Дыхта В.А. Динамические системы в экономике. Введение в анализ одномерных моделей
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y
0
t 6= 0
y
0
= −
y
t
+ cos t
t = 0
t = 0
y
0
= f(y) (3.10)
f(y) > 0 f(y) < 0
y ≡ y
∗
y
0
= 0
f(y) = 0.
y = y
∗
f(y
∗
) = 0
y
0
= 2y y
0
= y
2
y
∗
= 0
y
0
= y(10 − 2y) (3.11)
y
∗
= 0 y = 5 y
0
= sin y
y
0
= y
2
+ 1
(y, y
0
)
y
0
= f(y)
y
y
0
0
y
0
= 2y
y
0
+−
y
0
= 2y
y
y
0
0 5
12.5
y
0
= y(10 − 2y)
y
0 5
+− −
+ −
f(y)
t → +∞
y
∗
y
∗
y
∗
y
∗
y
∗
y
∗
O y
∗
y
∗
t → +∞
y
∗
(t, y)
y = y
∗
t = 0 y
∗
y(t) → y
∗
t → +∞, (3.12)
y(0) =
y
0
∈ O O y
∗
y
∗
f(y)
f
0
(y
∗
) < 0 y
∗
f
0
(y
∗
) > 0
f
0
(y) < 0 y
∗
f
0
f(y)
f(y
∗
) = 0 f(y ) > 0 y
∗
f(y) < 0
f
y
∗
t
y
0
y
∗
y = y
∗
t
y
0
y
∗
y = y
∗
t
y
0
y
∗
y = y
∗
y
∗
2
f(y) = 10y −2y
2
f
0
(y) = 10 − 4y f
0
(0) = 10 > 0 y
∗
= 0
f
0
(5) = −10 < 0 y = 5
D(p) S(P )
p
0
= α[D(p) − S(p)], (3.13)
α > 0
E(p) = D(p) − S(p),
y
0
= αE(p)
E(p)
p
0
½
> 0, E(p) > 0
< 0, E(p) < 0
(3.14)
E(p) = 0
D(p) = a − bp, S(p) = c + dp,
a, b, c, d > 0
E(p) = (a − c) − (b + d)p,
p
∗
=
a − c
b + d
.
p
0
½
> 0, p < p
∗
< 0, p > p
∗
p
∗
p
p
∗
D(p) S(p)
p
∗
> 0 E(p
∗
) = 0
α > 0 f
0
(y
∗
) < 0
E
0
(p
∗
) < 0
D
0
(p
∗
) < S
0
(p
∗
).
D
0
(p) < 0 S
0
(p) > 0 p > 0
α > 0
y
∗
y ≡ y
∗
y
∗
f
y = y(t) y(t) = y
∗
t
(t, y
∗
) (t, y)
y
0
= f(y)
y(t)
I c
y
c
(t) = y(t + c) I
y
0
(t) = f(y(t))
y
0
c
(t) = y
0
(t + c) = f(y(t + c)) = f(y
c
(t)) t ∈ I,
y
c
(t)
y
c
(t)
y(t) c
(t, y)
y
∗
{y
n
}
y
y
∗
y
n
y
∗
y
∗
y
∗
y
∗
y
∗
f(y
∗
) = 0 f(y
n
) = 0 ∀ n
f(y
n
) − f(y
∗
)
y
n
− y
∗
= 0 ∀ n,
y
n
→ y
∗
f
0
(y
∗
) = 0
y
∗
y
∗
∀ ε > 0, ∃ δ > 0
|y(t)−y
∗
| < ε ∀t > 0 y(t)
|y(0) − y
∗
| < δ
y
∗
lim
t→+∞
y(t) = y
∗
|y(0) − y
∗
|
t
y
0
y
∗
y = y
∗
t
y
0
y
∗
y = y
∗
y
0
= 0
y
0
= f(y)
y
00
= d
2
y/dt
2
y
00
> 0
y
00
< 0 y
00
y
t y = y(t)
y
00
= f
0
(y)y
0
= f
0
(y)f(y).
y
00
g(y) = f
0
(y)f(y).
g(y) > 0
g(y) < 0
y
00
= 0 (t, y)
y
0
= y − 7
y
0
= 1 − 5y
y
0
= 4 −
y
2
y
0
= 9y − 11
y
0
= ay + by
2
a, b > 0 y ≥ 0
y
0
= ay + by
2
a, b > 0 y ∈ R
y
0
= y(y − 1)(y − 2) y > 0
y
0
= e
y
− 1
y
0
= e
−y
− 1
y
0
= −
2 arctan y
1 + y
2
y
0
= a(1 − y)
2
, a > 0
y
0
= −a(y − 1)
2
, a > 0
y
0
= y
2
(y
2
− 1)
y
0
= y(1 − y
2
)
y
0
= ay − b
√
y, a, b > 0, y ≥ 0
y
0
= y
2
(4 − y
2
)
y
0
= y
2
(1 − y)
2
y
0
=
y
y
2
+ 1
y
0
= e
−y
y(y − 2)
y
0
= e
y
cos y