Дыхта В.А. Динамические системы в экономике. Введение в анализ одномерных моделей
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P
y
y
0
= −ay + by
2
= −ay(1 −
y
P
), (3.56)
a, b > 0 P = a/b
y = 0 y
∗
= P
y
∗
y
0 y
∗
= P
y
y < y
∗
= P
a, b
a, b
y
∗
= P
N > P
y
(1 − y/N )
y
0
= −ay
¡
1 −
y
P
¢¡
1 −
y
N
¢
, N > P. (3.57)
˜y = N
˜y
y
0 P N
y > P
dy/dt = ry(1 − y/N )
τ
y
0
= N/3
r = 0, 025
α = y
0
/N T
y(T )/N = β 0 < α, β < 1 T
β N
T → ∞ α → 0 β → 1 T
r = 0, 025
dy
dt
= ry ln
y
N
, r, N > 0.
dy/dt y
y(t)
0 ≤ y ≤ N
dy/dt
dy/dt
0 < y ≤ N
y(0) = y
0
x = ln(y/N)
y(2)
r = 0, 71 N = 80, 5 ·
10
6
x
0
/N = 0, 25
τ y(τ ) = 0, 75N
dN
dt
= k(1 − N)
2
, k > 0.
N
∗
= 1
dN /dt N N
N < 1 N > 1 N
∗
= 1
N(0) = N
0
dy/dt = y−y
2
v
dy
dt
= y − y
2
− v.
v < 1/4
y
1
, y
2
y
1
< y
2
y
1
y
2
dy/dt y
y
0
> y
1
y(t) → y
1
t → ∞ y
0
< y
1
y(t) → 0 t → ∞
y = 0
v > 0
v > 1/4
y
0
v = 1/4
y
∗
= 1/2
0 < v < 1/4 v > 1/4 v = 1/4
1/4
y
∗
= 1/2
v
v
∗
= 1/4
2
v(y)
v = cy c > 0
dy
dt
= (1 − c)y − y
2
.
c < 1
c
1/2 v = 1/4
v
dy/dt = ry(1 −y/N )
dy
dt
= ry(1 − y/N) − v.
v < rN/4
y
1
, y
2
, y
1
< y
2
y
1
y
2
dy/dt y
y
0
> y
1
y(t) → y
2
t → ∞
y
0
< y
1
y(t) y
0
<
y
1
v > rN/4 y(t)
v = rN /4
y
∗
= N/2
v
∗
= rN/4
v
∗
= rN/ 4
y
∗
= N / 2
v = 0 2
0 < v < v
∗
v > v
∗
v = v
∗
v = v(y)
v = cy
dy
dt
= ry(1 − y/N) − cy
c
×