Доспехов Б.А. Методика полевого опыта

Подождите немного. Документ загружается.

не доказываются даже значительные эффекты вариантов. По-

этому однофакторные опыты проводят обычно в 4—6-кратной

/ПОВТОрНОСТИ.

Миогофакторный дисперсионный анализ в принципе возмо-

жен для факториальных опытов, заложенных без повториостей.

В этом случае в качестве основы для вычисления ошибки опы-

та и НСРоб используется сумма квадратов для взаимодействия,

которая включает и случайную дисперсию. Общая сумма квад-

ратов для двухфакторного и трехфакторного опытов без повтор-

иостей будет представлена выражениями:

Су

-|-

+С

АВ+2

Су

—

А+С

в -f С

с+CAB

Н~ С

АС+С

ABC+Z

•

Важно подчеркнуть следующую общую закономерность,

•обоснованную теоретически и экспериментально:

эффекты

взаи-

модействия факторов

по мере

возрастания

их порядков

убывают

(эффект

AB>ABC>ABCD и т. д.)

При этом парные взаимодействия, которые называют взаи-

модействиями первого порядка, дают обычно зна-

чительные, а взаимодействия более высоких порядков между

тремя и более факторами, как правило, незначительные и стати-

стически несущественные эффекты (прибавки урожая). Следо-

вательно, экспериментатор теряет ценную информацию,' если

миогофакторный опыт не позволяет определить парные взаимо-

действия, и менее ценную, если жертвует взаимодействиями

более высоких порядков, которые в опытах без повториостей

отождествляются, смешиваются со случайными ошибками. Не-

значимость взаимодействий высших порядков положена в осно-

ву теории метода смешивания, объединения вариантов в спе-

циальные блоки при постановке сложных многофакторных по-

левых опытов.

Итак, многофакторные опыты без повториостей можно обра-

ботать методом дисперсионного анализа. Это, однако, не озна-

чает, что такие опыты следует ставить без повториостей. Экспе-

риментатор должен четко представлять, что в двухфакторных

опытах без повториостей теряется ценная информация о пар-

ных взаимодействиях, а объединение эффектов взаимодействия

с остаточной дисперсией ведет к резкому увеличению ошибки и

снижению разрешающей способности опыта. Величина HCPos

в таких опытах возрастает настолько, что статистически не

доказываются даже очень значительные разности по вариантам.

Другая опасность постановки многофакторных опытов без по-

вториостей заключается в том, что случайное выпадение из уче-

та хотя бы одной делянки лишает экспериментатора возмож-

ности статистически обработать полученные данные. Вот поче-

му многофакторные опыты без повториостей нужно рекомендо-

вать лишь для рекогносцировочных, временных опытов.

213

§ 2. ОЦЕНКА СУЩЕСТВЕННОСТИ РАЗНОСТЕЙ

МЕЖДУ СРЕДНИМИ

Критерий F устанавливает только факт наличия существен-

ных различий между средними, но не указывает, между каки-

ми средними имеются эти различия. Поэтому, если общая- оцен-

ка по критерию F устанавливает наличие вариантов, существен-

но отличающихся от остальных (Рф

кт>=^

те

ор), и нулевая гипо-

теза о равенстве параметров изучаемых совокупностей отвер-

гается, то необходимо определить, к каким вариантам относятся

существенные разности. К,огда i> акт^^теор и, следовательно, ну-

левая гипотеза не отвергается, оценку частных различий не

проводят. В этом случае все разности между любыми парами

находятся в пределах ошибки опыта.

В практике опытной работы используется несколько мето-

дов для оценки существенности разности между средними. Рас-

смотрим наиболее распространенные из них.

Оценка значимости разности между сред-

ними по наименьшей существенной разности

(НСР).

Если в опыте / вариантов, то можно определить Г" ••

разностей между средними, среди которых могут быть сущест-

венные и несущественные разности. Критерий HCP =

tSd

указы-

вает предельную ошибку для разности двух выборочных сред-

них. Если фактическая разность d^HCP,

то

она существенна,,

значима, а если d<HCP—несущественна, незначима.

Чтобы определить НСР, необходимо по данным дисперсион-

ного анализа вычислить:

обобщенную ошибку средней

= l/~s

: n;

ошибку разности средних

—

]/2s

: п.* .

