Дыхта В.А. Динамические системы в экономике. Введение в анализ одномерных моделей
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a(t) = 2t
A(t) = t
2
y = Ce
t
2
.
t
C
0
= e
−t
2
C(t) =
Z
e
−t
2
dt + C
1
. (3.27)
y = Φ(t, C
1
) =
³
Z
e
−t
2
dt + C
1
´
e
t
2
C(t) =
Z
t
0
e
−s
2
ds + C
1
y = Φ(t, C
1
) =
³
Z
t
0
e
−s
2
ds + C
1
´
e
t
2
.
t
0
= 0 y
0
= −1/2
C
1
= −1/2
y(t) =
³
Z
t
0
e
−s
2
ds −
1
2
´
e
t
2
. (3.28)
t
t
I
y(t)
erf(t) =
2
√
π
Z
t
0
e
−s
2
ds
y(t
0
) = y
0
(
y(t) = e
A(t)
h
y
0
+
R
t
t
0
e
−A(s)
b(s)ds
i
,
A(t) =
R
t
t
0
a(s)da (t
0
∈ I),
(3.29)
t = t
0
e
0
= 1
y
0
(t) = e
A(t)
A
0
(t)
h
y
0
+
Z
t
t
0
e
−A(s)
b(s)ds
i
+ e
A(t)
e
−A(t)
b(t) =
= a(t)y(t) + b(t).
y(t)
I
y(t) ¯y(t) z(t) = y(t) − ¯y(t)
z
0
(t) = y
0
(t) − ¯y
0
(t) = a(t)y(t) + b(t) − a(t)¯y(t) − b(t) = a(t)z(t),
z(t) z
0
= a(t)z
z(t
0
) = y(t
0
) − ¯y(t
0
) = y
0
− y
0
= 0.
z(t) ≡ 0 I y(t) ¯y(t) 2
a(t) b(t)
I t
0
∈ I y
0
∈ R
y
0
= a(t)y + b(t), y (t
0
) = y
0
I = R
f
a(t) b(t)
(t
0
, y
0
)
y
0
= a(t)y + b(t)y
n
, n 6= 0, n 6= 1
a(t), b(t)
I
x = y
1−n
,
x(t)
x
0
= (1−n)y
−n
y
0
= (1−n)y
−n
[a(t)y+b(t)y
n
] = (1−n)a(t)x+(1−n)b(t),
x
0
= (1 − n)a(t)x + (1 − n)b(t).
x(t)
y(t) = [x(t)]
1
1 − n
.
y ≡ 0
y
0
+ 2y = e
t
y
2
y ≡ 0 x = y
1−2
=
1
y
x
0
= −
1
y
2
y
0
= −
1
y
2
(e
t
y
2
− 2y) = −e
t
+ 2x,
x
0
= 2x − e
t
x = e
t
+ Ce
2t
y = (e
t
+ Ce
2t
)
−1
. 2
y
0
= a(t)y + b(t)y
2
+ c(t)
y = y
1
(t) x = y − y
1
c(t) ≡ 0
(n = 2)
x =
1
y
x(t)
x
0
+ a(t)x + b(t) = 0.
y
0
= f(t, y)
t y
f
f(t, y) =
p(t)
q(y)
,
p(t) (a, b) q(y)
(c, d)
q(y) 6= 0 (c, d). (3.30)
y
0
=
p(t)
q(y)
,
q(y)y
0
= p(t). (3.31)
y
0
q(y)
dy
dt
= p(t).
dy dt
y t
q(y)dy = p(t)dt.
y t
Q(y) = P (t) + C, (3.32)
Q(y) =
Z
q(y)dy, P (t) =
Z
p(t)dt, (3.33)
q p (c, d) (a, b)
C
y t C y = ϕ(t, C)
3y
2
y
0
= 2t(y
3
+ 1).
3y
2
dy
y
3
+ 1
= 2tdt y 6= −1.
ln |y
3
+ 1| = t
2
+ C, y 6= −1.
y < −1 y > −1
y =
3
p
exp(t
2
+ C) − 1, y > −1
3
p
−exp(t
2
+ C) − 1, y < −1
y ≡ −1
y(0) = 0 > −1.
C e
C
− 1 = 0 C = 0
y =
3
p
exp(t
2
) − 1.
y
0
= −
t
y
, y 6= 0.
p(t) = −t q(y) = y q 6= 0 (−∞, 0) (0, +∞)
y
dy
dt
= −t
ydy = −tdt.
1
2
y
2
= −
1
2
t
2
+ C,
y
2
= −t
2
+ C.
C > 0
y
2
+ t
2
= C y 6= 0.
C = c
2
c > 0
y
2
= c
2
− t
2
, y 6= 0.
y
y = ϕ
1
(t, c) =
p
c
2
− t
2
, t ∈ (−c, c),
y = ϕ
2
(t, c) = −
p
c
2
− t
2
, t ∈ (−c, c),
y = ϕ
3
(t, c) =
½
√
c
2
− t
2
, t ∈ (−c, 0],
−
√
c
2
− t
2
, t ∈ (0, c),
y = ϕ
4
(t, c) =
−
√
c
2
− t
2
, t ∈ (−c, −c/2],
√
c
2
− t
2
, t ∈ (−c/2, c/2),
−
√
c
2
− t
2
, t ∈ [c/2, c).
(−c, c) ϕ
1
y > 0 ϕ
2
y < 0 ϕ
3
, ϕ
4
ϕ
1
ϕ
2
y(0) = 3 > 0.
0
t
y
−C C
y = ϕ
1
(t)
0
t
y
−C C
y = ϕ
2
(t)
0
t
y
−C
C
y = ϕ
3
(t)
0
t
y
−C C
y = ϕ
4
(t)
ϕ
1
3 =
√
c
2
c = 3 y =
√
9 − t
2
t
p
1 − y
2
+ y
p
1 − t
2
y
0
= 0.
t ∈ [−1, 1] y ∈ [−1, 1]
y
0
y
0
= −
t
p
1 − y
2
y
√
1 − t
2
.
t = ±1 y = 0
y dy
p
1 − y
2
= −
t dt
√
1 − t
2
y = ±1
t ∈ (−1, 1) y ∈ (−1, 0) y ∈ (0, 1).
p
1 − y
2
= −
p
1 − t
2
+ C, (3.34)
C > 0
y ≡ 1, t ∈ (−1, 1) y ≡ −1, t ∈ (−1, 1)
C
2
t
0
∈ (a, b)
y
0
∈ (c, d) Q P
Q(y) =
y
Z
y
0
q(x) dx, P (t) =
t
Z
t
0
p(s) ds.
y
Z
y
0
q(x) dx −
t
Z
t
0
p(s) ds − C = 0.
t y C F (t, y, C)
F (t, y, C) = 0,
y = ϕ(t, C)
(t
0
, y
0
, C = 0)
t = t
0
y = y
0
C = 0
F
F
0
y
(t
0
, y
0
, C) = q(y)
¯
¯
y = y
0
= q(y
0
) 6= 0
O (t = t
0
, C = 0)
y = ϕ(t, C), (3.35)
F (t, ϕ(t, C), C) = 0, (t, C) ∈ O, (3.36)
ϕ(t
0
, 0) = y
0
. (3.37)
C
t
F
F
0
t
(t, ϕ(t, C), C) + F
0
y
(t, ϕ(t, C), C)
dϕ(t, C)
dt
= 0,
q(ϕ(t, C))
dϕ(t, C)
dt
= p(t).
ϕ
2
C = 0
(t
0
, y
0
)
a < t < b, c < y < d