Дымков М.П., Шилкина Е.И. Высшая математика: Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Подождите немного. Документ загружается.



161

а)

det





;б)





A A





;в)

 

A A







;

г)









A A





;д)

 

1 1

AB B A



 



.

7. Какаясистемауравненийназываетсялинейной?

8. Чтоназываетсярешениемсистемыmлинейныхуравненийсnне-

известными?

9. Что называется матрицей системы и расширенной матрицей сис-

темыmлинейныхуравненийсnпеременными?

10. Какзаписываетсясистемаmлинейныхуравненийсnпеременны-

мивматричномвиде?

11. Вкакомслучаесистеманазываетсясовместной(разрешимой)?

12. В каком случае система называется несовместной (неразреши-

мой)?

13. Какаясистемауравненийназываетсяопределенной?

14. Какаясистемауравненийназываетсянеопределенной?

15. Сколькорешенийимеетсистемаnлинейныхуравненийсnнеиз-

вестными,еслиопределительэтойсистемыотличенотнуля?

16. ЗапишитеформулыКрамера,выражающиеединственноерешение

определенной системычерезглавныйопределитель∆системыи

вспомогательныеопределители



,

i n



.

17. Какие две системы линейных уравнений называются эквивалент-

ными(равносильными)?

18. Чтоназываетсяэлементарнымипреобразованиямисистемы?

19. ЧтоназываетсяпрямымходомметодаГаусса?

20. ЧтоназываетсяобратнымходомметодаГаусса?

21. Каковомножестворешенийсистемы,еслипрямойходметодаГа-

усса приводит матрицу системы к треугольному виду и все эле-

ментыглавнойдиагоналиотличныотнуля?

22. Совместна или несовместна система, если расширенная матрица

системы после k-го шага прямого хода метода Гаусса содержит

строку,всеэлементыкоторой,кромепоследнего,равнынулю?

23. Какиенеизвестныеназываютсябазисными,акакиесвободными?

24. Какие решения системы линейных уравнений называются базис-

ными?



162

25. Дайте определение разрешающей неизвестной, разрешающего

элементаматрицы,разрешающейстрокииразрешающегостолб-

ца.

26. Сформулируйте правила преобразования коэффициентов и сво-

бодных членов системы при переходе к эквивалентной системе

(шаггауссоваисключения).



Тренировочноезадание4



1. Являютсяливзаимнообратнымиматрицы



1 1 1

0 1 1

0 0 1



 

 

 

 

 

,

1 1 0

0 1 1

0 0 1

 

 



 

 

.



2.Пусть

det 0



.Записатьформулу,покоторойнаходитсяматрица,

обратнаяматрице

11 12

21 22

a a

 



 

 

.



3. Выяснить, существует ли матрица, обратная матрице

1 2 4

2 1 7

3 4 2



 

 

 

 



 

,иеслисуществует,тонайтиееисделатьпроверку.

4.Предприятиевыпускаетпродукциютрехвидов:

1 2

П П

и

.Уро-

веньихвыпускалимитируетсяограниченностьюресурсов

1 2

Р Р



и

.Всечисловыеданныеприведенывтаблице:



Ресурсы



Запас

ресурса



Нормызатрат

наединицупродукции



 



105 3 2 2



65 1 2 1



100 4 1 2



163

Записатьвматематическойформеусловия,которымдолженудов-

летворятьпланвыпускапродукции,предполагаяполноеиспользо-

ваниересурсов.Решитьполученнуюсистемулинейныхуравнений

методомГаусса.



5.Исследоватьсистемыивслучаесовместностирешитьее:

а)

1 2 3

5 5 2,

2 3 2 1,

3 0.

х х х

   





  





  



б)

1 2 3 4

1 2 4

1 2 3 4

2 1,

5 3 2 0.

х х х х

х х х

х х х х

   





   





   





Решениетренировочногозадания4



1. Таккак



1 1 1 1 1 0

0 1 1 0 1 1

0 0 1 0 0 1

1 1 ( 1)0 1 0 1 1 ( 1)1 1 0 1 0 ( 1)1 1 1 1 0 0

0 1 1 0 ( 1)0 0 1 1 1 ( 1)0 0 0 1 1 ( 1)1 0 1 0

0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1



   

   

  

   

   

              

   

   

                 

   

              

   

АВ



иВА=Е(проверитьсамостоятельно),то,согласноопределению,

АиВвзаимно-обратныематрицы.

2. Таккак

11 21 1

12 22 2

1 2

det

n n n n

A A A



 

 



 

 



   



 , где

( 1) , , 1,

i j

i j i j

i j n



  A M

,

то для матрицы

11 12

11 22 21 12

21 22

а а

a a a a

а а

   

 (по условию),

1 1

11 11 22

( 1) ;



  A M



1 2

12 12 21

( 1) ;



   A M





2 1

21 21 12

( 1) ;



   A M



2 2

22 22 11

( 1) .



  A M





164

Такимобразом

22 12

21 11

11 22 21 12

a a

a a a a



 



 



 

.

3. Найдем

1 2 4

det 2 1 7 1 1 2 2( 4)4 ( 2)( 7)3

3 4 2

3 1 4 2( 2)2 ( 4)( 7)1 2 32 42 12 8 28 20 0,



          



                



значит, обратная матрица существует. Найдем алгебраические

дополнения

i j

кэлементам

i j

матрицы

.Таккак

1 1

1 7

( 1) 2 28 26;

4 2





     







1 2

2 7

( 1) (4 21) 25;

3 2





      



1 3

2 1

( 1) 8 3 11

3 4



      



;

2 1

2 4

( 1) ( 4 16) 12

4 2





       



;



2 2

1 4

( 1) 2 12 10

3 2



     

;



2 3

1 2

( 1) ( 4 6) 2

3 4





       



;



3 1

2 4

( 1) 14 4 10

1 7





    



;

3 2

1 4

( 1) ( 7 8) ( 15) 15

2 7



         



;



165

3 3

1 2

( 1) 1 4 5

2 1





    

,

то

26 12 10

25 10 15

11 2 5



 

 

 

   

 



 

 

 



26 12 10

20 20 20

1,3 0, 6 0,5

25 10 15

1, 25 0,5 0, 75

20 20 20

0,55 0,1 0, 25

11 2 5

20 20 20

 



 



 

 

   

 



 

 

 



 

 

.

Для проверки правильности вычислений убедимся в справедли-

востиравенств

1 1

А А АА Е

 

 

.Имеем:



1, 3 0,6 0,5 1 2 4

1, 25 0,5 0,75 2 1 7

0,55 0,1 0, 25 3 4 2

А А



 

   

   

   

   

 

   



1,3 1 0,6 2 0,5 3 1,3( 2) 0,6 1 0,5( 4) 1,3 4 0,6 7 0,5 2

1,25 1 0,5 2 0,75 3 1,25( 2) 0,5 1 0,75( 4) 1,25 4 0,5

7 0,75 2

0,55 1 0,1 2 0,25 3 0,55( 2) 0,1 1 0,25( 4) 0,55 4 0,1

7 0,25 2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

              

 

 

                

 

              

 



 .



 

 



Аналогичноубеждаемся,что

А А Е





.



4.Обозначимчерез

1 2 3

, ,

х х х

планируемыеквыпускуколичествапро-

дукции видов

1 2 3

, ,

П П П

 соответственно. Тогда первого ресурса

 будет израсходовано

1 2 3

3 2

х х х

 

 единиц, а раз, по условию,

ондолженбытьизрасходованполностью,тоимеетместоравенст-

во

1 2 3

3 2 2 105

х х х   . Аналогично, предполагая полное исполь-

зование ресурсов

 и

, имеем уравнения



166

1 2 3 1 2 3

2 65, 4 2 100.

х х х х х х      Итак,

1 2 3

, ,

х х х

,должныудов-

летворятьсистемеуравнений:

1 2 3

3 2 2 105,

2 65,

4 2 100.

х х х

  





  





  





Для решения полученной системы применяем метод Гаусса, для

чеговыпишемрасширеннуюматрицусистему,предварительнопе-

реставивпервоеивтороеуравнениесистемы:

1 2 1 65

3 2 2 105

4 1 2 100























Элемент

1 0

 

назовемразрешающим;вновой,преобразован-

ной матрице элементы вычисляем по правилу гауссова исключе-

ния:строкусразрешающимэлементомивышестоящиеоставляем

безизменения;подразрешающимэлементомставимнули;осталь-

ные элементы вычисляем по правилу прямоугольника: в новой

матрицевместоэлемента,скажем,105ставимразностьмеждупро-

изведением элементов главной диагонали 1·105 и произведением

элементовпобочнойдиагонали3·65:1·105–3·65=105–195=–90.

Тогдановаяматрицаимеетвид:

1 2 1 65

0 4 1 90

0 7 2 160

 

 

  

 

  

 

~

1 2 1 65

0 4 1 90

0 7 2 160

 

 

 

~

1 2 1 65

0 4 1 90 .

0 0 1 10

 

 

 



Последнейматрицесоответствуетсистема:

1 2 3

2 3

2 65,

4 90,

10,

х х х

х х

  





 











решаякоторую«снизувверх»,т.е.выполняяобратныйходметода

Гаусса,последовательнонаходим:



3 2 2 2 2

1 1

10, 4 10 90, 4 90 10, 4 80, 20;

2 20 10 65, 15.

х х х х х

х х

      

    





167

Таким образом, к выпуску следует запланировать 15 единиц про-

дукции

,20единицпродукции

и10единицпродукции

.

5. а) выписываем расширенную матрицу системы и подвергнем ее

преобразованиямпометодуГаусса:



1 5 5 2

2 3 2 1

3 1 1 0

 

 

 



 

 

~

1 5 5 2

0 7 8 5

0 14 16 6

 

 

 



 



 

~

1 5 5 2

0 7 8 5 .

0 0 0 28

 

 

 



 

 



Последней строке матрицы соответствует уравнение

1 2 3

0 0 0 28

х х х

     

, которое не выполняетсяни при каких зна-

чениях

1 2

х х

и

,поэтомуданнаясистеманеимеетрешений.

б)выписываемрасширеннуюматрицусистемыиподвергнемеепре-

образованиямпометодуГаусса:

1 1 1 2 1

1 1 0 2 1

1 5 3 2 5



 

 

  

 



 

1 1 1 2 1

0 2 1 0 2

0 4 2 0 4



 

 

  

 

 

1 1 1 2 1

0 2 1 0 2

0 0 0 0 0



 

 

  

 

 

.

Наличиенулевойстрокиозначает,чтотретьеуравнениеисходной

системы является следствием двух первых;по последнейматрице

имеемсистемууравнений:

1 2 3 4

2 3

2 1,

2 2;

х х х х

х х

   





   





чтобы записать множество решений этой системы, будем считать

переменныех

их

свободными,принимающимилюбыепро-

извольныезначениях

=С

,х

=С

,где

1 2

С С R



,тогдаос-

новные,илибазисные,переменныех

их

2

единственнымобразом

находятся через свободные:

2 1

2 2

х С

  

,

2 1

х С

  

,

1 1 1 2

1 2 1

х С С С

    

,

1 1 2

х С С

 

. Решением системы 5 б)

являетсянаборчисел:

1 2 1 1 2

1 1

2 ; 1; ;

2 2

С С С С С

 

  

 

 

,где

1 2

С R C R

 

.



168

5.Аналитическаягеометрия



5.1.Элементыаналитическойгеометриинаплоскости



1. Чтопонимаетсяподуравнениемпрямой?

2. Какими способами можно задать прямую на плоскости относи-

тельнодекартовойпрямоугольнойсистемыкоординат?

3. Запишитевекторноеуравнениепрямой;уравнениепрямой,прохо-

дящейчерезданнуюточку





0 0 0

, 

М х у

перпендикулярноданному

вектору





,  ;

А В

n

общееуравнениепрямой.

4. ЧтопонимаетсяподугломнаклонапрямойкосиОх?

5. Чтоназываетсяугловымкоэффициентомпрямой?

6. Чтоназываетсяуравнениемпрямойсугловымкоэффициентом?

7. Что называется уравнением прямой, проходящей через данную

точкувданномнаправлении(сданнымугловымкоэффициентом)?

8. Чтоназываетсяуравнениемпрямой,проходящейчерездведанные

точки





1 1 1 2 2 2 1 2

,  ( ,  ),  ?

М х у и М х у х х





9. Чтоназываетсяуравнениемпрямойвотрезках?

10. Чтоназываетсяугломмеждудвумяпрямыми?