В опытной работе чаще всего проводят попарные сравнения

средних по вариантам и вычисляют ошибку разности по при-

веденной выше формуле. Но иногда, например, когда в опыте

нет контрольного варианта, возникает необходимость сравнить

средние урожаи опытных вариантов со средним урожаем в

опыте. В этом случае ошибку разности средних вычисляют па

формуле:

Иногда приходится сравнивать группы' неодинакового раз-

мера— неравномерные комплексы, в которых средние неравно-

* В. Н. Перегудов (1968) обозначает обобщенную ошибку средней буквой

Е или е, а ошибку разности оредних — Ed или e

(начальные буквы англ,

error

—

ошибка и difference — разность).

214

точны. В этих случаях ошибку разности вычисляют по формуле»

=i/Z^«y753E£",

где

—остаточный средний квадрат, который берется из таблицы дисперсной

ного анализа, a n

—

число повторностей в сравниваемых группах.

Если п\=п

то формула приобретает вид:

Подставляя значение s

в формулу НСР, получим:

НСР

= t

НСР

% = hgi.

100

НСР

;

НСР

h&L

100.

Значение критерия t для принятого уровня значимости и

числа степеней свободы остаточной дисперсии берут из табли-

цы 1 приложений. Индексами при НСР и-t записаны показатели

уровня значимости (5 и

1%-ный).

Напомним, что 5%-кому

уровню значимости соответствует 95%-ный уровень вероятно-

сти,

1 %

-ному

—

-ный.

Разности между средними, которые больше НСР

5» считают-

ся существенными с 5%-ным уровнем значимости и обознача-

ются одной звездочкой (*), больше HCP

—

существенными с

1%-ным

уровнем значимости и обозначаются двумя звездочка-

ми (**).

Оценка значимости разностей между сред-

ними по величине утроены ой ошибки средней,

т. е. 3%, или ЗЕ (по В. Н. Перегудову). Обобщенная ошибка

средней Sx определяется на основе остаточного среднего квад-

рата s^—is

:n. Утроенная величина этой ошибки и принимает-

ся за критерий существенности. Если

фактические разности

d^3s~

то они существенны на 5%-ном уровне, а если d<3s

—•

несущественны.

Когда в опыте с 4—6-кратной повторностью много вариан-

тов,

например в сортоиспытании, то применение критерия . 3s j

обоснованно. Но для опытов с 2—6 вариантами при 3—4-крат-

ной повториости эта оценка дает преувеличенное число сущест-

венных разностей.

Сказанное станет понятным, если рассмотреть, как возникает

критерий 3s*, или ЗЕ.

Дисперсионный анализ дает обобщенную, одинаковую для

всех средних ошибку s~

=Sx

=...Sx

n, следовательно, еди-

ную ошибку разности средних:-

T/"s!

4-si =l/2Z=l,414s_..

215

При числе степеней свободы для остатка V2>16, когда

2,12,

наименьшая существенная разность на 5%-.ном уровне

значимости равна: НСРо5

*оБ5<* = 2,12х

1,414s

= 2,99s*, или,

округленно,

s*.

Таким образом, утроенная ошибка

—

это HCPos для опытов;

с v

^16. Когда v

<16, то коэффициент перед s возрастает и

особенно сильно, если остаточное число степеней свободы сни-

жается до 2—7, что и наблюдается в опытах с небольшим чис-

лом вариантов. В этих случаях сама величина ошибки s

стано-

вится ненадежной базой для оценки, и поэтому для получения'

критерия существенности на прежнем 5%-ном уровне перед s

В.

Н.'Перегудов рекомендует ставить следующие коэффициенты:

Остаточное чис-

ло степеней

свободы

2 3

4 5

6—7

8—9

10—12

13-15

16 и

более

Коэффициент

при sj ' 6,08 4,50 3,93 3,64 3,40 3,23 3,11 3,04 3,00

Таким образом, применение критерия

, или

ЗЕ,

обоснован-

но для числа степеней свободы остаточной дисперсии л>»16„

когда 3ss=HCP

5. Если V2<16, то использование утроенной

ошибки для оценки разности между средними, что часто делает-

ся при статистической обработке опытов с небольшим числом

вариантов, неправомерно; такая оценка различий между сред-

ними дает сильно преувеличенное количество существенных раз-

ностей. В этих случаях перед s* необходимо ставить коэффици-

енты, приведенные выше, которые в 1,5—2 раза могут превосхо-

дить число 3.

При использовании дисперсионного анализа в практике экс-

периментальной .работы существенные разности между средними

чаще всего определяют по НСР

5- Этот критерий и принят нами

при оценке частных различий. Для ориентировочных расчетов

можно использовать упрощенный критерий 3sх, или ЗЕ.

