 

A A A E

5 0 0 0

3 0 5 0 0

     

 

     

     



7.Поопределениюматрицы,транспонированнойкданной,имеем

1 3 5

2 4 6

 





 

 



3.2.Определителииихсвойства



1. Чтоназываетсяопределителемматрицывторогопорядка?

2.Запишитеформулыдлянахождениярешениясистемыдвухлиней-

ных уравнений с двумя неизвестными через определители (фор-

мулыКрамера).

4. Запомните правило треугольника для вычисления определителя

третьегопорядка.

4.Чтоназываетсяопределителемматрицыn-гопорядка(черезразло-

жениепострокеилистолбцу).

5.Запомнитесвойстваопределителейn-гопорядка:

1) определитель не изменяется при транспонировании его матри-

цы; поэтому свойства, сформулированные для строк определи-

теля,остаютсясправедливымиидляегостолбцов;

2) приперестановке двух строкопределительменяетзнакна про-

тивоположный;

3)еслиопределительсодержитдвеодинаковыестроки,тоонравен

нулю;

4)общиймножитель элементовлюбойстрокиможновыноситьза

знакопределителя; 



157

5)суммапроизведенийэлементовкакой-либострокиопределителя

наалгебраическиедополнениясоответствующихэлементовдру-

гойстрокиравнанулю;

6) если каждый элемент некоторой строки представляет собой

сумму двух слагаемых, то определитель можно представить в

видесуммы двух определителей, вкаждомизкоторых все эле-

менты те же, что и в исходном определителе, за исключением

элементовуказаннойстроки,котораявпервомопределителесо-

стоитизпервыхслагаемых,вовтором–извторых;

7)определительнеизменится,есликэлементамнекоторойстроки

прибавитьсоответствующиеэлементыдругойстроки,умножен-

ныенаодноитожечисло;

8) если в определителе элементы каких-либо строк пропорцио-

нальны,тоонравеннулю;

9)еслиопределительсодержитнулевуюстроку,тоонравеннулю.



Тренировочноезадание3.2



1. Вычислитьопределители:

а) ∆

=

1 2

5 8



,б)∆

=

1 2 3

4 5 6

7 8 9

,в)∆

=

4 99 83 1

0 8 16 0

60 17 134 20

15 43 106 5

.

2. Вычислитьопределители,используясвойстваопределителей:



а)∆

=

0 0

a b

,б)∆

=

c d

kc kd

,

в)∆

=

1 1 0 8

13 1 0 7

0 17 0 24

7 4 0 3



 

,г)∆

=

1 2 3

4 5 8

5 3 5



.



3.  Пусть А – квадратная матрица четвертого порядка и  dеt А = 2.

Найтиdеt (3А).



158

5. Вычислитьопределитель

∆=

2 1 3

1 1 1

0 0 5





разложениемпоэлементам:а)первойстроки;б)второгостолбца;

в)третьейстроки.





Решениетренировочногозадания3.2



1.а)Таккакопределительвторогопорядкаравенпроизведениюэле-

ментовглавнойдиагоналиминуспроизведениеэлементовпобоч-

нойдиагонали,то

∆

=

1 2

5 8



=1·(-8)–5·2=–8–10=–18.



б)Используяправилотреугольника:





получим∆

=

1 2 3

4 5 6

7 8 9



1·5·9 4·8·3 2·6·7 – 7·5·3 – 4·2·9 –8·6·1=

45 96 84 –105 – 72 – 48 0;

  

   





в)∆

=

4 99 83 1

0 8 16 0

60 17 134 20

15 43 106 5

 

  



отпервогостолбца

вычтем утроенный

четвертый столбец

 

 

 

1 99 83 1

0 8 16 0

0 17 134 20

0 43 106 5

=

=

 

разложим определитель

по первому столбцу

 

 

 

=

 

1 1

8 16 0

1· 1 17 134 20

43 106 5



 

=



159

=

   

 8

 

вынесем за знак определителя

общий множитель

элементов первой строки

 

 

 

=

1 2 0

8·17 134 20

43 106 5

=

=



  

, 5

выносим

за знак определителя

множитель равный

 

 

 

=

1 2 0

8·5 17 134 4

43 106 1



=

=

  



из второго столбца

вычитаем

удвоенный первый

 

 

 

=

1 0 0

40·17 100 4

43 20 1

=

=

 



разлагаем определитель

по элементам

первой строки

 

 

 

=

1 1

100 4

40· 1 ( 1)

20 1



 

 

 

 

=

=





40· 100·1 – 20·4







40· 100 – 80 40·20 800.

  



2. а)Таккакопределитель



содержитнулевуюстроку,тоонравен

нулю;

б)таккакстрокиопределителя



пропорциональны,тоонравеннулю;

в) так как определитель



содержит нулевой столбец, то он равен

нулю;

г)таккакэлементытретьейстрокиопределителя



равнысуммесо-

ответствующих элементов первой и второй строки, то определи-

тельравеннулю.

3. ТаккакприумноженииматрицыАна3каждыйэлементматрицы

Аумножаетсяна3,товкаждойизчетырехстрокматрицыАпо-

являетсяобщий множитель3, поэтому за знакопределителявы-

несется множитель

3 81



. Значит,

det(3 ) 3





det 81 2 162

  

.

4. а)Применивтеоремуоразложенииопределителякпервойстро-

ке,получим



160



1 1 1 2 1 3

11 11 12 12 13 13

1 1 1 2 1 3

( 1) ( 1) ( 1)

1 1 1 1 1 1

( 2) ( 1) 1 ( 1) 3 ( 1)

0 5 0 5 0 0

2 (1 5 0 1) 1 (1 5 0 1) 3 (1 0 1 0) 10 5 15;

a M a M a M

  

       

           

                    



б)применивтеоремуоразложенииопределителяковторомустолб-

цу,получим



1 2 2 2 3 2

12 12 22 22 32 32

1 2 2 2

( 1) ( 1) ( 1)

1 1 2 3

1 ( 1) 1 ( 1) 0

0 5 0 5

(1 5) ( 2 5 0 3) 5 10 15.

a M a M a M

  

 

       



       

            



в) применив теорему о разложении определителя к третьей строке,

получим



3 1 3 2 3 3

31 31 32 32 33 33

( 1) ( 1) ( 1)

2 1

0 0 5( 1) 5( 2 1) 15.

1 1

a M a M a M

  

       



        





4.Системылинейныхуравнений



1. Какаяквадратная матрицаназываетсяневырожденной(неособен-

ной)?

2. Какаяквадратнаяматрицаназываетсяобратнойкданнойквадрат-

нойматрицеА?

3. Какая матрица



 называется присоединенной (или союзной) к

даннойквадратнойматрицеА?

4. Запишитеформулудлянахожденияобратнойматрицы.

5. Какназываетсяединственностьобратнойматрицы?

6. Запомнитеследующиесвойстваобратныхматриц: