Дымков М.П., Шилкина Е.И. Высшая математика: Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Подождите немного. Документ загружается.



171

товара,которыепредлагаютпродавцыдляпродажинарынкепри

даннойценер.Этовзрастающаяфункцияаргументар.Цена

,

прикоторойспросипредложениеравны,называетсяравновесной

ценой:

* *

( ) ( )

D p S p



. В некоторых границах верно допущение,

что функции спроса и предложения являются линейными функ-

циямиаргументар;тогда,длянахожденияравновеснойценысле-

дует решить уравнение

50 – 20 2

р р

 

 или

3 30, * 10

р p

 

 –

равновеснаяцена.



4. РассмотримдвумерноепространствотоваровХ(х

, х

);пустьвек-

торценесть





1 2

,  ,

Р р р

тогдастоимостьнаборатоваровХ есть





1 1 2 2

,  .

Р Х р х р х

 

НаборытовароводнойитойжестоимостиС

образуютчастьпрямойлиниисуравнением

1 1 2 2



р х р х С

 

,рас-

положеннойв1-омквадранте.Этапрямая перпендикулярна век-

торуцен.



а)





1 2 1 2

2 3 30,  ,   0,   0

х х I х х

   



Строим прямую (I) по точкам пересечения с осями координат:

при

1 2 2 1

0,  10; 0, 15

х х х х

   

. Вектор





10, 15 ,

ОР

 коллине-

арныйвекторуцен





2, 3

Р

указываетнаправлениевекторацен.

5

10

15

P(10,15)

0 5 10 15

2

1



172



б)ЕслификсированаденежнаясуммаQ(онаназываетсядоходом),то

множествовсехнаборовтоваров стоимостьюнеболееQназыва-

етсябюджетныммножествомиобозначается





,  .

В Р Q



В(Р,Q)





1 1 2 2 1 2

, 0, 0

р х р х Q x x    

. В нашем случае

бюджетноемножествозадаетсянеравенствами:





1 2 1 2

2 3 60 , 0, 0.

х х II х х

   



30 



20А



10



В

0102030Х



Строимпрямую(II)поточкампересечениясосямикоординат:

при

1 2 2 1

0,  20; 0, 30

х х х х

   

.

ОАВ

 

искомое бюджетное

множество.

в)дляэтогослучаяимеемсистемунеравенств:



1 2

2 3 48, ( )

2 3 30, ( )

х 0, х 0.

х х

х х V

  





  





 







16С



10В



D

0А1524Х



173

СтроимпрямуюIII:при

1 2

0,  16

х х

 

;при

2 1

0, 24.

х х  

СтроимпрямуюIV:при

1 2

0,  10;

х х  при

2 1

0, 15.

х х  

АВСD –искомоемножество.

5.

Y



1



В

-34

1Х



С



-2

-3



А



Найдем угловой коэффициент прямой ВС:

C B

y y

x x







,

2 1

3 1

 



 

,



. Угловой коэффициент высоты АН най-

демизусловияперпендикулярностипрямых:

AH BC

K K

  



1 4

3 / 4 3



  

.

СоставимуравнениепрямойАНспомощьюуравнения:

( );

А АН А

у у К х х

   

3 ( 4)

y x

   

,

3 9 4 16

y x

   

,

3 4 7 0

y x

  

. Найдем уравнение прямой ВС,

пользуясь уравнением прямой, проходящей через две данные

точки:

C C

B C B C

y y x x

 



 

или

2 3

1 2 1 3

y x

 



 

,

2 3

3 4

y x

 



,









4 2 3 3 , 4 – 3 –1 0.

у х у х

     

 Решая совместно систему

уравненийпрямыхАНи ВС,находимкоординатыточкиН:



3 4 7 0,

4 3 1 0,

y x

  





  





3 4 7, 3

4 3 1, 4

y x

  







  



9 12 21,

16 12 4,

y x

 





 





25 25, 1, 1.

у у х

  

ТочкаНсовпаласточкойВ,этобыло"за-

метно" из чертежа, но чертеж "подсказывает", а не доказывает.

НайдемдлинустороныАВпоформуле



174

2 2

( ) ( )

AB B A B A

d x x y y    ;

2 2

(1 4) (1 3)

    

9 16 25 5

  

.

Ответ:длинавысотыравна5.



5. Приведемуравненияпрямыхкуравнениюпрямойсугловымко-

эффициентому = kх + b.

Дляа)имеем

4 –6 3

у х

 

,

3 3

2 4

y x

  

,

3 / 2

k   ;

дляб)

6 –8 –1

у х



,

4 1

3 6

y x

  

,

 

;

дляв)

6 4 5,

у х

 



2 5

3 6

y x

 

,



;

дляг)

y x

 

,

 

.

Так как

2 4

k k



, то прямые б) и г) параллельны; так как

1 3

k k

 

,топрямыеа)ив)перпендикулярны.



5.2. Элементыаналитическойгеометриивпространстве



1. Какойвекторназываетсянормальнымвекторомплоскости?

2. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку





0 0 0 0

, ,

М х у z

перпендикулярноквектору





,  ,  .

А В С

n



3. Запишитеобщееуравнениеплоскости.

4. Какойуголназываетсяугломмеждуплоскостямисуравнениями

1 1 1 1

А х В у С z D

   

и

2 2 2 2

А х В у С z D

   



5. Каковаформуладлянахождениякосинусаугламеждуплоскостями?

6. Запишитеусловиеперпендикулярностииусловиепараллельности

плоскостей.

7. Какойвекторназываетсянаправляющимвекторомпрямой?

8. Какзаписываютсяпараметрическиеуравненияпрямой?

9. Какзаписываютсяобщиеуравненияпрямой?

10. Какзаписываютсяканоническиеуравненияпрямой?

11. Запишите определение и формулу для вычисления угла между

прямымивпространстве?



175

12. Запишитеусловиеперпендикулярностииусловиепараллельности

двухпрямых.

13. Какой угол называется углом между прямой L:

0 0

x x y y

l m

 

 

z z





иплоскостью

Ах Ву Сz D

   



14. Запишитеусловиеперпендикулярностипрямойиплоскостииус-

ловиепараллельностипрямойиплоскости.

15. Как найти точку пересечения  прямой

0 0

: , ,

L х х lt у у mt

    

z z nt

 

 и плоскости

: 0

Р Ах Ву Сz D

   

 предполагая, что

прямаяиплоскостьнепараллельны?

16. КакоемножествоточекназываетсягиперплоскостьюпространстваR

?

17. Запишитеуравнениегиперплоскостив R

в векторной форме ив

координатнойформе.

18. Запишите уравнение прямой в R

, определяемой точкой





0 0 0

0 1 2

, , ,

M x x x



ивектором

1 2

( , , , )

A A A

a



.

19. ЗапишитеуравненияотрезкапрямойвR

.

20. Какое множество точек пространства  R

 называется выпуклым?

Приведитепримеры.

21. Запомните теорему: пересечение любого числа полупространств,

ограниченных различными гиперплоскостями, является выпук-

лыммножеством.

22. Дайте определение внутренней, граничной и угловой точек вы-

пуклогомножества.Приведитепримеры.



Тренировочноезадание5.2



1.  В пространстве трех товаров рассмотрите бюджетное множество

при векторе цен





2, 3, 5

Р 

 и доходе

30.



 Опишите это

множество и задайте его границу с помощью систем линейных

неравенств и линейных уравнений относительно переменных

1 2 3

,  ,  .

х х х

Вычислитеобъембюджетногомножестваипостройте

его.

2.ДаныкоординатыточекА

(1,1,3),А

(4,1,5), А

(2,2,1)и

(5, 2, 3). Составьте уравнение плоскости α, проходящей через



176

точкиА

, А

иА

иуравнениепрямойL,проходящейчерезточку

перпендикулярноплоскостиα.

3.Установить,пересекаются,параллельныилисовпадаютплоскости,

заданныеуравнениями:

а)4х – 6у + 3z + 5 = 0 и2х – 3у + z – 5 = 0;

б)6х + 8у – 4z – 6 = 0и3х + 4у – 2z + 3 = 0;

в)х + 2у – z + 5 = 0и2х + 4у – 2z + 10 = 0.

4.  Найти точку пересечения прямой

1 1

2 3 1

х у z

 

 



 и плоскости

– 2 0.

х у z

  



5.  Найти систему неравенств, определяющую множество точек тре-

угольникасвершинами













2,1 ,  6, 3 ,  4, 5 .

А В С



Решениетренировочногозадания5.2



1.  Пусть вектор цен





1 2 3

,  , 

Р р р р



 задан, а набор товаров

1 2 3

( , ,  ),

Х х х х

  где

1 2 3

0, 0, 0

х х х

  

 подлежит определению.

Этот набор товаров можно купить на данное количество денег

(доход)Q,приэтомнеобязательнотратитьвседеньги.Бюджет-

ноемножествоВтогдазадаетсявпространстве

системойли-

нейныхнеравенств:

1 1 2 2 3 3

1 2 3

0, 0, 0,

р х р х р х Q

x x x

  





  





чтовнашемслучаеозначает

1 2 3

2 3 5 30,

0, 0, 0.

х х х

x x x

  





  



(1)

Системанеравенств(1)описываетбюджетноемножестводан-

ной задачи. Границей бюджетного множества является такое

множество набор товаров, которые в точности стоят Q. Тогда

границабюджетногомножестваестьчастьгиперплоскостипро-

странства





1 2 3

 2 3 5 30 2

R х х х  

,ограниченнаянеравенст-

вами

1 2 3

0,  0,  0.

х х х

  

Дляпостроенияплоскости(2)приве-

дем уравнение (2) к уравнению плоскости в отрезках:



177

х у z

а b c

  

, для чего обе части уравнения (2) разделим на 30:

31 2

52 3

30 30 30

xх x

  

или

31 2

15 10 6

xх x

  

(3).Изуравнения(3)по-

лучаем точкипересечения плоскости(2)с осямикоординатОх

Ох

2

иОх

.

  Если

2 3

0,  0,

х х

 

то

15, (15, 0, 0)

х А –точкапересече-

ния плоскости с осью Ох

; если

1 3

0,  0,

х х

 

то

10, (0,10,0)

х В –точкапересеченияплоскостисосьюОх

;ес-

ли

1 2

0,  0,

х х

 

то

6, (0, 0, 6)

х С – точка пересечения плос-

костисосьюОх

.



С6



В

010Х





Х



Такимобразом,бюджетноемножестводаннойзадачиестьтре-

угольная пирамидаОАВС. Длявычисленияее объемапримемза

основание∆ ОАВ,тогдавысотойявляетсяОСипоформулеобъ-

емапирамиды

. .

пир осн

V S Н

 

получим

1 1 1

15 10 6 150

3 2 6

V ОА ОВ ОС        

.

3. Уравнениеплоскости



ищемввиде













– – – 0,

о о о

А х х В у у С z z

  



вкоторомчислаА, В, Сподлежатопределению,авкачестве

точки





,  ,

о о о о

М х у z

 возьмем точку





1, 1, 3 .

 Тогда получим

уравнение

















–1 –1 – 3 0 1 .

А х В у С z  

  Так как точки





4, 1, 5

и





2, 2, 1

принадлежатплоскости



,тоихкоор-



178

динаты удовлетворяют уравнению (1) и подставляя эти точки в

уравнение(1),получим:



(4 1) (1 1) (5 3) 0,

(2 1) (2 1) (1 3) 0,

А В С

     





     



откуда



3 2 0,

2 0,

А С

А В С

 







  





2 0,

А С

С В С



 







   







А С

В С



 















где

R,  0.

С С

 

 Подставляя найденные А и В в уравнение (1),

получаем:

2 8

( 1) ( 1) ( -3) 0

3 3

С х С у С z

     

.

  Разделивобечастиполученногоуравненияна



,получим

2( 1) 8( 1) 3( -3) 0

х у z

     

 или,окончательно, уравнение плос-

кости



приметвид

2 8 3 15 0

х у z

    

.Нормальныйвектор

этойплоскости

=(–2,8,3).Длясоставленияуравненияпрямой

L, проходящей через точку

 перпендикулярно плоскости



,

используем уравнение прямой, проходящей через точку





,  ,  ,

о о о о

М х у z

 имеющей направляющий вектор

( , , )

l m n

S

:

o o o

x x y y z z

l m n

  

 

. Так как по условию прямая L перпенди-

кулярнаплоскости



,товкачествееенаправляющеговектора



можнопринятьнормальныйвектор

.Тогда,полагая

М А

 

получим

4 1 5

2 8 3

x y z

  

  



каноническиеуравненияпрямойL.