В системе государственного сортоиспытания сельскохозяйст-

венных культур на основе

НСР

Б,

или 32?, все сорта распределя-

ются на три группы: I группа

—

отклонения средних урожаев

от стандарта (контроля) с положительным знаком больше

HCPos; II группа

—

отклонения с положительным или отрица-

тельным знаком не выходят за пределы НСР

5| III группа —

отклонения с отрицательным знаком больше по абсолютной 'ве-

личине НСРоб-

Распределение вариантов на три группы по величине сущест-

венной разности целесообразно использовать и в агротехниче-

ских опытах.

Чтобы уяснить смысл правильного использования наимень-

шей существенной разности при оценке результатов опытов, вос-

пользуемся следующей аналогией. Если весы с ценой деления

±1 кг, то, применяя их, нельзя взвесить массу меньше этой ве~

216

.личины или, скажем, с погрешностью ±10 г; разрешающая спо-

собность измерительного устройства не позволяет этого сделать.

Подобно этому, если в эксперименте получена НСР

5=3 ц/га, то

•она и является своеобразной ценой деления, разрешающей спо-

собностью

данного

опыта

при оценке

разности

выборочных

сред-

них. Нельзя считать разности между средними по вариантам

•существенными, если они меньше 3 ц/га, меньше разрешающей

способности данного опыта. Это очевидное положение, к сожа-

лению, иногда забывают и статистически несущественные разно-

сти—

«прибавки урожая» обсчитывают экономически, распро-

страняя их на большие площади.

Часто статистические термины «ошибка», «предельная ошиб-

ка разности», «утроенная ошибка» вводят в заблуждение .начи-

нающих исследователей. Они полагают, что в опытной работе

•ошибки недопустимы и если они есть,

—

это результат недоста-

точной тщательности в измерениях. Это далеко не так. Стати-

стические ошибки, или ошибки выборочное™ (репрезентативно-

сти),

в экспериментальной работе неизбежны, так как выводы о

•совокупности исследователь практически всегда делает с опреде-

ленной долей риска на основе 'изучения небольших выборок.

Очевидно, что все учеты и измерения надо делать точно

добро-

совестно, не допуская систематических и грубых ошибок или

промахов, источником которых действительно является недоста-

ток внимания, аккуратности и тщательности наблюдателя. При

всяких исследованиях грубые и односторонние систематические

•ошибки должны быть исключены.

§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Правильное использование дисперсионного анализа для об-

работки экспериментального материала предполагает однород-

ность дисперсий по вариантам (выборкам), нормальное или

«близкое к нему распределение варьирующих величин, значения

которых получают независимо одно от другого. В агрономиче-

ских исследованиях независимость сравнения достигается рендо-

мизированным размещением вариантов в опыте и случайным от-

бором проб в выборку. Когда есть основания предполагать не-

однородность дисперсий по выборкам, о чем обычно свидетель-

ствуют большие различия в варьировании по вариантам, напри-

мер при учете сорняков, энто- и фитофауны, то рекомендуется

преобразовать (трансформировать) исходные даты. Трансфор-

мация дает возможность уменьшить пределы варьирования, уст-

ранить неоднородность дисперсий по выборкам и провести срав-

нение результато;в более точно.

Наиболее подходящие и чаще всего применяемые преобразо-

вания следующие:

1) логарифмические, когда каждое значение X трансформи-

руется в \gX или в lg(X+l), если некоторые наблюдения рав-

ны нулю;

217

2) трансформация данных подсчета численности путем из-

влечения квадратнго корня из X, т. е. ^Х или "j/X-f

когда неко-

торые наблюдения дают нулевые или очень небольшие значения;

3) трансформация X в

«у

гол- арксинус "^процент» (по

табл. 5 приложений), когда наблюдаемые величины выражены в

процентах, например пораженность растений болезнями и вреди-

телями, или при изучении силы действия повреждающих факто-

ров на биологические объекты, в пробиты и эквивалент*

ные углы. Преобразование процентов можно не проводить,

если все значения лежат в пределах между 15 и 85, но, если

имеются значения, близкие к 0 и 100, когда вариация сильно

снижается, необходимы преобразования, позволяющие провести

сравнения результатов более точно.

Преобразованные значения обрабатывают по схеме диспер-

сионного анализа и после оценки существенности частных раз-

личий переходят обратно к первоначальным единицам измере-

ния. Средние, полученные в процессе преобразования, будут не-

сколько отличаться от средних, полученных по исходным датам,

но разница обычно невелика, и более правильным средним бу-

дет значение, полученное обратным переходом.