11. Запишитеформулудлянахождениятангенсаугламеждупрямыми

сугловымикоэффициентамиk

иk

.

12. Запишитеусловияпараллельностииусловияперпендикулярности

двухпрямых.



Тренировочноезадание5.1



1.Точка





2, 2

делитотрезокАВвотношенииλ = 2/3.Найтикоор-

динатыточкиВ,еслиА(-2,4).

2.Составитьуравнениепрямой,проходящейчерезточкуМ(1,2):

а)перпендикулярноквектору





2, 3

n

;б)параллельновектору





1, 0 ;

S

в)подуглом







косиОх;г)иточкуN=(4,3).

3. Рассмотрим какой-нибудь товар. Пусть известны функция спроса





50 –

D р р



ифункцияпредложения





20 2

S р р

 

товарапри

даннойцене

заединицутовара.Найтиравновеснуюцену

.



169

4.Впространстведвухтоваровсданнымиценами(2,3) указатьгра-

фическимножестванаборов,которыестоят:а)ровно30ден.

ед;б)неболее60ден.ед;в)неменее30инеболее48ден.ед.

5. Найти длину высоты, проведенной из вершины А треугольника

АВС,если:А(4,-3),В(1,1),С(-3,-2). Сделатьчертеж.

6.Средипрямыхсуравнениями:

а)

6 – 4 – 3 0;

х у



б)

8 6 1 0;

х у

  

в)

4 – 6 5 0;

х у

 

г)

3 4

х у

 



указатьпараллельныеиперпендикулярные.





Решениетренировочногозадания5.1



1. Пусть





, 

В В

В х у

. Используя формулы деления отрезка АВ в

данномотношении

АС

СВ





,где



 

,

А В

х х









,

А В

у у











и подставляя вместо

















,  2, 2 ,  ,  2, 4

С С А А

х у х у  

, полу-

чимуравнениядлянахождениях

иу

:

2 2 / 3

1 2 / 3

 





,

4 2 / 3

1 2 / 3







,

откуда

2 5

2 2 ,

3 3

2 5

4 2 ,

3 3



   







  







или

2 10

3 3

2 10 1.

3 3



 









 

 





 







Ответ:точка





8;  1 .



2. При составлении уравнения прямой надо воспользоваться тем

видомуравненияпрямой,вкакойвходитвсяинформация,имею-

щаясяопрямой:



170

а)таккакизвестныточка





0 0 0

, 

М х у

, принадлежащаяпрямой

ивектор





,  ,

А В

n

перпендикулярныйпрямой,тонадоисполь-

зоватьуравнение









0 0

– – 0.

А х х В у у

 

Подставляявэто

уравнение  данные 





1, 2

  и





2, 3 ,

 

 получим













2 –1 + 3 – 2 0

х у

 

или

2 – 3 4 0;

х у

 



б)  так как координаты точки





0 0 0

,  ,

М х у

 через которую проходит

прямаяикоординатывектора





;  ,

m n

S

параллельногопрямой,

входятв уравнение

0 0

х х y y

m n

 



,тоимеем

1 2

1 0

х y

 



или









– 2 1  – 1 0,

у х

  

т.е.

– 2 0;





в)   так каккоординаты точки





0 0 0

, 

М х у

, через которую проходит

прямая,иугол φ,образованныйпрямойсосьюОх,фигурируютв

уравнении





0 0

– k – ,

у у х х



где

k tg





,топоскольку

tg tg tg 3

3 3 3

  



 

     

 

 

, то имеем

2 3( 1)

y x

   

 или

3 2 3 0

y x

   

;



г)  так как координаты точек





1 1

, 

М х у

и





2 2

, 

N х у

, через которые

проходит прямая, участвуют в уравнении

1 1

2 1 2 1

х х y y

х х у у

 



 

 , то

имеем

1 2

4 1 3 2

х y

 



 

 или

1 2

3 1

х y

 



, тогда









–1 1 – 2 3,

х у

  



–1 3 – 6

х у



иокончательнополучаем

– 3 5 0.

х у

 



3. Приданнойцене рзаединицутоварачисло





D р

едиництовара,

которые покупатели на рынкежелают купить, называется функ-

цией спроса на товар. Это убывающая функция аргумента р.

Функцией предложения товара





S р

 называется число единиц