  Ответ:

2 8 3 15 0

х у z

    

–уравнениеплоскости



;

4 1 5

2 8 3

x y z

  

  



уравнениепрямойL.

3. а) условие параллельности плоскостей, заданных уравнениями

1 1 1 1

А х В у С z D

   

и

2 2 2 2

А х В у С z D

   

имеетвид:



179

1 1 1 1

2 2 2 2

А В С D

  

(2).Подставляяв этоусловие данныепункта

а)имеем

4 6 3

2 3 1



  



плоскостипересекаются;

б)подставляявусловие(2)данныепунктаб)получим:

6 8 4 6

3 4 2 3

 

   



плоскостипараллельны;

в)условиесовпаденияплоскостейимеетвид:

1 1 1 1

2 2 2 2

А В С D

  

. Подставляявэто условие  данные пунктав)

получим:

1 2 1 5

2 4 2 10



   



верно,



плоскостисовпадают.

4.  Для нахождения точки пересеченияпрямойи плоскостиот кано-

нических уравнений прямой перейдем к параметрическим урав-

нениям: 

1 1

2 3 1

x y z

 

  



, тогда

2 , 1 3 , 1

x t y t z t

     

.

Теперьх, уиzподставляемвуравнениеплоскости

– 2 0,

х у z

  



тогда

2 1– 3 1 – 2 0,

t t t

   

 откуда

2 4,  2.

t t

   

 Тогда, под-

ставляя вместо t, значение 2 находим

4, 1 – 3 2, 5,

х у у

    



–1 2,  1.

z z

  



  Ответ:(4,-5,1).

5.МножествоточектреугольникаАВСможнорассматриватькакпе-

ресечение трех полуплоскостей, из которых первая ограничена

прямойАВ и содержитточкуС, втораяограничена прямойВСи

содержатточкуА,третьяограниченапрямойАСисодержатточку

В.СоставимуравнениепрямойАВ,используяуравнениепрямой,

проходящей через две заданные точки:

А А

В А В А

х х у у

 



 

, тогда

2 1

6 2 3 1

х у

 



 

,

2 1

4 2

х у

 



,









2 – 2 4 –1 ,

х у







– 2 2 –1 ,

х у



– 2 0

х у



–уравнениепрямойАВ.Подставляявлевуючастьэто-

го уравнения координаты точки С, получим

4 – 2·5 –6 0.

 



Следовательно,искомоенеравенствобудет

– 2 0.

х у



Аналогич-

носоставляемуравнениепрямойВС:



180

В В

С В С В

х х у у

 



 

,

6 3

4 6 5 3

х у

 



 

,

6 3

2 2

х у

 





,









2 – 6 –2 – 3 ,  – 9 0

х у х у

  

 – уравнение прямой ВС. Под-

ставляявэтоуравнениекоординатыточкиА,получим

2 1– 9

 



–6 0.



 Следовательно, второе неравенство будет

– 9 0.

х у

 



Далее,составляемуравнение прямойАС:

А А

С А С А

х х у у

 



 

или

2 1

4 2 5 1

х у

 



 

, 













4 – 2 2 –1 , 2 – 2 –1, 2 – – 3 0.

х у х у х у

  



Подставляявлевуючастьпоследнегоуравнениякоординаты

точки В,получим

2·6 – 3 – 3 6 0

 

, значит, искомоенеравен-

ство будет

2 – – 3 0.

х у



 Итак, множество точек треугольника

АВСопределяетсясистемойнеравенств:

2 0,

9 0,

2 3 0.

х у

 





  





  







6.Сходимостьчисловыхпоследовательностей.



1. Дайте определение числовой последовательности и приведите

примеры.

2. Какая последовательностьназывается:а)ограниченной; б)неогра-

ниченной;в)убывающей;г)возрастающей?Приведитепримеры.

3. Что называется суммой, разностью, произведением и частным

двухпоследовательностей?

4. Какая числовая последовательность называется бесконечно ма-

лой?Приведитепримеры.

5. Какаячисловая последовательность называетсябесконечно боль-

шой?Приведитепримеры.

6. Сформулируйте теорему о связимежду бесконечномалой и бес-

конечнобольшойпоследовательностями.

7. Перечислитесвойствабесконечномалыхпоследовательностей.

8. Дайте определение предела числовой последовательности и при-

ведитегеометрическуюиллюстрациюэтогопонятия.