§ 4. ПРОСТОЙ ПРИМЕР ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА

Для уяснения логики дисперсионного анализа воспользуемся

искусственно построенной моделью однофакторного вегетацион-

ного опыта, в котором сравниваются два варианта (/=2). Каж-

дый из вариантов изучается в четырех сосудах (п=4). Общее

число наблюдений в опыте JV=/n = 2X4 =

Рендомизация не-

контролируемых условий и независимость вариантов (выборок)"

в вегетационных опытах обеспечивается периодическим переме-

щением сосудов на вагонетках. Допустим, что в опыте получены

такие урожаи (г/сосуд).

Варианты

Урожай, X

Суммы по вари-

антам, V

Средние по вари-

антам, Ху

1 7 7 9 5 28 7=*!

2 3 15 3 12

3=T

Общая сумма 40 = 2Х 5 = х

В этом эксперименте возможна лишь одна группировка ис-

ходных дат—по вариантам. Находим суммы и средние по вари-

антам, общую сумму и общую среднюю по опыту.

Варьирование урожаев, т. е. отклонение их от общей средней

(Х—х),

обусловлено здесь двумя компонентами —эффектами

вариантов и случайным варьированием. Других источников ва-

риации урожаев в однофакторном вегетационном опыте нет. Сле-

218

довательно, общее варьирование Су, которое измеряется суммой

квадратов отклонений урожаев

от

общей средней 2(Х—я:)

со-

стоит

из

варьирования вариантов

Су и

случайного Cz. Модель

дисперсионного анализа данных этого опыта:

Определяем общую сумму квадратов отклонений:

2(*~'^)

(7—5)

-f(7—5)4 f_(3

—5)

48.

Для определения суммы квадратов отклонений

по

вариантам

вместо каждой даты

X в

таблицу урожаев подставляем средние

соответствующих вариантов

(для

первого варианта

7 и

второ-

го

3).

Варианты Урожай

Суммы

по

вариан-

там,

Средние

1 7 7 7 7 28

7=х

2 3333 12 3^х~

Общая сумма 40 = J.X 5 = х

Подставляя вместо фактических данных

средние

по

вари-

антам

мы тем самым устраняем случайную вариацию внутри

вариантов ('выборок).

Сумму квадратов отклонений

для

вариантов находим

по со-

отношению:

-2(%-x)

(7--5)4-(7-5)

-l К3-5)

32.

Разность между общим варьированием

варьированием

ва-

риантов дает сумму квадратов отклонений

для

ошибки:

= Cy—C

= 4:8—32=16.

Общее число степеней свободы

N—1

8—1

также расчле-

няется

на две

части: степени свободы

для

вариантов

/—1

*=2—1

ошибок N—/=8—2=6.

Для вычисления фактического критерия существенности

на-

ходим

два

средних квадрата (дисперсии):

для вариантов

^. =

32,00

для ошибки

-jfzrr

__2

Определяем критерий существенности:

F -

-19 04

Ч^Т'ТГ•« WW-

Сравниваем

его с

^05 = 5,99, который находим

по

таблице

приложений

для 1

степени свободы вариантов (числитель)

219

6 степеней ошибки (знаменатель). Статистическая нулевая ги-

потеза Н

\ между средними по вариантам нет существенных:

различий, отвергается

^>JPOS.

Следовательно, выборочные'

средние х\ и х

существенно различаются по урожаям на

5%-ном уровне значимости.

Определяем наименьшую существенную разность:

НСР

«t

= t

VWTn = 2,451/2.2,66:4 = 2,8 г/сосуд.

Теоретическое значение критерия zf

5=2,45 находим по табли-

це 1 приложений для 6 степеней свободы ошибки и 5%-ного-

уровня значимости.

Разность между средними d—x\—лг

=7—3 =

г/сосуд больше-

предельной ошибки разности средних (d>HCP

5), и, следова-

тельно, средние существенно различаются.

•Рассмотрим теперь схему дисперсионного анализа простой

модели однофакторного полевого опыта, заложенного, допустим,,

методом рендомизиро'ванных повторений. Для этой цели вос-

пользуемся цифровыми данными приведенного выше примера.

Для полевого опыта, проведенного методом рендомизирован-

ных повторений, возможна уже двойная группировка исходных

данных в таблице для дисперсионного анализа: по повторениям

и вариантам. Схема группировки и вычисления соответствую-

щих сумм и средних дана ниже; она очевидна и не требует по-

яснений.

Варианты

Повторения,

| III |

Суммы

по

зариантам

Средние

по

вариантам

Ху

1 7 7 9 5 28 7 = х

2 3 15 3 12

Суммы по повторе- _

ниям Р 10 8 14 8 40=2Х 5=х

Средние по повторе-

ниям х

5 4 7 4

В полевом опыте варианты связаны общим контролируемым

условием, наличием организованных повторений. Это обязатель-

но учитывается при построении модели дисперсионного анализа.

Компонентов варьирования урожаев будет уже три

—

повторе-

ния С

, варианты C

и ошибки C

. Схема дисперсионного анали-

за будет представлена выражением:

—

-\-C

Каждое повторение включает оба варианта, и, если бы по-

вторения были равноплодородными и не варьировали, все сум-

мы урожаев по ним были бы равны между собой. Для опреде-

ления варьирования повторений вместо исходных дат в таблицу

220

урожаев подставляем средние по повторениям, находим откло-

нения их от общей средней и сумму квадратов отклонений:

=Ъ{х

—х) =

(5—

4-(5—5)

[_(4—5)

12.

Варианты

Суммы по повто-

рениям Р

Средние по повто-

рениям Хр

Повторения

_ 4

Суммы по

вариантам V

40 = 2Х

Средние по

вариантам ху

5 = х

Подставляя вместо фактических данных средние по повторе-

ниям, мы устраняем вариацию урожаев, связанную с действием-

вариантов и ошибки.

Сумма квадратов отклонений для вариантов нами определе-

на ранее (Су=32); случайное варьирование (ошибки) находим:

по разности:

—C

= 48 —12 — 32 = 4.

Общее число степеней свободы в однофакторном полевом

опыте, поставленном в четырех рендомизированных повторениях,,

также расчленяется на три части: степени свободы для повторе-

ний, для нашего примера (п—1)=4—1=3; для вариантов;

{I—1)=2—1

и ошибки

(/г—1)

(г—1) = (4—1) (2—1) =3.

Определяем дисперсии вариантов, ошибки и критерий F:

_ 32

32,00;

—

2 — 1

с2 _.

(п-1)(/-1)

(4-1) (2

32,00

1,33

24,1.

1,33;

По таблице 2 приложений для 1 степени свободы вариантов?

(числитель) и 3 степеней свободы ошибки (знаменатель) нахо-

дим

^05=10,1.

Варианты в опыте различаются существенно />>

и нулевая гипотеза отвергается.

Наименьшая существенная разность для 5%-ного уровня;

значимости:

НСР

= ^ =

ЗЛ8]/^^-

= 2,6 г/сосуд.

Теоретическое значение zf

s=3,18 находим по таблице 1 при-

ложений для 3 степеней свободы ошибки и 5%-ного уровня зна-

221

•чимости. Разность между

Х\—х%=1—3=4

г/сосуд существенна

-на 5%-ном уровне значимости (d>HCPos).

Изложенный выше прямой и очевидный путь вычисления

сумм квадратов отклонений приведен для уяснения логики дис-

персионного анализа данных. Однако он становится довольно

трудоемким и утомительным в опытах с большим числом вари-

антов и особенно при многозначных дробных цифрах. Расчеты '

будут сопряжены с ошибками, что объясняется неизбежными

округлениями при вычислении цреддих величин и, следователь-

но,

последующими неточными определениями разностей. Поэто-

му при дисперсионном анализе используют статистические спо-

собы, позволяющие упростить технику .расчетов и свести их

ошибки к минимуму.

При наличии настольной вычислительной машины сумму

квадратов отклонений обычно определяют по фактическим дан-

ным. Если машины нет, используют способ произвольного нача-

ла (условной средней), что позволяет работать с малозначными

•числами.

Определим суммы квадратов отклонений, используя метод

расчета их по фактическим данным, т. е. .минуя вычисление сред-

них. В этих целях воспользуемся соотношениями, приведенными

•на странице 244. Для нашего примера получили такие цифры:

Общее число наблюдений.

# = ^1 = 2.4 = 8.

Корректирующий фактор (поправку)

C=(2A:)

:.V=40

:8==200.

Общую сумму квадратов отклонений

==SX

—С=(7

4-7

Н И

)

—200

248—200

48.

Сумму квадратов повторений

Ср = 2Р

:/—С=(10

+14

2—200 = 212—200= 12.

Сумму квадратов для вариантов

=2y

:/z—C=(28

-f-12

): 4—200 = 232—200 = 32.

Сумму квадратов для ошибки (остаток)

-~C

—C

48—12 —

= 4.

Итак, мы получили те же значения сумм, что и

•

ранее, но

упростили порядок их вычисления. Аналогичные данные будут

получены и в том случае, когда применяется способ произволь-

ного начала (условной средней) и все исходные данные умень-

шают (или увеличивают) на одну и ту же величину А. За ус-

ловную среднюю А берут целое число, близкое к среднему уро-

жаю по опыту. Эти расчеты рекомендуем читателю проделать

самостоятельно.

222